第二章 简单事件的概率 单元进阶卷（温州地区） 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

2026~2027 学年浙教版九年级上册数学第二章简单事件的概率单元进阶卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．某事件发生的概率为 0，则该事件是不可能事件　　B．抛掷一枚硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上　　C．打开电视机，它正在播放广告是必然事件　　D．可能性很小的事件一定不会发生 2．（3 分）不透明的盒中装有 8 张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，这些卡片除数字外完全相同．从盒中随机摸出一张卡片，摸到写有 3 的倍数的卡片的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．（3 分）同时掷两枚均匀的骰子一次，两枚骰子点数之和大于 8 的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．（3 分）不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中搅匀，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．（3 分）某学习小组做「用频率估计概率」的摸球试验：从不透明的袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，共摸球 200 次，其中摸到红球 64 次．下列说法正确的是（　　） A．袋中红球的个数一定是 64 个　　B．再摸 100 次，一定有 32 次摸到红球　　C．摸到红球的概率一定等于 0.32　　D．估计摸到红球的概率约为 0.32 6．（3 分）从数字 1，2，3，4 中随机抽取两个不同的数字，则这两个数字之积为奇数的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．（3 分）不透明的袋中装有 2 个红球、1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，则第二次摸出的球是红球的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．（3 分）甲、乙两人做游戏：两人各掷一枚均匀的骰子一次，若两枚骰子点数相同则甲获胜，否则乙获胜．这个游戏（　　） A．公平，因为两人获胜的可能性相等　　B．不公平，乙获胜的可能性更大　　C．不公平，甲获胜的可能性更大　　D．无法判断是否公平 9．（3 分）同时掷两枚均匀的骰子一次，则两枚骰子点数之积为偶数且点数之和也为偶数的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．（3 分）不透明的袋中装有 3 个红球和若干个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，若两次都摸到白球的概率是 ，则袋中白球有（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．6 个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．（2 分）掷一枚均匀的骰子一次，事件「掷出的点数是正整数」是＿＿事件（填「必然」「不可能」或「随机」）． 12．（2 分）不透明的盒中装有 6 个小球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，这些球除数字外完全相同．从盒中随机摸出一个小球，摸到标有质数的小球的概率是＿＿． 13．（3 分）某养殖场对一批鸡蛋进行孵化，随着孵化数量的增大，雏鸡成活的频率逐渐稳定在 0.95 附近．若该场下一批孵化这样的鸡蛋 4000 枚，估计能孵出雏鸡约＿＿只． 14．（3 分）从数字 2，3，4，5 中随机抽取两个不同的数字，则这两个数字之和大于 6 的概率是＿＿． 15．（4 分）从 1 到 20 这 20 个整数中随机抽取一个数，则抽到的数能被 3 或 5 整除的概率是＿＿． 16．（4 分）连续抛掷一枚均匀的硬币三次，则至少有一次正面朝上的概率是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）一个可以自由转动的转盘，盘面被分成 3 个面积相等的扇形，分别标有数字 1，2，3．自由转动转盘两次，每次转盘停止后，指针所指扇形内的数字即为这次转出的数字，且每次转出 1，2，3 的可能性相等．解答下列问题： (1) 请用树状图法列出两次转出数字的所有等可能结果； (2) 求两次转出的数字之积为 6 的概率； (3) 求两次转出的数字之和为奇数的概率． 18．（6 分）甲、乙两人各掷一枚均匀的骰子一次，把两人掷出的点数相乘得到一个乘积．解答下列问题： (1) 请用列表法求乘积为 12 的概率； (2) 求乘积大于 20 的概率． 19．（6 分）不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．小明和小红用这个袋做摸球游戏：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中搅匀．解答下列问题： (1) 求一次摸球摸到红球的概率； (2) 游戏规则：摸到红球小明得 1 分，摸到白球小红得 1 分，两人各摸 10 次，总分高者获胜．这个规则对两人公平吗？请说明理由； (3) 若不公平，请你只修改得分规则，使游戏对两人公平（写出一种方案并说明理由）． 20．（6 分）某不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球．小明做摸球试验：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，分三批重复试验，统计结果如下： 第一批：摸 100 次，其中摸到红球 60 次； 第二批：摸 500 次，其中摸到红球 301 次； 第三批：摸 2000 次，其中摸到红球 1198 次．解答下列问题： (1) 分别求这三批试验中摸到红球的频率（结果保留两位小数）； (2) 由 (1) 估计袋中红球个数占球总数的比例； (3) 若袋中共有 30 个球，估计其中红球的个数；若已知袋中红球有 12 个，估计袋中球的总数． 21．（6 分）不透明的袋中装有 4 个球，分别标有数字 1，2，3，4，这些球除数字外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球．解答下列问题： (1) 请用列表法列出两次摸出数字的所有等可能结果； (2) 求两次摸出的数字之和为 5 的概率； (3) 求两次摸出的数字之差的绝对值大于 1 的概率． 22．（6 分）某十字路口设置了一组交通信号灯，一个循环周期为 60 秒，其中红灯亮 30 秒、绿灯亮 25 秒、黄灯亮 5 秒．某人骑自行车随机到达该路口，到达的时刻在一个周期内是等可能的．解答下列问题： (1) 求他到达路口时恰好遇到红灯的概率； (2) 求他到达路口时恰好遇到绿灯的概率； (3) 求他到达路口时遇到红灯或黄灯的概率． 23．（8 分）甲袋中装有 1 个红球和 1 个白球，乙袋中装有 1 个红球和 2 个白球，两个袋中的球除颜色外完全相同．先从甲袋中随机摸出一个球，记下颜色后放入乙袋并搅匀，再从乙袋中随机摸出一个球．解答下列问题： (1) 请用树状图法列出两次摸球的所有可能情况，并在图上标出每条分支的概率； (2) 求两次都摸到红球的概率； (3) 求第二次摸到红球的概率． 24．（8 分）不透明的袋中装有 a 个红球和 b 个白球，这些球除颜色外完全相同，且 a+b=8（a，b 都是正整数）．解答下列问题： (1) 若 a=3，求从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率； (2) 若摸到红球的概率是 ，求 a 的值； (3) 在 (2) 的条件下，甲、乙两人做游戏：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，摸到红球甲得 1 分，摸到白球乙得 1 分．两人各摸一次，求两人得分相同的概率． 【参考答案与详细解析】 1．【答案】A 【解析】 逐项分析： A：概率为 0 表示事件一定不会发生，所以它是不可能事件，正确； B：抛硬币 10 次，正面朝上的次数只是「大约」5 次左右，每次结果都随机，不能保证恰好 5 次，B 错； C：打开电视可能正在播广告，也可能正在播节目，事先无法确定，是随机事件而不是必然事件，C 错； D：可能性很小只是发生的概率小，仍然可能发生，只有概率为 0 才是一定不发生，D 错．故选 A． 【易错提醒】①「概率为 0」才对应不可能事件，「概率为 1」才对应必然事件，概率是 0 与 1 之间的其他值时都是随机事件；②「可能性小」与「一定不发生」不能画等号，这是概念题最常设的陷阱。 2．【答案】B 【解析】 8 张卡片被摸到的机会均等，其中 3 的倍数有 3 和 6，共 2 张． ∴ P(摸到 3 的倍数)==．故选 B． 【易错提醒】①「3 的倍数」在 1~8 中只有 3 和 6，不要把 9 也算进去（9 超出了卡片范围）；②结果要约分成最简分数 ，写成 不规范。 3．【答案】A 【解析】 同时掷两枚骰子，按（第一枚点数，第二枚点数）共有 6×6=36 种等可能结果． 「点数之和大于 8」即和为 9，10，11，12： 和为 9 的有 4 种，和为 10 的有 3 种，和为 11 的有 2 种，和为 12 的有 1 种，共 4+3+2+1=10 种． ∴ P(和大于 8)==．故选 A． 【易错提醒】①「大于 8」不包含 8 本身，把和为 8 的 5 种也算上会错成；②各类「和」包含的结果个数不同（和为 7 最多有 6 种，和为 12 只有 1 种），不能凭感觉平均分。 4．【答案】C 【解析】 「放回后再摸」意味着两次摸球互不影响，是独立事件． 每次摸到红球的概率都是 ． ∴ P(两次都摸到红球)=×=．故选 C． 【易错提醒】①「放回」与「不放回」要分清：放回时两次概率相同，直接相乘；不放回时第二次的分母要减 1，本题若误按不放回计算会错成 ×=；②乘积结果 已是最简分数。 5．【答案】D 【解析】 64÷200=0.32，即这 200 次试验中摸到红球的频率是 0.32． 用频率估计概率，只能说概率「约」为 0.32，不能说「一定」． A：频率是试验结果，与袋中红球的实际个数没有必然联系，A 错； B：预测次数只是估计值，再摸 100 次不一定恰好 32 次摸到红球，B 错； C：概率是理论上的稳定值，由有限次试验的频率不能「一定」得出，C 错； D：用大量重复试验中稳定的频率估计概率，说法正确．故选 D． 【易错提醒】①「频率」是已经发生的试验结果，「概率」是理论估计值，两者不能混为一谈；②凡是用频率估计概率的结论，前面都要加「约」字，出现「一定」的选项基本是错的。 6．【答案】A 【解析】 从 4 个数字中抽取 2 个，按从小到大列出全部取法，共 6 种等可能结果： (1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)． 两数之积为奇数，需要两个数都是奇数，只有 (1，3) 一种． ∴ P(积为奇数)=．故选 A． 【易错提醒】①「积为奇数」必须两数都是奇数，只看到一个奇数就判定成立是常见错误；②抽取时没有顺序，(1，3) 与 (3，1) 是同一种结果，不要重复计数。 7．【答案】C 【解析】 不放回摸两次，按（第一次，第二次）列出，共有 4×3=12 种等可能结果． 「第二次摸到红球」按第一次的颜色分类： 第一次是红（2 种），第二次从剩下的 1 个红球中摸到红（1 种），共 2×1=2 种； 第一次是白（1 种），第二次从剩下的 2 个红球中摸到红（2 种），共 1×2=2 种； 第一次是黑（1 种），第二次从剩下的 2 个红球中摸到红（2 种），共 1×2=2 种． 合计 2+2+2=6 种． ∴ P(第二次摸到红球)==．故选 B． 【易错提醒】①求「第二次」的概率不能只盯着第二次——第一次摸走什么会影响第二次，必须分类讨论；②算完可以检验：四个球每个被第二次摸到的机会均等，红球占 4 个中的 2 个，恰好是 ，结果吻合。 8．【答案】B 【解析】 两人各掷一枚骰子，共有 6×6=36 种等可能结果． 点数相同的结果有 (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共 6 种，∴ P(甲胜)==． 点数不同的结果有 36−6=30 种，∴ P(乙胜)==． ∵ ＞，∴ 乙获胜的可能性更大，游戏不公平．故选 B． 【易错提醒】①判断游戏公平只看「双方获胜的概率是否相等」，与规则听起来是否「轮到谁」无关；②「点数相同」只有 6 种，容易被误认为占一半——其实相同是「小概率」，不同才是「大概率」。 9．【答案】D 【解析】 先分析两个条件同时成立需要什么： 「和为偶数」要求两枚骰子同奇或同偶； 「积为偶数」要求至少有一枚骰子是偶数． 两者同时成立，只能是「两枚骰子都是偶数」． 每枚骰子掷出偶数（2，4，6）有 3 种，共有 3×3=9 种等可能结果． ∴ P(积为偶且和为偶)==．故选 D． 【易错提醒】①双条件问题先把两个条件「翻译」成对点数奇偶的要求，再取交集，直接数容易数漏；②只考虑「和为偶」会错成 ，漏掉「积为偶」的筛选；③（奇，奇）满足和为偶但积为奇，要排除。 10．【答案】B 【解析】 设袋中有 n 个白球，则共有 (n+3) 个球． 第一次摸到白球的概率是 ；不放回，第二次摸到白球的概率是 ． 由题意得 ×=， 即 10n(n−1)=(n+3)(n+2)，展开整理得 3n2−5n−2=0， 解得 n=2 或 n=−（不合题意，舍去），∴ n=2．故选 B． 检验：白球 2 个、红球 3 个时，P(两白)=×==，符合题意． 【易错提醒】①「不放回」两个分数的分母不同，写成同一个分母就列不出方程；②解出的负数解必须舍去，并要代回原题检验；③本题把概率与一元二次方程结合，是概率反求类题的进阶形式。 11．【答案】必然 【解析】 骰子六个面上的点数 1，2，3，4，5，6 全都是正整数，无论掷出哪个点数，事件「掷出的点数是正整数」都一定发生． ∴ 填「必然」． 【易错提醒】①判断事件类型的关键是看「结果是否唯一确定」：一定发生填「必然」，一定不发生填「不可能」；②与「掷出的点数大于 6」对照记忆——前者涵盖所有结果，后者不包含任何结果。 12．【答案】 【解析】 1~6 中的质数是 2，3，5，共 3 个（1 既不是质数也不是合数）． ∴ P(摸到质数)==． ∴ 填 ． 【易错提醒】①「1 不是质数」是最容易踩的坑，把 1 也算成质数会错成 ；②结果要约分，直接填 不规范。 13．【答案】3800 【解析】 大量重复试验中频率稳定在 0.95 附近，就用 0.95 估计一枚鸡蛋孵出雏鸡的概率，即 P(成活)≈0.95． 孵化 4000 枚，成活数约为 4000×0.95=3800（只）． ∴ 填 3800． 【易错提醒】①「约多少只」＝总数×概率，结果前面要带「约」字；②频率稳定值对应的是「单个」试验的概率，不要把 0.95 误当作 4000 枚中成活的枚数。 14．【答案】 【解析】 从 4 个数字中抽取 2 个，共 6 种等可能取法： (2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)． 两数之和依次为 5，6，7，7，8，9，其中大于 6 的有 4 种． ∴ P(和大于 6)==． ∴ 填 ． 【易错提醒】①「大于 6」不包含 6，把 (2，4) 也算上会错成 5 种；②逐对算和再判断，比心算快且不容易漏。 15．【答案】 【解析】 1~20 中能被 3 整除的数：3，6，9，12，15，18，共 6 个； 能被 5 整除的数：5，10，15，20，共 4 个． 其中 15 既能被 3 整除又能被 5 整除，被数了两次，要去掉一次． ∴ 能被 3 或 5 整除的数共有 6+4−1=9 个． ∴ P=． ∴ 填 ． 【漏解警示】①「或」包含「能被 3 整除」「能被 5 整除」「同时被 3 和 5 整除」三种情况，直接 6+4=10 就把 15 重复计了一次；②这类去重思想叫容斥，重合的部分只算一次。 16．【答案】 【解析】 「至少有一次正面」包含的情况较多，先求它的对立事件「三次都是反面朝上」． 每次反面朝上的概率是 ，三次独立， ∴ P(三次都是反面)=××=． ∴ P(至少一次正面)=1−=． ∴ 填 ． 【易错提醒】①「至少」类问题优先想对立事件，逐类数「恰好一次」「恰好两次」「恰好三次」容易数漏；②三次抛掷是相互独立的，概率才能直接连乘。 17．【答案】(1) 见解析（共 9 种）；(2) ；(3) ． 【解析】 (1) 每次转出 1，2，3 的可能性相等，画树状图如下，共得 3×3=9 种等可能结果： (2) 由树状图，两次数字之积为 6 的结果有 (2，3) 和 (3，2)，共 2 种， ∴ P(积为 6)=． (3) 两次数字之和为奇数，需要「一奇一偶」：(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，共 4 种， ∴ P(和为奇数)=． 检验：9 种结果中，和为偶数的有 (1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，共 5 种，+=1，无重无漏． 【易错提醒】①转盘转两次是「放回」型：第二次仍转出 1，2，3，每个节点都要分出 3 个分支，不能越分越少；②「和为奇数」必须一奇一偶，两个都是奇数时和是偶数，不要多算。 18．【答案】(1) ；(2) ． 【解析】 (1) 列表（行表示甲掷出的点数，列表示乙掷出的点数，格内为两数之积），共有 6×6=36 种等可能结果，表格如下： (1) 由表可知，乘积为 12 的结果有 (2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，共 4 种，∴ P(积为 12)==． (2) 由表可知，乘积大于 20 的结果有 (4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共 6 种，∴ P(积大于 20)==． 【易错提醒】①列表时格子里的数是「两数之积」，不要照搬加法表写成两数之和；②乘积等于 20（如 (4，5)）不满足「大于 20」，边界值最容易判断错；③(3，4) 与 (4，3) 都是 12，但它们是两种不同的等可能结果。 甲＼乙 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36 19．【答案】(1) ；(2) 不公平，理由见解析；(3) 摸到红球得 2 分、摸到白球得 3 分（方案不唯一，理由见解析）． 【解析】 (1) 袋中共 5 个球，红球 3 个， ∴ P(摸到红球)=（摸到白球的概率为 ）． (2) 不公平．每次摸球都是放回后独立进行，摸 10 次中摸到红球的平均次数约为 10×=6 次，摸到白球的平均次数约为 10×=4 次，小明得分高的可能性明显更大，所以规则不公平． (3) 要公平，需使两人的平均得分相等．设摸到红球小明得 a 分、摸到白球小红得 b 分，则需 ×a=×b，即 3a=2b． 取 a=2，b=3：摸到红球小明得 2 分，摸到白球小红得 3 分，此时 3×2=2×3=6，双方平均得分相同，游戏公平（方案不唯一）． 【易错提醒】①判断公平看「获胜概率」或「平均得分」是否相等，本题每人各摸 10 次的次数是随机的，要用平均次数分析；②设计公平方案时抓住「概率与得分乘积相等」：概率小的一方得分要高；③只改袋中球数（如放 2 红 2 白）不符合「只修改得分规则」的要求。 20．【答案】(1) 0.60，0.60，0.60；(2) 约 0.60（即 60%）；(3) 约 18 个；约 20 个． 【解析】 (1) 三批试验的频率依次为： =0.60，=0.602≈0.60，=0.599≈0.60． (2) 随着试验次数增大，摸到红球的频率稳定在 0.60 附近， ∴ 估计袋中红球个数占球总数的比例约为 0.60（即 60%）． (3) 袋中共 30 个球时，红球个数约为 30×0.60=18（个）； 红球有 12 个时，设球的总数为 x 个，由 ≈0.60，得 x≈12÷0.60=20（个）． 检验：18 个红球占 30 个球的 =0.60；12 个红球占 20 个球的 =0.60，两问结果自洽． 【易错提醒】①第 (3) 问前半是「总数×比例」，后半是「部分÷比例」，方向相反，不要都用乘法；②用频率估计的比例是近似值，结果要写「约」；③除以 0.60 相当于乘以 ，计算时注意小数点。 21．【答案】(1) 见解析（共 12 种）；(2) ；(3) ． 【解析】 (1) 列表（行表示第一次摸出的数字，列表示第二次摸出的数字），由于不放回，对角线上的（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）不存在，共得 4×3=12 种等可能结果，表格如下： (2) 由表可知，两次数字之和为 5 的结果有 (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共 4 种，∴ P(和为 5)==． (3) 由表可知，两次数字之差的绝对值大于 1 的结果有 (1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，共 6 种， ∴ P(差的绝对值大于 1)==． 【易错提醒】①「不放回」在列表法中的体现是对角线画「—」，等可能结果的个数是 12 而不是 16；②「差的绝对值大于 1」即差为 2 或 3，相邻数字（如 1 和 2）差为 1，不符合条件；③表格里（1，4）与（4，1）是两种结果，别漏掉任何一格。 第一次＼第二次 1 2 3 4 1 — （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） — （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） — （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） — 22．【答案】(1) ；(2) ；(3) ． 【解析】 (1) 一个周期 60 秒内红灯亮 30 秒， ∴ P(遇到红灯)==． (2) 绿灯亮 25 秒， ∴ P(遇到绿灯)==． (3) 红灯和黄灯的时长共 30+5=35 秒， ∴ P(遇到红灯或黄灯)==． 检验：++=1，三种灯的概率之和为 1，无重无漏（第 (3) 问也可用 1− 验证）． 【易错提醒】①到达时刻等可能，概率等于「该灯亮的时间÷周期时长」，分母统一用 60 秒；②「红灯或黄灯」是两类合并，时长直接相加；③黄灯只有 5 秒，别漏算或把它并进红灯时忘记说明。 23．【答案】(1) 见解析；(2) ；(3) ． 【解析】 (1) 画树状图：甲袋中红球占 、白球占 ；甲袋摸出的球放入乙袋后，乙袋的组成发生变化，第二次的分支概率要相应改变，树状图如下： (2) 两次都摸到红球对应路径（红，红）， ∴ P(两次都红)=×=． (3) 第二次摸到红球有两条路径：（红，红）和（白，红）， P=×+×=+=+=． 检验：四条路径概率之和 +++=+++=1，树状图完整无漏；P(第二次红)+P(第二次白)=+=1，也与对立事件吻合． 【漏解警示】①第 (3) 问「第二次摸到红球」包含「第一次红或第一次白」两种来源，只算（红，红）一条路径是最典型的漏解；②第二次的分支概率与第一次的结果有关：放入红球后乙袋是 2 红 2 白（红占 ），放入白球后乙袋是 1 红 3 白（红占 ），两支概率不同，照抄同一个概率必错；③各路径概率之和必须等于 1，画完先验算。 24．【答案】(1) ；(2) a=2；(3) ． 【解析】 (1) a=3 时，b=8−3=5，袋中共 8 个球，红球 3 个， ∴ P(摸到红球)=． (2) 由 P(摸到红球)==，得 a=8×=2． (3) a=2 时，b=6，摸到红球的概率是 =，摸到白球的概率是 =． 两人各摸一次（放回，两次独立），「得分相同」包含两类： 两人都摸到红球：×=； 两人都摸到白球：×=． ∴ P(得分相同)=+==． 检验：得分不同的概率为 =，+=1，覆盖全部情况，无重无漏． 【漏解警示】①「得分相同」包括「都摸到红球」和「都摸到白球」两类，只算其中一类会少一大半，是最典型的漏解；②摸球后放回搅匀，两人两次摸球相互独立，概率才能直接相乘；③第 (2) 问由概率反求 a 时，分母是球的总数 8，不是 a+b 之外的别的数，先由 a+b=8 确定总数再列式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027 学年浙教版九年级上册数学第二章简单事件的概率单元进阶卷（温州地区） 满分 100 分 考试时间 90 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1．（3 分）下列说法中，正确的是（　　） A．某事件发生的概率为 0，则该事件是不可能事件　　B．抛掷一枚硬币 10 次，一定有 5 次正面朝上　　C．打开电视机，它正在播放广告是必然事件　　D．可能性很小的事件一定不会发生 2．（3 分）不透明的盒中装有 8 张卡片，分别写有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，这些卡片除数字外完全相同．从盒中随机摸出一张卡片，摸到写有 3 的倍数的卡片的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．（3 分）同时掷两枚均匀的骰子一次，两枚骰子点数之和大于 8 的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．（3 分）不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中搅匀，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．（3 分）某学习小组做「用频率估计概率」的摸球试验：从不透明的袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，共摸球 200 次，其中摸到红球 64 次．下列说法正确的是（　　） A．袋中红球的个数一定是 64 个　　B．再摸 100 次，一定有 32 次摸到红球　　C．摸到红球的概率一定等于 0.32　　D．估计摸到红球的概率约为 0.32 6．（3 分）从数字 1，2，3，4 中随机抽取两个不同的数字，则这两个数字之积为奇数的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．（3 分）不透明的袋中装有 2 个红球、1 个白球和 1 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，则第二次摸出的球是红球的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．（3 分）甲、乙两人做游戏：两人各掷一枚均匀的骰子一次，若两枚骰子点数相同则甲获胜，否则乙获胜．这个游戏（　　） A．公平，因为两人获胜的可能性相等　　B．不公平，乙获胜的可能性更大　　C．不公平，甲获胜的可能性更大　　D．无法判断是否公平 9．（3 分）同时掷两枚均匀的骰子一次，则两枚骰子点数之积为偶数且点数之和也为偶数的概率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．（3 分）不透明的袋中装有 3 个红球和若干个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球，若两次都摸到白球的概率是 ，则袋中白球有（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．6 个 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 11．（2 分）掷一枚均匀的骰子一次，事件「掷出的点数是正整数」是＿＿事件（填「必然」「不可能」或「随机」）． 12．（2 分）不透明的盒中装有 6 个小球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，这些球除数字外完全相同．从盒中随机摸出一个小球，摸到标有质数的小球的概率是＿＿． 13．（3 分）某养殖场对一批鸡蛋进行孵化，随着孵化数量的增大，雏鸡成活的频率逐渐稳定在 0.95 附近．若该场下一批孵化这样的鸡蛋 4000 枚，估计能孵出雏鸡约＿＿只． 14．（3 分）从数字 2，3，4，5 中随机抽取两个不同的数字，则这两个数字之和大于 6 的概率是＿＿． 15．（4 分）从 1 到 20 这 20 个整数中随机抽取一个数，则抽到的数能被 3 或 5 整除的概率是＿＿． 16．（4 分）连续抛掷一枚均匀的硬币三次，则至少有一次正面朝上的概率是＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）一个可以自由转动的转盘，盘面被分成 3 个面积相等的扇形，分别标有数字 1，2，3．自由转动转盘两次，每次转盘停止后，指针所指扇形内的数字即为这次转出的数字，且每次转出 1，2，3 的可能性相等．解答下列问题： (1) 请用树状图法列出两次转出数字的所有等可能结果； (2) 求两次转出的数字之积为 6 的概率； (3) 求两次转出的数字之和为奇数的概率． 18．（6 分）甲、乙两人各掷一枚均匀的骰子一次，把两人掷出的点数相乘得到一个乘积．解答下列问题： (1) 请用列表法求乘积为 12 的概率； (2) 求乘积大于 20 的概率． 19．（6 分）不透明的袋中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外完全相同．小明和小红用这个袋做摸球游戏：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中搅匀．解答下列问题： (1) 求一次摸球摸到红球的概率； (2) 游戏规则：摸到红球小明得 1 分，摸到白球小红得 1 分，两人各摸 10 次，总分高者获胜．这个规则对两人公平吗？请说明理由； (3) 若不公平，请你只修改得分规则，使游戏对两人公平（写出一种方案并说明理由）． 20．（6 分）某不透明的袋中装有若干个只有颜色不同的红球和白球．小明做摸球试验：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，分三批重复试验，统计结果如下： 第一批：摸 100 次，其中摸到红球 60 次； 第二批：摸 500 次，其中摸到红球 301 次； 第三批：摸 2000 次，其中摸到红球 1198 次．解答下列问题： (1) 分别求这三批试验中摸到红球的频率（结果保留两位小数）； (2) 由 (1) 估计袋中红球个数占球总数的比例； (3) 若袋中共有 30 个球，估计其中红球的个数；若已知袋中红球有 12 个，估计袋中球的总数． 21．（6 分）不透明的袋中装有 4 个球，分别标有数字 1，2，3，4，这些球除数字外完全相同．从袋中随机摸出一个球，不放回，再随机摸出一个球．解答下列问题： (1) 请用列表法列出两次摸出数字的所有等可能结果； (2) 求两次摸出的数字之和为 5 的概率； (3) 求两次摸出的数字之差的绝对值大于 1 的概率． 22．（6 分）某十字路口设置了一组交通信号灯，一个循环周期为 60 秒，其中红灯亮 30 秒、绿灯亮 25 秒、黄灯亮 5 秒．某人骑自行车随机到达该路口，到达的时刻在一个周期内是等可能的．解答下列问题： (1) 求他到达路口时恰好遇到红灯的概率； (2) 求他到达路口时恰好遇到绿灯的概率； (3) 求他到达路口时遇到红灯或黄灯的概率． 23．（8 分）甲袋中装有 1 个红球和 1 个白球，乙袋中装有 1 个红球和 2 个白球，两个袋中的球除颜色外完全相同．先从甲袋中随机摸出一个球，记下颜色后放入乙袋并搅匀，再从乙袋中随机摸出一个球．解答下列问题： (1) 请用树状图法列出两次摸球的所有可能情况，并在图上标出每条分支的概率； (2) 求两次都摸到红球的概率； (3) 求第二次摸到红球的概率． 24．（8 分）不透明的袋中装有 a 个红球和 b 个白球，这些球除颜色外完全相同，且 a+b=8（a，b 都是正整数）．解答下列问题： (1) 若 a=3，求从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率； (2) 若摸到红球的概率是 ，求 a 的值； (3) 在 (2) 的条件下，甲、乙两人做游戏：每次从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，摸到红球甲得 1 分，摸到白球乙得 1 分．两人各摸一次，求两人得分相同的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $