13.3.1 第1课时 三角形的内角和 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（新教材）数学八年级上册教学课件 第十三章 三角形 13.3.1 第1课时 三角形的内角和 2026年10月3日 人教版七年级数学上册1.2.3相反数专项练习题（约1100字） 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 只有________不同的两个数叫做互为相反数，相反数的几何意义是：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的________，且到原点的________相等。 2. $$5$$的相反数是________，$$-8$$的相反数是________，$$0$$的相反数是________。 3. $$-\dfrac{3}{4}$$的相反数是________，$$2.6$$的相反数是________。 4. 化简符号：$$-(+6)=$$________，$$-(-9)=$$________，$$-0=$$________。 5. 若一个数的相反数是它本身，则这个数是________；若一个数的相反数是正数，那么这个数是________。 6. 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离为10，则这两个数分别是________和________。 7. 若$$a$$与$$3$$互为相反数，则$$a=$$________；若$$x=-7$$，则$$-x=$$________。 二、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（） A. $$4$$和$$\dfrac{1}{4}$$ B. $$-4$$和$$4$$ C. $$-4$$和$$-\dfrac{1}{4}$$ D. $$4$$和$$4$$ 2. 关于相反数的说法正确的是（） A. 正数和负数互为相反数 B. 任何一个数都有相反数 C. 相反数是本身的数是正数 D. 0没有相反数 3. $$-(-3)$$的相反数是（） A. $$3$$ B. $$-3$$ C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 4. 若$$a$$的相反数是$$-2$$，则$$a$$的值为（） A. $$2$$ B. $$-2$$ C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 5. 下列化简正确的是（） A. $$-(+5)=5$$ B. $$-(-7)=-7$$ C. $$-(+0.8)=-0.8$$ D. $$-(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$$ 6. 数轴上表示数$$m$$和$$-m$$的两点之间的距离不可能是（） A. 0 B. 4 C. 8 D. 负数 7. 一个数的相反数小于它本身，这个数一定是（） A. 正数 B. 负数 C. 0 D. 非正数 8. 已知$$a$$与$$b$$互为相反数，则下列式子一定成立的是（） A. $$a-b=0$$ B. $$a+b=0$$ C.$$ab=1$$ D. $$\dfrac{a}{b}=1$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共16分） 1. 符号不同的两个数互为相反数。（） 2. 0的相反数是0。（） 3. 负数的相反数一定是正数。（） 4. $$-6$$是相反数。（） 5. 若两个数互为相反数，则它们到原点的距离相等。（） 6. $$-(-10)$$化简后是10。（） 7. 互为相反数的两个数一定不相等。（） 8. 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。（） 四、解答题（共30分） 1. （8分）写出下列各数的相反数，并在数轴上表示出原数和它的相反数： $$-4，2.5，0，-\dfrac{5}{2}$$ 2. （10分）化简下列各数的符号： （1）$$-(+9)$$ （2）$$-(-12)$$ （3）$$-(+3.6)$$ （4）$$-(-\dfrac{4}{7})$$ （5）$$-[-(-8)]$$ 3. （12分）综合应用题： （1）若数$$x$$的相反数是$$-5$$，求$$x$$的值； （2）若$$a+3$$与$$2$$互为相反数，求$$a$$的值； （3）已知数轴上两点表示的数互为相反数，且两点间距为16，求这两个数。 参考答案 一、填空题 1. 符号；两侧；距离 2. $$-5$$；$$8$$；$$0$$ 3. $$\dfrac{3}{4}$$；$$-2.6$$ 4. $$-6$$；$$9$$；$$0$$ 5. 0；负数 6. $$5$$；$$-5$$ 7. $$-3$$；$$7$$ 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A 8.B 三、判断题 1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 四、解答题 1. 相反数依次为：$$4，-2.5，0，\dfrac{5}{2}$$；数轴表示略。 2. （1）$$-9$$ （2）$$12$$ （3）$$-3.6$$ （4）$$\dfrac{4}{7}$$ （5）$$-8$$ 3. （1）$$x=5$$；（2）由题意得$$a+3+2=0$$，解得$$a=-5$$；（3）两个数为$$8$$和$$-8$$。 总字数：1102字，覆盖相反数定义、几何意义、符号化简、相反数性质及综合应用，贴合课本基础考点，题型循序渐进，适配七年级同步课后练习与巩固提升。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 # 人教版数学八年级上册13.3.1第1课时《三角形的内角和》专项练习（全文约1412字） ## 一、知识梳理 三角形内角和定理：**三角形三个内角的和等于180°**。 定理推导：常通过剪拼法，把三角形两个内角移到第三个角旁边，拼成一个平角，以此验证内角和为180°。几何计算时，在△ABC中有$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$。 推论：①已知三角形中任意两个内角，可求出第三个内角；②直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角相加等于90°；③三角形中最多只有1个直角或1个钝角，最少有两个锐角。 解题要点：遇到角度计算，直接利用内角和建立方程；在直角三角形优先使用锐角互余简化计算；注意题目中隐藏条件，比如三角形内角、平角、对顶角等，综合求解角度。 ## 二、专项练习题 ### （一）选择题（每题4分，共40分） 1. 在△ABC中，$\angle A=30^\circ$，$\angle B=70^\circ$，则$\angle C$的度数是（） A.70° B.80° C.90° D.100° 2. 一个三角形的三个内角之比为2∶3∶5，则这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3. 在△ABC中，$\angle A=\angle B=2\angle C$，则$\angle C$等于（） A.36° B.45° C.60° D.72° 4. 已知直角三角形一个锐角为42°，则另一个锐角为（） A.42° B.48° C.58° D.68° 5. 下列各组角度，不可能是同一个三角形三个内角的是（） A.50°，60°，70° B.30°，50°，100° C.90°，35°，55° D.100°，40°，50° 6. 在△ABC中，$\angle A=60^\circ$，$\angle B-\angle C=20^\circ$，则$\angle B$为（） A.40° B.60° C.70° D.80° 7. 一个三角形中，说法正确的是（） A.可以有两个钝角 B.最多一个直角 C.最少一个钝角 D.最少一个直角 8. 在△ABC中，AD是BC边上的高，$\angle B=50^\circ$，$\angle BAD$的度数为（） A.30° B.40° C.50° D.60° 9. 在△ABC中，$\angle A=80^\circ$，BD、CE分别是三角形的两条高，相交于点O，则$\angle BOC$等于（） A.80° B.90° C.100° D.110° 10. 三角形中有一个内角是70°，另外两个内角的度数不可能是（） A.50°，60° B.90°，20° C.100°，10° D.110°，10° ### （二）填空题（每题4分，共24分） 11. 三角形内角和等于________°。 12. 在△ABC中，$\angle A=25^\circ$，$\angle B=75^\circ$，则$\angle C=$________。 13. 直角三角形的一个锐角是37°，另一个锐角是________。 14. 三角形三个内角之比为1∶2∶3，最大内角为________。 15. 在△ABC中，$\angle A+\angle B=105^\circ$，则$\angle C=$________。 16. 在△ABC中，$\angle A:\angle B:\angle C=3:4:5$，则$\angle B=$________。 ### （三）解答题（共36分） 17.（12分）在△ABC中，已知$\angle A=48^\circ$，$\angle B=62^\circ$。 （1）求$\angle C$的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数。 18.（12分）在△ABC中，$\angle A:\angle B:\angle C=2:3:4$，求△ABC三个内角的度数，并判断该三角形属于哪一类三角形。 19.（12分）如图，在△ABC中，\(\angle B\)=40°，\(\angle C\)=60°，AD是BC边上的高，AE平分\(\angle B\)AC，求∠DAE的度数。 ## 三、参考答案与解析 **选择题**：1.B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D **填空题**： 11.$180$；12.$80^\circ$；13.$53^\circ$；14.$90^\circ$；15.$75^\circ$；16.$60^\circ$ **解答题** 17.解：（1）$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-48^\circ-62^\circ=70^\circ$。 （2）AD平分\(\angle B\)AC，$\angle BAD=\frac12\angle A=24^\circ$。在△ABD中，$\angle ADB=180^\circ-40^\circ-24^\circ=116^\circ$，$\angle ADC=180^\circ-116^\circ=64^\circ$。 18.解：设$\angle A=2x$，$\angle B=3x$，$\angle C=4x$。 $2x+3x+4x=180^\circ$，解得$x=20^\circ$。 $\angle A=40^\circ$，$\angle B=60^\circ$，$\angle C=80^\circ$。三个角都是锐角，所以该三角形为锐角三角形。 19.解：$\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$。 AE平分\(\angle B\)AC，$\angle BAE=\frac12\times80^\circ=40^\circ$。 AD⊥BC，$\angle ADB=90^\circ$，$\angle BAD=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$。 $\angle DAE=\angle BAD-\angle BAE=50^\circ-40^\circ=10^\circ$。 本节是三角形角度计算的基础，核心定理就是三角形内角和180°。常见题型是利用方程思想，根据内角比例设未知数求解；常和三角形的高、角平分线综合出题，需要多次在不同小三角形中使用内角和定理。做题时要理清图形中的角之间的和差关系，规范书写几何步骤，避免角度加减出错。 （全文：1412字） 要不要继续写**13.3.2三角形的外角**这一节的专项练习，同样控制在1412字左右？ 探索并证明三角形内角和定理. 一 能运用三角形内角和定理解决简单问题. 二 学习重点 探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性. 学习难点 如何添加辅助线证明三角形内角和定理. 学习目标 问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家借助手中的三角形纸片，回忆小学时的学习经历. 1.用度量的方法得出结论. 复习引入 与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素。本节我们学习三角形的三个内角之间的关系。 探究新知 4 在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于180°，这样的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 探究新知 探究：你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？下图给出了两种剪拼的方法。从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 探究新知 在图(1)中，将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点的直线，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上。想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？ 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180”的方法吗？ 探究新知 由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l 平行于△ABC的边BC. 由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论。 探究新知 A B C 2 4 1 5 3 　l 证明：如图所示，过点A作直线l，使l//BC． ∵l//BC， ∴∠2=∠4, （两直线平行，内错角相等） 同理，∠3=∠5. ∵∠1，∠4，∠5组成平角 ∴∠1+∠4+∠5=180°, （平角定义） ∴∠A+∠B+∠C=180°. （等量代换） ∴任意一个三角形的内角和都等于180° 已知：△ABC（如图所示）． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 探究新知 以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理： 三角形内角和定理： 三角形的三个内角和等于180° 即：∠A+∠B+∠C=180° 探究新知 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 探究新知 证明：如图，延长 BC，过点 C 作直线 l，使 l//AB． ∵ l∥AB， ∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）． ∵∠3，∠4，∠5 组成平角， ∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． A B C 1 2 3 l 5 4 试一试：由图（2），你能给出这个定理的其他证法吗？ 探究新知 12 例1：如图，在△ABC 中， ∠BAC =40°, ∠B =75°，AD 是△ABC 的角平分线．求∠ADB 的度数． C B D A 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠DAB=∠BAC=20°， 在△ABD 中， ∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－20°－75°=85°． 探究新知 知识点1 三角形内角和定理 1.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD的大小是(　　) A.45°　　 B.54°　　 C.40°　　 D.50° 返回 C 基础提优题 2.如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A.85°　　 B.80°　　 C.75°　　 D.70° 返回 A 基础提优题 3.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则△ABC(　　) A.是锐角三角形　　　B.是直角三角形 C.是钝角三角形　　　D.不存在 返回 B 基础提优题 例2：如图，是A、B、C三岛的平面图. C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C岛看A，B 两岛的视角∠ACB 呢？ 北 北 C A B D E 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角. 如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 探究新知 解：∠CAB=∠BAD−∠CAD=80°−50°=30°, 由AD//BE，得 ∠BAD+∠ABE=180°， ∴∠ABE=180°－∠BAD=180°−80°=100° ∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°−40°=60° 在△ABC 中， ∠ACB=180°−∠ABC−∠CAB=180°−60°−30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 你还能想出其他解法吗？ 北 北 C A B D E 探究新知 求角有技巧，一转二计算 （1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置． （2）计算：集中条件应用三角形内角和定理计算角． 探究新知 【知识技能类练习】必做题： 1.下列各组角能构成同一个三角形的三个内角的是( ) A. 34°，36°，50° B.63°，70°，67° C. 95°，80°，5° D.25°，160°，15° C 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 2.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 A 当堂检测 【知识技能类练习】必做题： 3.在△ABC中，∠A＋∠B＝100°，∠C＝2∠B，求∠A，∠B，∠C的度数． 解：在△ABC中， ∠C＝180°－(∠A＋∠B) ＝180°－100° ＝80°， ∠B＝∠C＝40°， ∠A＝100°－∠B＝60° 当堂检测 【知识技能类练习】选做题： 4．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 A 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分. (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． ； 理由：， ， 平分，平分， ，， 当堂检测 【综合拓展类练习】 5．如图，D，E分别是边，上两点，平分，平分. (1)若，，则__________； (2)若，则__________； (3)写出，与之间的数量关系，并说明理由． ， ， ，即． 当堂检测 4.［2026广州期中］如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点.若∠P＝2∠A，则∠A＝(　　) A.30° B.40°　　 C.50° D.60° D 基础提优题 【点拨】∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝∠ACB.∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠PBC＋∠PCB＝∠ABC＋∠ACB＝90°－∠A.∵∠P＝2∠A，∠P＋∠PBC＋∠PCB＝180°，∴2∠A＋90°－∠A ＝180°.∴∠A＝60°. 基础提优题 两内角平分线的夹角公式：如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC＝90°＋∠A. 返回 基础提优题 知识点2 三角形内角和的应用 5. 如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是燃气管道，为了不影响管道，准备在B处和C处开工挖出“V”字形通道.若∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠A的度数是　　　　. 5.75° 基础提优题 【点拨】∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝45°.∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝75°. 返回 基础提优题 6.如图，在平面直角坐标系中，∠BAC＝90°，点B，C在x轴上(点B在点C的左侧)，P为△ABC内的一点，连接PA，PB.若∠1＝∠2，则∠APB＝　　　°. 返回 90 【点拨】∵∠BAC＝90°，∴∠BAP＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠BAP＋∠1＝90°.∵∠APB＋∠1＋∠BAP＝180°，∴∠APB＝180°－(∠1＋∠BAP)＝90°. 综合应用题 7. 如图，点C在点B的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏西30°方向上，点B在点A的北偏东30°方向上. (1)求∠ABC的大小； 【解】如图，根据题意可得∠1＝60°，∠3＝30°.∵AE∥ DB，∴∠2＝∠3＝30°， ∴∠ABC＝180°－60°－30°＝90°. 基础提优题 (2)求∠C的大小. 返回 【解】∵∠3＝30°，∠4＝30°，∠ABC＝90°， ∴∠C＝180°－90°－30°－30°＝30°. 基础提优题 8. 如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4.若∠α＝68°，则∠β的度数是(　　) A.44°　　 B.45°　　 C.46°　　 D.47° A 综合应用题 【点拨】如图，∵∠α＝68°，∴∠2＋∠3＝180°－∠α＝180°－68°＝112°.∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2×112°＝224°.∴∠5＋∠6＝180°－(∠1＋∠2)＋180°－(∠3＋∠4)＝360°－224°＝136°.∴∠β＝180°－(∠5＋∠6)＝44°. 返回 综合应用题 【点拨】连接AA′.首先求出∠A′BC＋∠A′CB＝65°，再求出∠BAC，由折叠可知∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，然 9. 如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，∠1＝45°，则∠2的度数为(　　) A.50°　　 B.55°　　 C.60°　　 D.65° 返回 B 后求出∠1＋∠2＝2∠BAC即可解决问题. 综合应用题 10. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交AC于点N，连接BN.当△BMN是等腰三角形时，∠MNB＝　　　 . 　 . 或65°或80° 25°或50° 综合应用题 三角形内角和定理 平行线证明法 动手实践操作法 课堂小结 谢谢观看 THANKS $