第1章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•荣县校级期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2 C． D．x2＝0 2．（2026秋•清水县校级月考）方程x2＝4x的解是（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 3．（2026•瑞安市开学）设x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根，且x2＝2x1，则常数m的值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•冷水江市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的过程中，变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝4 C．（x+2）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 5．（2026•平邑县二模）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 6．（2026•南开区校级开学）某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306，那么参加比赛的球队共有（　　） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 7．（2026•乌鲁木齐一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 8．（2025秋•成都期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 9．（2026•遂宁一模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2026•鹿城区校级开学）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的个数是（　　） ①若方程的两个根为﹣2和1，则2b+c＝0． ②若a+b+c＝0，则方程一定有解． ③若am2+bm+c＝an2+bn+c＝0，则m＝n． ④若ab﹣bc＝0，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．（2026•瑞安市开学）把一元二次方程（x﹣2）（x+2）＝5x化为一般形式，结果是______________ ． 12．（2025秋•梓潼县期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝_____ ． 13．（2025秋•南海区校级月考）已知矩形的边长分别为3、2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形较大的边长是__________________ ． 14．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是_____ ． 15．（2026•鹿城区校级开学）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2026，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为_________ ． 16．（2026秋•西安校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，△ABC的周长为 __________________ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•西城区校级月考）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1； （3）2x2+3x+2＝0． 18．（2026秋•玉门市校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 19．（2025秋•白云区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是一元二次方程的两个实数根． ①当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出△ABC的周长． 20．（2026秋•海淀区校级月考）如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为36米，宽为21米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为450平方米，求车道的宽度． 21．（2026秋•宿城区校级月考）2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 22．（2025秋•石狮市校级月考）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0． （1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”：_______________ ． （2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根为，x4＝___________________ ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为_________ ，请证明你的结论． （3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，．请利用（2）中的结论，直接写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根． 第1章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•荣县校级期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣2＝（x+3）2 C． D．x2＝0 【解答】解：A、当a＝0时，即该方程的二次项系数是0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项错误； B、由x2﹣2＝（x+3）2，得6x+11＝0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误； C、是分式方程，不是整式方程； D、符合一元二次方程的概念，故本选项正确； 故选：D． 2．（2026秋•清水县校级月考）方程x2＝4x的解是（　　） A．x1＝x2＝4 B．x1＝x2＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 【解答】解：x2＝4x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4． 故选：C． 3．（2026•瑞安市开学）设x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根，且x2＝2x1，则常数m的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x+m＝0的两根， ∴x1+x2＝4，x1x2＝m， ∴x1+2x1＝4，m＝2（x1）2． ∴． ∴m＝2×（）2＝2． 故选：D． 4．（2025秋•冷水江市期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣4＝0的过程中，变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝4 C．（x+2）2＝8 D．（x﹣2）2＝8 【解答】解：x2﹣4x﹣4＝0， 移项得，x2﹣4x＝4， 配方得，x2﹣4x+4＝4+4， 即（x﹣2）2＝8， 故选：D． 5．（2026•平邑县二模）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠1， ∴k的值可以是． 故选：D． 6．（2026•南开区校级开学）某联赛采用双循环赛制，如果比赛的总场数为306，那么参加比赛的球队共有（　　） A．17支 B．18支 C．19支 D．20支 【解答】解：设参加比赛的球队共有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝306， 整理得：x2﹣x﹣306＝0， 解得：x1＝18，x2＝﹣17（不符合题意，舍去）， 即参加比赛的球队共有18支， 故选：B． 7．（2026•乌鲁木齐一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（　　） A．8000（1+2x）＝1200 B．8000（1+x）2＝12000 C．8000+8000（1+x）+8000（1+x）2＝12000 D．8000×2（1+x）＝12000 【解答】解：设每月增长率为x， 则二月份销量为8000（1+x），三月份销量为二月份的（1+x）倍，即8000（1+x）2． ∵一月份的8000辆增加到三月份的12000辆， ∴8000（1+x）2＝12000． 故选：B． 8．（2025秋•成都期末）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 9．（2026•遂宁一模）小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 10．（2026•鹿城区校级开学）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法正确的个数是（　　） ①若方程的两个根为﹣2和1，则2b+c＝0． ②若a+b+c＝0，则方程一定有解． ③若am2+bm+c＝an2+bn+c＝0，则m＝n． ④若ab﹣bc＝0，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①若方程的两个根为﹣2和1，由根与系数的关系得，， ∴b＝a，c＝﹣2a， ∴2b+c＝2a﹣2a＝0，故①正确，符合题意； ②∵a+b+c＝0， ∴将x＝1代入方程得a•12+b•1+c＝a+b+c＝0， ∴x＝1是方程的根，即方程一定有解，故②正确，符合题意； ③若am2+bm+c＝an2+bn+c＝0，则m，n都是方程ax2+bx+c＝0的实数根， ∵一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴m不一定等于n，故③错误，不符合题意； ④若ab﹣bc＝0，则b（a﹣c）＝0， ∵， ∴ac＜0，a与c异号， ∴a≠c，即a﹣c≠0， ∴b＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣4ac＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 两根之和为， ∴方程的两实数解一定互为相反数，故④正确，符合题意； 故正确的有①②④，共3个． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•瑞安市开学）把一元二次方程（x﹣2）（x+2）＝5x化为一般形式，结果是x2﹣5x﹣4＝0　 ． 【解答】解：（x﹣2）（x+2）＝5x， 则x2﹣4＝5x， ∴x2﹣5x﹣4＝0， 故答案为：x2﹣5x﹣4＝0． 12．（2025秋•梓潼县期末）关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝　2　 ． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣4）2﹣4×1×2m＝16﹣8m＝0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 13．（2025秋•南海区校级月考）已知矩形的边长分别为3、2，另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍，那么新矩形较大的边长是　　 ． 【解答】解：由题意可知，矩形周长为2×（3+2）＝10，面积为3×2＝6， 新矩形周长为2×10＝20，面积为2×6＝12， 设新矩形的长为x，则宽为10﹣x， 根据题意得：x（10﹣x）＝2×6， 整理得：x2﹣10x+12＝0， 解得：或（不符合题意，舍去）， 取较大值，即为， 故答案为：． 14．（2026秋•香坊区校级月考）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是　4　 ． 【解答】解：∵xΔ4＝8， ∴x（x﹣4）+2×4＝8， x（x﹣4）＝0， ∵x＞0， ∴x﹣4＝0， 解得：x＝4． 故答案为：4． 15．（2026•鹿城区校级开学）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0有一个根为2026，则一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为　2025　 ． 【解答】解：将方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5变形为a（x+1）2+b（x+1）+5＝0， 设t＝x+1，则原方程可化为at2+bt+5＝0， 由题意可得：at2+bt+5＝0有一个根为t＝2026， 即x+1＝2026， 解得x＝2025， 因此一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一个根为2025． 故答案为：2025． 16．（2026秋•西安校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，△ABC的周长为 　7　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系得b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3， ∵b、c为直角边，斜边a为， ∴b2+c2＝（）2， ∴（b+c）2﹣2bc＝31， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣12＝0， （k﹣3）（k+2）＝0， k﹣3＝0或k+2＝0， 解得k1＝3，k2＝﹣2（舍去）， ∴b+c＝2×3+1＝7， ∴△ABC的周长＝7． 故答案为：7． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•西城区校级月考）解方程： （1）x2﹣6x+4＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1； （3）2x2+3x+2＝0． 【解答】解：（1）a＝1，b＝﹣6，c＝4， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×4＝20＞0， ， ∴原方程的根为，； （2）原方程整理得： 5x2﹣4x﹣1＝0； x2x， x2（）2， （x）2， x， 解得或x＝1， ∴原方程的根为，x2＝1； （3）a＝2，b＝3，c＝2， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0， 因此原方程无实数根． 18．（2026秋•玉门市校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【解答】解：（1）由条件可得：（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0． 即4k＞﹣9， 解得． （2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2， 如果k＝﹣1，原方程为　x2﹣3x+1＝0． 解得，，． （如果k＝﹣2，原方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2） 19．（2025秋•白云区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB，AC的长是一元二次方程的两个实数根． ①当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？ ②当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵x2﹣（m+1）x+3（m﹣2）＝0． ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×3（m﹣2） ＝m2+2m+1﹣12m+24 ＝m2﹣10m+25 ＝（m﹣5）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）①由题意得AC+AB＝m+1，AC•AB＝3（m﹣2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5， ∴BC2＝AB2+AC2 ＝（AB+AC）2﹣2AC•AB ＝（m+1）2﹣2×3（m﹣2） ＝m2﹣4m+13＝25， 解得m＝6或m＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴m＝6． ②分情况讨论：当BC为腰时，方程有一个根为x＝5， 将x＝5代入方程，得25﹣5（m+1）+3（m﹣2）＝0， ∴m＝7， ∴方程为x2﹣8x+15＝0， 解得x1＝3，x2＝5， ∴等腰三角形ABC的三边长为5，5，3， ∴△ABC的周长为5+5+3＝13； 当BC为底边时，方程有2个相等的实数根， ∴（m﹣5）2＝0， ∴m＝5， ∴方程为x2﹣6x+9＝0， 解得x1＝x2＝3， ∴等腰三角形ABC的三边长为3，3，5， ∴△ABC的周长为3+3+5＝11； 综上，当m的值为5或7时，△ABC是等腰三角形，对应周长分别为11，13． 20．（2026秋•海淀区校级月考）如图是某矩形停车场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是车道，停车场的长为36米，宽为21米，停车场内的车道宽度都相等，若停车位的占地总面积为450平方米，求车道的宽度． 【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位所占区域可合成长为（36﹣x）米，宽为（21﹣x）米， 根据题意得：（36﹣x）（21﹣x）＝450， 整理得：x2﹣57x+306＝0， 解得：x1＝6，x2＝51（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为6米． 21．（2026秋•宿城区校级月考）2025年9月，伴随着“绿茵燃江苏，逐梦苏超杯”的口号江苏省城市足球联赛正式开赛，全省十三个设区市的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想在江淮大地绽放．为响应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售一款印有吉祥物“苏苏”和“江江”的苏超赛事纪念徽章深受球迷喜爱．商家以每件45元的价格购进该款纪念徽章，以每件68元的价格出售．经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式．经试验，发现该款纪念徽章每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款纪念徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【解答】解：（1）设该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为25%； （2）设该款纪念徽章降价y元，则每件的销售利润为（68﹣y﹣45）元，月销售量为（400+20y）件， 根据题意得：y2﹣3y﹣40＝0， 解得：y1＝8，y2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该款纪念徽章降价8元． 22．（2025秋•石狮市校级月考）定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如2x2﹣7x+3＝0的“友好方程”是3x2﹣7x+2＝0． （1）写出一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”：　8x2﹣2x﹣1＝0　 ． （2）已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4，它的“友好方程”的两根为，x4＝　　 ．根据以上结论，猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为　互为倒数　 ，请证明你的结论． （3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，．请利用（2）中的结论，直接写出关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根． 【解答】解：（1）由“友好方程”的定义可知， 一元二次方程x2+2x﹣8＝0的“友好方程”为﹣8x2+2x+1＝0，即8x2﹣2x﹣1＝0， 故答案为：8x2﹣2x﹣1＝0； （2）由（1）可知，一元二次方程x2+2x﹣8＝0的友好方程为8x2+2x+1＝0， 解得x或x， 所以猜想ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，与其“友好方程”cx2+bx+a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 证明如下： ∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2 “友好方程”cx2+bx+a＝0的两根为x3，x4． ∴x1•x4•1，x2•x3•1．即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：，互为倒数； （3）已知关于x的方程2023x2+bx﹣1＝0的两根是x1＝﹣1，． 那么x2﹣bx﹣2023＝0的两个根分别是x3＝﹣1，x4＝2023， 将（x﹣1）2﹣bx+b＝2023整理为：（x﹣1）2﹣b（x﹣1）﹣2023＝0， 那么有x﹣1＝﹣1或x﹣1＝2023， 即x5＝0，x6＝2024． ∴关于x的方程（x﹣1）2﹣bx+b＝2023的两根为x＝0或x＝2024． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $