13.3.1 三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质与判定）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质与判定，核心知识点包括直角三角形两锐角互余的性质、有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法及符号“Rt△”的表示。课堂导入以上节课三角形内角和定理为基础，结合生活中直角三角形实例引出探究，通过已有知识推导新结论，搭建从一般到特殊的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过逻辑推理推导性质与判定，体现数学思维；用几何语言规范表述，强化数学语言表达；典例分析（如例1利用对顶角和互余关系比较角的大小）和分层练习（基础训练、巩固练习、拓展提升）结合，培养学生抽象能力与推理意识。学生能提升逻辑推理和运算素养，教师可依托系统流程与分层资源提高教学效率。

【新教材】人教版·八年级上册 第十三章 三角形 13.3.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质与判定 1 2 3 结合图形掌握直角三角形符号表示方法，准确说出“直角三角形两锐角互余”的性质，能利用性质进行角度换算； 掌握直角三角形的判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形，能结合对顶角、互余关系完成几何证明与角度计算； 经历推导直角三角形性质与判定的过程，体会转化与数形结合思想，提升逻辑推理和数学运算核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就依托三角形内角和定理，推导直角三角形独有的角关系，同时学习它的判定方法 ——直角三角形的性质和判定． 同学们，上节课我们证明了任意三角形内角和都是 180°，可以用来求解各类三角形的内角度数．生活里随处可见直角三角形，它的内角有着特殊规律，值得我们单独探究． 导入新课 如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，∠A 与∠B有什么关系呢？ 解： ∠A 与∠B互余. 理由如下： 在△ABC 中，有 ∠A+∠B +∠C=180°， ∵ ∠C =90° 即∠A+∠B +90°=180°， ∴∠A+∠B =90° 即： ∠A 与∠B互余. 新知探究 4 几何语言： 在直角三角形ABC 中 ∵∠C =90° ∴∠A+∠B =90° 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互余． 新知探究 直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 新知探究 例1：如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E，比较∠CAE 与∠DBE 的大小. 解：在Rt△ACE中， ∠CAE =90°∠AEC 在Rt△BDE 中， ∠DBE＝90°∠BED ∵∠AEC =∠BED ∴∠CAE =∠DBE 典例分析 “直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时一定要在直角三角形中应用． 典例分析 O 基础训练 基础训练 A B C 解：有两个角互余的三角形是直角三角形，理由如下： 由三角形内角和定理，得 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°． ∴有两个角互余的三角形是直角三角形． 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 探究 新知探究 几何语言： ∵∠A+∠B=90° ∴∠C=90° ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形． A B C 新知探究 典例分析 基础训练 基础训练 直角三角形的性质和判定 ①直角三角形的表示 直角三角形的两个锐角互余． 直角三角形可用符号Rt△表示，直角三角形ABC记作. ③直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形. ②直角三角形的性质 新知总结 O 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 20 巩固练习 拓展提升 拓展提升 23 拓展提升 课堂总结 25 必做题： 教材第16页习题13.3第4题 选做题： 教材第17页习题13.3第10题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! 【解析】设与交于点，易得，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可求解． 解：如图，设与交于点，∵， ∴． 和的平分线分别交于点、， ，． ，∴． ． 、，则（     ） A． B． C． D． B 的对顶角和的内错角与三角板的直角在同一个三角形中．利用直角三角形的两锐角互余即可得出答案. 解：如图，由直尺得，， ， 由三角板得，， ． 2．将直尺和三角板如图放置，，求________． 【解析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 解：在中，D是AB上一点， ，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 例2：已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【解析】通过直角三角形的定义及判定方法逐项判断即可. 解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意；对于选项B：∵，又∵，∴，即，∴是直角三角形，故B不符合题意；对于选项C：∵，设∴，∴、、无法构成三角形，故C符合题意；对于选项D：∵是边上的高，∴，∴，∴是直角三角形，故D不符合题意． 1．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 C 直角 【解析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． ， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 2．如图，平分，，，，则是____三角形． B 【解析】由垂直意义及三角形内角和求得的度数，再由平行线的性质即可求解． 解：设交于点O，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．如图，点，在直线上，点，在直线上，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【解析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 解：A、∵，，∴，∴，∴，∴不是直角三角形． B、∵，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴是直角三角形． C、∵，，∴，，∴是直角三角形． D、∵，∴是直角三角形． 2．满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． A 【解析】根据垂直的定义和平行线的判定定理可判断①；根据平行线的性质和同角的余角相等可判断②；根据角平分线的定义和已知条件可判断③；根据直角三角形的两锐角互余和平行线的性质可判断④. 解：∵是的高， ， ∴，∴，故①正确； ∵，∴， ∵，， ∴，， 3．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号） ①②④ ∴，∴，故②正确； 若平分，则， ∴， 题目未给出，故③错误； 在中，， ∵， ∴，故④正确； 综上可知，正确的是：①②④． 3．如图，在中，是的高，点在边上，过点作于点，过点作交于点．下列结论：①；②；③平分；④．正确的是__________．（填出所有正确结论的序号） 【解析】先求出，即可得出，再根据三角形内角和定理得出，然后根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 解：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴． ∵平分，∴， ∴． 4．如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 5．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【解析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．（）利用余角性质即可求解；（）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解；（）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，，∴， ∵，∴， ∴，∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴． $