13.3.1 第2课时 直角三角形的性质与判定 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十三章 三角形 13.3.1 第2课时 直角三角形的性质与判定 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册13.3.1第2课时《直角三角形的性质与判定》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 1. **直角三角形的性质**：直角三角形的两个锐角互余。即在Rt△ABC中，∠C=90°，则$\angle A+\angle B=90^\circ$。 2. **直角三角形的判定**：有两个角互余的三角形是直角三角形。若△ABC中，$\angle A+\angle B=90^\circ$，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。 3. 补充要点：直角三角形符号记作Rt△；性质和判定互为逆命题。性质：已知直角，得两角相加90°；判定：已知两角互余，推出直角。常和三角形内角和、角平分线、高线综合考查。做题时看清条件，区分什么时候用性质，什么时候用判定，不要混淆。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数是（） A.45° B.55° C.65° D.75° 2. 在△ABC中，∠A=42°，∠B=48°，则△ABC是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3. 直角三角形中的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角为（） A.20° B.30° C.45° D.60° 4. 下列条件中，不能判定三角形为直角三角形的是（） A.三个内角之比为1∶2∶3 B.∠A+∠B=∠C C.∠A=∠B=40° D.∠C=90° 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，则图中互余的角共有（） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6. 在△ABC中，∠A=50°，∠C=40°，则下列说法正确的是（） A.△ABC是锐角三角形 B.△ABC是直角三角形，∠B=90° C.△ABC是钝角三角形 D.无法判断三角形类型 7. 已知直角三角形的两个锐角的差是20°，则这两个锐角分别为（） A.50°，30° B.55°，35° C.60°，40° D.65°，25° 8. 在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=30°，∠CAD=60°，则△ABC是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 9. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7，则这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 10. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，则∠A与∠BCD的关系是（） A.互补 B.互余 C.相等 D.无法确定 ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 直角三角形两个锐角________。 12. 有两个角________的三角形是直角三角形。 13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，则∠A=________。 14. 在△ABC中，∠A=36°，∠B=54°，则∠C=________，△ABC是____三角形。 15. 直角三角形两锐角之比为2∶7，则较大锐角为________。 16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，若∠B=40°，则∠ACD=________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）在△ABC中，∠A=55°，∠B=35°。 （1）求∠C的度数； （2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由。 18.（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。求证：∠A=∠BCD。 19.（12分）在△ABC中，BD⊥AC于D，∠ABD=30°，∠DBC=60°。求∠A、∠C的度数，并判断△ABC的形状。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.C **填空题**： 11.互余；12.互余；13.$62^\circ$；14.$90^\circ$，直角；15.$70^\circ$；16.$40^\circ$ **解答题** 17.解：（1）$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-55^\circ-35^\circ=90^\circ$。 （2）△ABC是直角三角形。理由：∠C=90°；或者∠A+∠B=90°，两角互余，根据判定定理可得△ABC是直角三角形。 18.证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 ∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠B=90°。 根据同角的余角相等，∴∠A=∠BCD。 19.解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠CDB=90°。 在Rt△ABD中，∠A=90°−∠ABD=90°−30°=60°。 在Rt△CBD中，∠C=90°−∠DBC=90°−60°=30°。 ∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°。 ∴△ABC是直角三角形。 本节的核心是直角三角形性质与判定，是几何角度计算的常用工具。重点记住：直角→两锐角互余；两角互余→直角三角形。高频考点是“同角（等角）的余角相等”，常在有高线的图形里用来证明角相等，做题注意规范书写证明步骤，分清性质与判定的推理方向，不要写反条件。 （全文：1410字） 继续下一节：**13.3.2 三角形的外角**吗，同样做成1412字专项练习？ 理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质进行简单的角度计算和推理. 一 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法. 二 学习目标 在探究性质与判定的过程中，体会数学知识的互逆性，增强逻辑推理能力和数学思维能力. 三 1. 三角形内角和定理的内容是什么？ 2.你是怎么证明三角形内角和定理的？ 复习引入 三角形的内角和等于180°. 已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三个内角， 求证：∠1+∠2+∠3=180°. x=____ x=____ x=____ 1．三角形内角和定理：_________________________. 2．直接说出下列图形中的x的值. 80 65 35 三角形的内角和等于180° 探究新知 利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系。 探究新知 5 探究：在△ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？请将下面的解答过程补充完整. 解： ∠A 与∠B________. 理由如下： 在△ABC 中， ∠A+∠B +∠C=________， ∵ ∠C =90° 即∠A+∠B +______=180°， ∴∠A+∠B =______. 互余 180° 90° 90° 探究新知 符号语言： 在直角三角形ABC 中 ∵∠C =90° ∴∠A+∠B =90° 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余． 探究新知 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 探究新知 例1：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE =90°∠AEC 在Rt△BDE 中， ∠DBE＝90°∠BED ∵∠AEC =∠BED ∴∠CAE =∠DBE 探究新知 知识点1 直角三角形的性质 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A等于(　　) A.60°　　 B.30°　　 C.45°　　 D.90° 返回 A 基础提优题 2.［2026重庆巴蜀中学期中］如图，AB∥DE，GF⊥BC于点F，若∠CDE＝32°，则∠FGB＝(　　) A.32°　　 B.48°　　 C.58°　　 D.68° 返回 C 基础提优题 3. 在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是　　　　. 返回 2或6 【点拨】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，mx，4x.当∠C为直角时，2x＋mx＝4x，解得m＝2；当∠B为直角时，2x＋4x＝mx，解得m＝6.故m的值为2或6. 在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，做到不漏解不错解. 基础提优题 思考：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余。反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由， A B C 解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下： 由三角形内角和定理，得 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°． ∴有两个角互余的三角形是直角三角形． 探究新知 符号语言： ∵∠A+∠B=90° ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形． A B C 探究新知 例2：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1＝∠B. 试说明：△ABC是直角三角形． 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90° ∴∠1＋∠C＝90°， 又∵∠1＝∠B， ∴∠B＋∠C＝90°， ∴∠BAC＝90° ∴△ABC是直角三角形 探究新知 直角三角形的注意事项 （1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形； （2）在运用直角三角形的判定或其性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75° A 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2．下列条件中不能使△ABC成为直角三角形的是( ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 D．∠A＝2∠B＝3∠C D 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3．，，，与平行吗？为什么？ 解：．理由如下 ， ___．（___________）． ____． 在中， （__________________________）． ， ________．（________________）． ．（_______________________）． 同位角相等，两直线平行 垂直定义 直角三角形的两个锐角互余 等角的余角相等 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．如图，AB//CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则△ACE是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 当堂检测 【综合拓展类练习】 5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. 解：(1)∠1＝∠2. 理由如下： ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴△ABD和△BCE是直角三角形， ∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°， ∴∠1＝∠2 （1）猜想∠1与∠2的关系，并说明理由； 当堂检测 【综合拓展类练习】 解： (2)结论仍然成立．理由： ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°. ∵∠DBA＝∠CBE， ∴∠1＝∠2 (2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由． 5 ．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E. 当堂检测 4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点F.小明发现，无论怎样改变Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值.这个定值为　　　　. 135° 基础提优题 【点拨】∵∠C＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°.∵AD平分 ∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠FAB＝∠CAB，∠FBA＝∠CBA.∴∠FAB＋∠FBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝45°. ∴∠AFB＝180°－45°＝135°. 返回 基础提优题 【解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°， ∴∠ABC＝180°－90°－50°＝40°. ∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝20°. ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∴∠BED＝90°－20°＝70°. 5.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC. (1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分∠ABC，求∠BED的度数. 基础提优题 (2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C). 返回 【点拨】∵DF⊥AC，DG⊥AB，AD⊥BC，∠BAC＝ 90°，∴∠CFD＝∠AGD＝∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC.∴∠C＋∠CDF＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∠DAG＋∠CAD＝90°.∴∠C＝∠ADF，∠C＝∠GAD.∵∠GAD＋∠ADG＝90°，∠ADG＋∠BDG＝90°，∴∠GAD＝∠BDG.∴∠C＝∠BDG.故与∠C相等的角有∠GDB、∠ADF、∠GAD. 【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD. 基础提优题 知识点2 直角三角形的判定 6. 已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B，∠C，下列式子中： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③∠A＝∠B＝∠C；④∠A＋∠B＝∠C； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C， 不能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A.1个　 　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 C 综合应用题 【点拨】①∵∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B－∠C＋∠B＋∠C＝180°.∴∠B＝90°.∴△ABC是直角三角形；②∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝×180°＝90°.∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝ ∠C＝60°.∴△ABC不是直角三角形；④∵∠A＋∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＋∠C＝180°.∴∠C＝120°. ∴△ABC不是直角三角形； 综合应用题 ⑤∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴设∠C＝x，则∠A＝3x，∠B＝x.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋3x＋x＝180°，解得x＝°.∴∠A＝°，∠B＝°，∠C＝°. ∴△ABC不是直角三角形.综上所述，不能判断△ABC是直角三角形的是③④⑤，共3个. 返回 综合应用题 【证明】∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°. ∵∠DCM＝∠MAE，∠CMD＝∠AME， ∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴△ACE是直角三角形. 7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，连接CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形. 返回 基础提优题 8. 一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2与重力G的夹角β的度数为103°，则图中∠α的度数为(　　) A.23°　　 B.17°　　 C.15°　　 D.13° 返回 D 综合应用题 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE＝　　. 返回 70° 【点拨】∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED.∵∠A＝25°，∴∠B＝90°－25°＝65°，∴∠CED＝65°，∴∠CDE＝180°－45°－65°＝70°. 综合应用题 10.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有 (　　) A.5个　　 B.6个　　 C.7个　　 D.8个 返回 D 综合应用题 直角三角形 判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $