精品解析：河北省衡水市武强县衡水街关中学2026-2027学年高二上学期第一次月考质量检测数学试题

衡水街关中学2026－2027学年度上学期第一次月考质量检测 高二数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 10. 下列命题是假命题的是（ ） A. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C. “”是“直线与垂直”的充要条件 D. 已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 对于任意点，都有 B. 对于任意点，不存在∥平面 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥体积为 三、填空题（每小题5分.共15分.12题第一空2分，第二空3分） 12. 经过两点的直线方程为______________，若直线的一个方向向量为，则________． 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 14. 已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 16. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 18. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡水街关中学2026－2027学年度上学期第一次月考质量检测 高二数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 所以， . 2. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 3. 已知向量，，且与互相垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 已知，， 则，； 由与互相垂直，可得 ， 代入坐标计算得： 整理得，解得. 4. 已知平面向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以，即， 又，， 所以， 则向量在向量上的投影向量为： ． 5. 已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 6. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 7. 已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线之间的距离的定义，结合图形分析可知平行直线，间的距离的最大值为. 【详解】如图，平行直线，间的距离是直线上的点与直线上的点之间的距离的最小值， 所以当直线，与直线垂直时，平行直线，间的距离最大，即， . 所以这两条直线之间的距离的最大值为. 8. 已知正方体的棱长为2，点满足，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由和结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量，则， 取，点到平面的距离． 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 有一组样本数据的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据的平均数为 B. 设，则样本数据的方差为 C. 样本数据的平均数为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数定义计算判断A，应用方差公式计算判断B，D，举反例计算判断C. 【详解】对于A，的平均数为，故A正确； 对于B，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D， ，故D不正确 10. 下列命题是假命题的是（ ） A. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C. “”是“直线与垂直”的充要条件 D. 已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】A:利用平行线间的距离公式，计算即可判断，对于B，根据题意结合百分位数定义计算判断B，应用垂直关系得出系数关系结合充分必要条件定义判断C，应用概率的基本性质结合已知条件计算即可判断D． 【详解】对于选项A：由平行线间的距离公式：，故A正确； 对于B， 由，故数据4，8，12，16，20的第分位数为第四个数和第五个数的平均数，故B错误； 对于C，当时，直线与满足，所以直线垂直， 直线与垂直则，即，不一定， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件，C选项错误； 对于D，事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， ， 则事件A，B都不发生的概率是，D选项正确； 故选：BC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 对于任意点，都有 B. 对于任意点，不存在∥平面 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体的垂直关系建立空间直角坐标系，根据坐标关系判断选项即可． 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为棱长为2，可得，，；设， 则，； 则；故对于任意点，都有，A选项正确； 因为分别是的中点，故，，； 则，； 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，； 令，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在∥平面，B选项正确； 在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点； 因为正方体中，平面平面，且交于； 因为平面，故平面，而平面，则； 因为平面，故平面； 平面截正方体的截面为矩形； 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为，故C正确； 由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 综上，不存在点，使得三棱锥体积为，故D错误． 三、填空题（每小题5分.共15分.12题第一空2分，第二空3分） 12. 经过两点的直线方程为______________，若直线的一个方向向量为，则________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据两点的坐标，结合截距式方程即可求解直线方程，再根据方向向量即可求解． 【详解】经过两点的直线方程为，即， 所以直线的一个方向向量为，故． 13. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，且的夹角为钝角， 所以且与不共线， 由，则解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数λ的取值范围为． 14. 已知点、，是直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，可得出，于是得出，利用当点为线段与直线的交点时，取最小值即可得解. 【详解】如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，即，解得，即， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知，求(均写出一般式方程); （1）边上的中线所在的直线方程； （2）过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； （3）求点关于的对称点的坐标. 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得中点坐标，结合坐标，可得中线方程； （2）当直线过原点时，显然满足题意；当直线不过原点时，利用截距式结合题意可得答案； （3）由题可得，中点在上，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得中点坐标为，又， 则，从而中线方程为：； 【小问2详解】 当直线过原点和点时，满足题意，则方程可为：; 当直线不过原点时，设，则， 则可为：. 综上可得：为或. 【小问3详解】 因关于对称，则可得，中点在上， 设，则， 从而，则. 16. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 18. 在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】小问（1）根据商数关系、正弦定理和诱导公式将等式化简，再根据锐角三角形得出角的范围从而求出结果；小问（2）运用第（1）问结果和锐角三角形求出角B的范围，再根据正弦定理和角的关系求出b、c两边与角B的关系式，三角形的三边相加并进行化简，再根据角B的范围求出周长的范围. 【小问1详解】 在中，由题意得：， 即， 得， 因为，解得． 又，故． 【小问2详解】 由于该三角形为锐角三角形，，有， 即， 解得． 由正弦定理得：， 解得，， 则的周长 ， 又因为，所以， 的周长的取值范围为． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明：由题意知、分别是、的中点，则得， 因为平面，平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值即可； （3）利用向量法求点到平面的距离，再由棱锥体积公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $