精品解析：云南省昆明市第一中学2027届高三上学期复习诊断新卷(二)数学试题

普通高中2027届高三复习诊断新卷（二） 数 学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 【考试时间：9月28日 14:30—16:30】 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据为：3，4，6，7，9，12，则下列说法正确的是（ ） A. 中位数为6，极差为8 B. 中位数为6，极差为9 C. 中位数为6.5，极差为8 D. 中位数为6.5，极差为9 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得中位数是，极差是. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量与共线，且， 则存在实数，使得，即， 可得，解得. 3. 已知集合 均为 的子集，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，然后逐个分析判断即可 【详解】根据补集定义，是实数集中所有不属于的元素构成的集合, 已知，说明不存在元素同时满足且，即对任意，都有，因此， 选项A：推导得，并非，故A错误； 选项B：因为，故，仅当时等于，不是恒成立，故B错误； 选项C：当时，恒成立，故C正确； 选项D：举反例：取，，满足，但，故D错误. 4. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程. 【详解】的导数为， 可得曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 5. 已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知在R上为减函数有，即可求的取值范围. 【详解】由题意，要使在R上的减函数，故需要满足： ，解得， 故选：D 【点睛】本题考查了根据分段函数的单调性求参数范围，结合对数函数、一次函数的性质，注意分界点处函数值的大小关系，属于基础题. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，第层的球数是前个正整数的和， 可得. . . 7. 已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义结合图形列方程求解即得. 【详解】不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为4，所以， 因，则，， 因为， 由，可得，化简得 解得或（舍去）. 8. 设集合，记样本空间，从中随机抽取一个角，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：先确定集合U的全部元素，再确定样本空间，逐个计算每个样本对应的的值，再计算数学期望. 方法二：结合对称性及三角函数性质求，再求，由此可得结论. 【详解】 由，，可得. 因为，即从中去掉元素，因此共包含个等可能的样本点， 当时，，当时， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 故，，，， 所以 . 方法二：集合中的个角，在平面直角坐标系中对应单位圆上的个八等分点， 由于这些点关于原点中心对称，它们的横坐标之和必定为，纵坐标之和必定为. 因此，全集上所有角对应的值总和为， 被剔除的角是，它对应的值为， 样本空间共有个角，中所有的总和为， 因此，所求数学期望. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意知，，其共轭复数为，故A正确，B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10. 如图是正方体的平面展开图，，分别是正方体中，的中点，则在该正方体中，正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 平面 D. 当时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由正方体的平面展开图，还原出正方体如图所示. 对于A，显然，所以四点共面，A正确； 对于B，显然，则得，故，即B正确； 对于C，假设平面，平面，则，因点是的中点，则点是的中点，故，所以， 因平面，平面，则，这与三角形内角和矛盾，假设不成立，故C错误； 对于D，因为三棱锥的外接球即为正方体的外接球，所以，则三棱锥的外接球的表面积为，D正确. 11. 已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为 D. 若与圆相交于两点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，由圆心与直线位置关系判断A；利用点到直线的距离公式，结合圆的几何性质求解判断BCD. 【详解】圆：的圆心，半径， 对于A，不满足方程，即直线不过圆心，因此圆关于不对称，A错误； 对于B，由与圆相切，得，解得，B正确； 对于C，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最大值为，令，得有解，C正确； 对于D，，圆心到直线的距离为，由，解得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【详解】由双曲线的一个焦点坐标为， 得，且， 解得， 所以双曲线的离心率. 13. 已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由函数的图象关于直线对称，所以，， 即，又，所以的最小值为． 14. 已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则，即是以为首项，为公比的等比数列， 则，得且， 将代入条件得，， 因为单调递增， 当为偶数时，； 当为奇数时，，即， 综上的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由正方体可知，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，从而得到； （2）建立空间直角坐标系，设的长为，利用点到平面的距离公式，建立关于的方程，最后利用线面角的公式求解得答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设的长为，则，，，，， ，，， ， 设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以点到平面的距离，解得． 所以，设直线与平面所成角为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 16. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)证明：是，的等差中项； (2)求A的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【解析】 【分析】(1)将正切化成正余弦，化简整理，再用正弦定理角化即得； (2)结合(1)及余弦定理化简为，再结合余弦函数对锐角递减得解. 【详解】(1)因，则， 所以， 所以，由正弦定理得：， 所以是，的等差中项． (2)由余弦定理得：，又由(1)得：， ， 当且仅当，即△为正三角形时，取“”， 由知，A为锐角，余弦函数对锐角是递减的， 所以A的最大值为． 【点睛】含有正余弦、正切的三角函数式，切化弦是最佳解决方案. 17. 某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． （1）从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； （2）从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）记甲车床加工为事件 ，乙车床加工为事件 ，取到合格品为事件 ，写出 ，，，，（i）用全概率公式求 ；（ii）用条件概率公式求 ； （2）有放回地独立抽取 次，每次抽到乙车床加工的概率为 ，故 ，写出 的分布列，再求. 【小问1详解】 记“零件由甲车床加工”为事件 ，“零件由乙车床加工”为事件 ，“任取一个零件是合格品”为事件 ， 则 与 对立，，，且 ，. （i）由全概率公式，得 ， 所以这个零件是合格品的概率为 . （ii）在取到合格品的条件下，它由甲车床加工的概率为 . 【小问2详解】 由题意，每次抽取到的零件由乙车床加工的概率为，有放回地连续抽取次，各次抽取相互独立，所以，的所有可能取值为，，. ，，. 所以的分布列为： . 18. 已知函数，且在处的切线斜率为． （1）求实数，的值，并求的单调区间； （2）若（）恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用切点与切线斜率条件求出参数，求导后根据导数符号得到单调区间； （2）对不等式化简换元，转化为函数恒成立问题，通过导数研究新函数单调性，确定新函数的取值范围，进而得到参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，所以， 又，， 所以，所以. ， 令，得， ，得或， 所以的单调递减区间为， 单调递增区间为，. 【小问2详解】 由，不等式即为： ， 即：， 令，，其中，则， ， 所以当或时，，在区间，内递减； 当时，，在区间内递增； 所以当时，，当且时，， 所以当时，， 所以，即， 所以实数的取值范围是． 19. 椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． （1）求的方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用平行于轴得到上顶点纵坐标，结合离心率与椭圆的关系求出椭圆方程； （2）（i）设出过定点的直线方程，联立椭圆，借助韦达定理，把斜率表达式转化为根与系数的关系式进行化简，最终求得定值； （ii）利用（i）的定值结论推导出、的中点为定点，将面积转化为；再利用平行线与椭圆相切时距离最大的思路，设平行直线与椭圆联立，由判别式求出切线，计算点到直线距离，从而得到面积最大值. 【小问1详解】 由题意知，直线平行于轴，所以， 因为离心率为，又，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意设过的直线的方程为，其中，，即 设交点，联立， 即， 所以，， 所以 ； （ii）直线的方程为，令，得，所以， 设直线与轴的交点为，同理可得，因为， 所以，的中点坐标为，△面积， 其中为点到直线的距离， 所以当过且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 可设直线的方程为，联立， 整理得，，即， 所以直线的方程为，所以直线与的距离为， 最大值为，所以△面积最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高中2027届高三复习诊断新卷（二） 数 学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 【考试时间：9月28日 14:30—16:30】 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据为：3，4，6，7，9，12，则下列说法正确的是（ ） A. 中位数为6，极差为8 B. 中位数为6，极差为9 C. 中位数为6.5，极差为8 D. 中位数为6.5，极差为9 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合 均为 的子集，且 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 5. 已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的关于三角垛的求和都与高阶等差数列有关．如图就是一个三角垛，最顶层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第层有个球，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：（）的焦点为，准线为直线，横坐标为4的点在抛物线上，过点作的垂线，垂足为，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，记样本空间，从中随机抽取一个角，定义随机变量，则的数学期望为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的共轭复数为 C. D. 10. 如图是正方体的平面展开图，，分别是正方体中，的中点，则在该正方体中，正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 平面 D. 当时，三棱锥外接球的表面积为 11. 已知圆：，直线：（），则下列选项中正确的是（ ） A. 存在实数，使得圆关于对称 B. 若与圆相切，则 C. 存在实数，使圆上存在点到的距离为 D. 若与圆相交于两点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 13. 已知函数（）的图象关于直线对称，则的最小值为________． 14. 已知数列中，，，若对任意的，都有，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 已知的内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)证明：是，的等差中项； (2)求A的最大值． 17. 某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． （1）从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； （2）从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18. 已知函数，且在处的切线斜率为． （1）求实数，的值，并求的单调区间； （2）若（）恒成立，求实数的取值范围． 19. 椭圆：（）的上顶点为，离心率为，已知点，直线平行于轴． （1）求的方程； （2）过的直线与椭圆交于，两点，其中在第一象限，点不在轴上，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）设直线与轴交于，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $