4.1整式（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习）同步备课-2026-2027学年人教版七年级数学上册

第四章：整式的加减 4.1整式 内容导航 思维导图 1 知识点一 单项式 2 【题型1 单项式的判断】 2 【题型2 单项式的系数、次数】 2 【题型3 单项式规律题】 3 知识点二 多项式 3 【题型4 多项式的判断】 4 【题型5 多项式的项、项数或次数】 4 【题型6 多项式系数、指数中字母求值】 4 【题型7 将多项式按某字母升幂（降幂）排列】 5 知识点三 整式 5 【题型8 整式的判断】 5 能力提升 6 课后检测 9 思维导图 知识点一 单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．例：3，a，，，，0.15a，都是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．【例：单项式的系数是，的系数是】 （1）系数包括单项式前面的符号； 【例：的系数是-2】 （2）只含有字母因数的单项式的系数是1或；【例：的系数是1；的系数是-1】 （3）是一个数，不要将它当作字母． 【例：的系数是】 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数字的次数是0． 【例：单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零】 【题型1 单项式的判断】 1．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 2．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 3．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【题型2 单项式的系数、次数】 1．下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 2．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 3．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【题型3 单项式规律题】 1．观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 知识点二 多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 例：是多项式 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 例：各项是、、，其中是常数项 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 例：次数是五次 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 例：是关于x的三次二项式，是关于x、y的四次三项式，2是关于x、y的八次四项式； 5．多项式升幂与降幂排列 例：是按x的降幂排列；是按x的升幂排列 【题型4 多项式的判断】 1．下列属于多项式的是（ ） A． B． C．0 D． 2．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 3．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是5 C．是多项式 D．的常数项是3 【题型5 多项式的项、项数或次数】 1．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 2．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 3．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【题型6 多项式系数、指数中字母求值】 1．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 2．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 3．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【题型7 将多项式按某字母升幂（降幂）排列】 1．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 2．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是6 B．多项式的常数项是5 C．是三次三项式 D．是按b的降幂排列的 知识点三 整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 例：a，，，是整式． 【题型8 整式的判断】 1．代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 3．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 能力提升 一、单选题 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 2．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 3．下列判断中正确的是（    ） A．的项是， B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 4．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 5．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 6．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 二、填空题 7．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 8．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 9．任意一个个位数字不为的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，．则________．若（，是整数），（，是整数），若能被整除，求满足条件的的最大值是________． 10．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 三、解答题 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 12．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 13．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 课后检测 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．的系数是 C．0不是单项式 D．是二次三项式 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是三次四项式 D．的常数项为1 3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 4．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是4 6．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 8．将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 9．对于下列四个式子：①；②；③；④．其中不是整式的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 10．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 二、填空题 11．的系数是______； 12．若关于y的单项式的次数是3，则___________． 13．多项式的最高次项为______． 14．若没有二次项，则的值是______． 三、解答题 15．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 16．某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 (1)这堆脐橙共有多少个？ (2)总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ (3)用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ (4)王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 17．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章：整式的加减 4.1整式 内容导航 思维导图 1 知识点一 单项式 2 【题型1 单项式的判断】 2 【题型2 单项式的系数、次数】 3 【题型3 单项式规律题】 4 知识点二 多项式 5 【题型4 多项式的判断】 6 【题型5 多项式的项、项数或次数】 7 【题型6 多项式系数、指数中字母求值】 8 【题型7 将多项式按某字母升幂（降幂）排列】 9 知识点三 整式 10 【题型8 整式的判断】 10 能力提升 11 课后检测 19 思维导图 知识点一 单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．例：3，a，，，，0.15a，都是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．【例：单项式的系数是，的系数是】 （1）系数包括单项式前面的符号； 【例：的系数是-2】 （2）只含有字母因数的单项式的系数是1或；【例：的系数是1；的系数是-1】 （3）是一个数，不要将它当作字母． 【例：的系数是】 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数字的次数是0． 【例：单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零】 【题型1 单项式的判断】 1．关于代数式，下列说法正确的是（     ） A．它的系数是3 B．它是单项式 C．它的次数是6 D．它不是整式 【答案】B 【详解】解：． ∵该式的数字因数为9， ∴系数为9，故A选项错误； ∵该代数式是数字与字母的乘积， ∴它是单项式，属于整式，故B选项正确，D选项错误； ∵所有字母的指数和为， ∴次数为4，故C选项错误． 2．下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 3．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【题型2 单项式的系数、次数】 1．下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 2．下列说法正确的是（    ）． A．单项式x的系数是0 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数是 D．单项式的次数是3 【答案】D 【详解】解：单项式的系数是，A错误； 单项式的次数是，B错误； 单项式的系数是，C错误； 单项式的次数是，D正确． 3．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 【题型3 单项式规律题】 1．观察下列代数式：，，，，，…，则第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知第n个代数式为单项式，其系数为，次数为n，据此可得答案． 【详解】解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推可知第个代数式是． 2．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将单项式拆分为分子、分母、字母a的指数三部分，分别找出各部分和序号n的对应规律，即可得到第n个单项式. 【详解】解：设单项式的序号为（为正整数），拆分各部分找规律： ∵ ①字母的指数：第1个单项式指数为1，第2个为2，第3个为3...，可得第个单项式中的指数为 ②分数的分子：第1个分子为，第2个分子为，第3个分子为...，可得第个单项式的分子为 ③分数的分母：第1个分母为，第2个分母为，第3个分母为...，可得第个单项式的分母为 ∴ 第个单项式是 知识点二 多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 例：是多项式 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 例：各项是、、，其中是常数项 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 例：次数是五次 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 例：是关于x的三次二项式，是关于x、y的四次三项式，2是关于x、y的八次四项式； 5．多项式升幂与降幂排列 例：是按x的降幂排列；是按x的升幂排列 【题型4 多项式的判断】 1．下列属于多项式的是（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和组成的式子是多项式，进行分析，得出选项A、B、C均为单项式，只有选项D属于多项式，即可作答． 【详解】解：A、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； B、是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； C、0是单项式，不是多项式，故该选项不符合题意； D、是多项式，故该选项符合题意． 2．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 3．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是5 C．是多项式 D．的常数项是3 【答案】C 【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，单项式的数字因数即系数为，故A错误； B、中所有字母的指数和为，单项式的次数为3，故B错误； C、，是两个单项式的和，符合多项式的定义，故C正确； D、多项式中不含字母的项为，即常数项是，故D错误． 【题型5 多项式的项、项数或次数】 1．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 2．下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 3．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【题型6 多项式系数、指数中字母求值】 1．已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． 2．多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． 3．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 【题型7 将多项式按某字母升幂（降幂）排列】 1．以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 2．把多项式按的升幂排列后，则它的第四项为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，把多项式升幂排列就是把多项式的项按照某个字母的次数从小到大的顺序排列，把多项式按的升幂排列，然后再找到第四项即可． 【详解】解：把多项式按的升幂排列，得到：， 它的第四项为． 故选：D ． 3．下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是6 B．多项式的常数项是5 C．是三次三项式 D．是按b的降幂排列的 【答案】D 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，需依据单项式次数、多项式常数项、次数、项数及多项式排列的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：∵单项式的次数为所有字母的指数和， ∴在中，次数为，故A错误； ∵多项式的常数项是不含字母的项， ∴多项式的常数项是，故B错误； ∵多项式的次数是最高次项的次数， ∴在多项式中的最高次项是，次数为2， ∴它是二次三项式，故C错误； ∵按b的降幂排列是按b的指数从大到小排列， ∴是按b的降幂排列的，故D正确； 故选：D． 知识点三 整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 例：a，，，是整式． 【题型8 整式的判断】 1．代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 2．下列说法错误的是（    ） A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式． B．几个单项式的和叫做多项式． C．单项式与多项式统称整式． D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0． 【答案】D 【分析】根据单项式、多项式、整式的定义辨析各选项的正误． 【详解】A．由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，因为单独一个数或一个字母可以看作数与字母乘积的特殊形式（如，），故该选项不符合题意； B．几个单项式的和叫做多项式，该说法符合定义，不符合题意； C．单项式与多项式统称整式，该说法符合定义，不符合题意； D．单独的一个数字是单项式，它的次数是0，故本选项说说法错误，符合题意． 3．下列说法中，正确的个数：（   ） ①单项式与多项式统称为整式； ②单项式的系数是1； ③是二次三项式； ④x的次数是0； ⑤是多项式的项 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】只需逐一判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】我们逐个判断每个说法： ① 根据整式的定义，单项式与多项式统称为整式，故①说法正确； ② 单项式的数字因数为，因此它的系数是，故②说法正确； ③ 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此是二次三项式，故③说法正确； ④ 的次数是，不是，故④说法错误； ⑤ 多项式的项为，，，故⑤说法错误； 综上，故选：C． 能力提升 一、单选题 1．在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 2．有一列式子，按一定规律排列成，…，则第n个式子为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别从符号、系数绝对值、字母指数三部分归纳式子的规律即可得解． 【详解】解：由题意得，奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴第项的符号为， ∵各项系数的绝对值依次为，即， ∴第项的系数绝对值为， ∵第1项的指数为2，第2项为5，第3项为8，第4项的指数为，第5项为， ∴相邻两项指数差为， ∴第项的指数为， 综上所述，第个式子为． 3．下列判断中正确的是（    ） A．的项是， B．不是整式 C．单项式的系数是 D．是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了整式、多项式的定义，单项式、多项式的项与系数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据整式、多项式的定义，以及单项式的系数概念进行判断即可． 【详解】解：A、多项式的项应包括、和，该选项错误，不符合题意； B、的分母不含字母，属于整式，该选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，该选项正确，符合题意； D、的最高次项的次数为，是三次三项式，该选项错误，不符合题意． 故选C． 4．按一定规律排列的多项式：，，，，则第10个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别归纳多项式中a的次数，常数项的绝对值和符号规律，得到第n个多项式的一般形式，再代入即可求解． 【详解】解：观察已知多项式：第1个：，第2个：，第3个：，第4个：， 第n个多项式为：， 则第10个多项式是：． 5．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 6．关于多项式，下列说法错误的是（   ） A．这个多项式是五次四项式 B．常数项是1 C．它的次数最高项是 D．按x的降幂排列为 【答案】B 【分析】本题考查多项式的相关定义，包括多项式的次数、项数、常数项及降幂排列． 根据多项式的次数、项数、常数项的定义及降幂排列方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵多项式各项的次数分别为3、5、4、0，且共有四项， ∴该多项式是五次四项式， ∴选项A说法正确，不符合题意； ∵常数项是不含字母的项，此多项式的常数项为， ∴选项B说法错误，符合题意； ∵次数最高的项是次数为5的， ∴选项C说法正确，不符合题意； ∵按x的降幂排列是根据x的次数从高到低排列，各项x的次数依次为3、2、1、0， ∴排列结果为， ∴选项D说法正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式． 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 8．若多项式是关于x，y的三次多项式，则______． 【答案】或 【分析】本题考查多项式的次数的概念，解题关键是根据多项式次数要求，令高于三次的项系数为，再求解最高次项的次数得到参数的值． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， 次数为的项的系数必须为，且最高次项的次数为， 可得， 由得， 将代入 得， 即或， 解得或， 当，时，， 当，时，． 9．任意一个个位数字不为的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，．则________．若（，是整数），（，是整数），若能被整除，求满足条件的的最大值是________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义问题，求代数式的值与变量整数值之间的关系，对整除概念的理解，综合性较强，理解的含义，并结合所学知识灵活应用是解题关键． 【详解】解：由题意可得：； ∵（，是整数）， ∴， ∵（，是整数）， ∴， ∴， ∵被整除，由可知，和都是的倍数， ∴无论，取何值，总能被整除； ∴该条件对，的取值没有限制， ∵要取最大值， ∴的值应最小， ∵， ∴时，有最大值，； 故答案为：①；②． 10．杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，它把（其中为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示： …… 根据上述材料，则的展开后，含项的系数为________． 【答案】 【分析】根据杨辉三角的规律写出第行的数，再判断结果即可． 【详解】解：根据题意，杨辉三角的第行为，，，，，， ∴， ∴含项的系数为． 三、解答题 11．【知识呈现】已知=其中表示的是的系数，表示的是的系数，以此类推． 【灵活运用】当时， = 即：． 【解决问题】 (1)取，则可知_________． (2)利用取特殊值法求的值． (3)利用取特殊值法求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查多项式的定义和有理数的乘方运算，理解题目中的特殊值法是解题关键． （1）代入x的值，计算即可； （2）观察式子可知，每一项的系数均为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可； （3）观察式子可知，当的为奇数时，系数为，为偶数时，系数为1，故该式子为时的计算结果，代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：取，则； （3）解：取，则． 12．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 13．已知a是最大的负整数，b是多项式的次数，c是单项式的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？并求出点P追上点Q时，它们在数轴上表示的数； (3)在数轴上找一个点H，使点H到A、B、C三点的距离之和等于16，请直接写出所有点H对应的数． 【答案】(1)，，， 如图，在数轴上标出点、、， ； (2)运动秒后，点可以追上点；此时它们在数轴上表示的数为 (3)点对应的数为或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、单项式的系数和多项式的次数，有理数的除法，根据题意分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据单项式的系数、多项式的次数及负整数，得出、、的值，在数轴上标出点、、的位置即可； （2）根据，，动点、分别从、同时出发沿数轴正半轴运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，结合“追及时间路程差速度差”计算求解即可； （3）根据题意分“当点在点、之间时”、“当点在点左边时”、“当点在点右边”三种情况讨论列式求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，是多项式的次数，是单项式的系数， ∴，，， （2）解：∵，，动点、分别从、同时出发沿数轴正方向运动，点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度， ∴（秒）， ∴运动秒后，点可以追上点，点追上点时，它们在数轴上表示的数为； （3）解：情况一：当点在点、之间时， 又∵，，， ∴， ∴， ∴点对应的数； 情况二：当点在点左边时， ∵，， ∴， ∴点对应的数． 情况三：当点在点右边时， ∵ ∴此情形不存在点， 综上所述，点对应的数为或． 课后检测 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．的系数是 C．0不是单项式 D．是二次三项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，单项式的次数、系数以及多项式的次数和项数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据单项式的次数、系数以及多项式的次数和项数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A：，的指数为1，的指数为3，次数为，∴ A错误，不符合题意； B：，系数为数字部分，包括，即系数为，∴ B错误，不符合题意； C：0是单项式，∴ C错误，不符合题意； D：，最高次项的次数为2，且有三项，∴ 是二次三项式，正确，符合题意． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是三次四项式 D．的常数项为1 【答案】C 【详解】解：，它的系数是，不是，故A错误； 的次数是，不是次，故 B错误； 多项式中，最高次项的次数为，该多项式共有个项，因此它是三次四项式，故C正确； 多项式的常数项是，不是，故D错误． 3．已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：A．系数是2，次数是3，故本选项符合题意； B．系数是3，次数是2，故本选项不符合题意； C．系数是2，次数是4，故本选项不符合题意； D．系数是，次数是3，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查单项式问题，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义． 4．以下是一组按规律排列的多项式：，，，……，其中第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的规律问题． 通过观察给定多项式的规律，发现x的指数与序号n相同，y的系数是且为负号，因此第n个多项式为． 【详解】解：第1个多项式为， 第2个多项式为， 第3个多项式为， 以此类推，第n个多项式为． 故选：D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是三次三项式 B．的系数是 C．是单项式 D．的次数是4 【答案】D 【分析】根据初中数学知识，逐一判断各选项。 本题考查多项式、单项式的定义，包括次数、系数和项数，熟练掌握定义是解题的关键。 【详解】解： ∵ 多项式中，最高次项和的次数均为2，因此是二次三项式， 故A错误。 ∵ 的系数是，不是，故B错误。 ∵ 是多项式，有两个项，不是单项式，故C错误。 ∵ ，字母、、的指数之和为，因此次数是4， 故D正确。 ∴ 正确答案是：D。 6．对于多项式的说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．是三次二项式 C．一次项系数是1 D．常数项是2 【答案】A 【分析】多项式中单项式的个数为多项式的项数，不含字母的项为常数项，次数最高项的次数为多项式的次数． 【详解】解：多项式是二次三项式，一次项系数是，常数项为． 7．多项式是关于x、y的五次三项式，则m的值是（   ） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据五次三项式的定义，最高次数为5且有三项，需确保各项系数非零． 【详解】解：∵多项式是五次三项式， ∴第一项次数为， 即， 解得． 当时，第二项系数，多项式为，只有两项，不符合； 当时，第二项系数，多项式为，是五次三项式； ∴． 故选：A． 8．将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列． 【详解】解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：， 故选：D． 9．对于下列四个式子：①；②；③；④．其中不是整式的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查整式的概念，关键是整式的分母中不含字母．根据整式的定义，分母中含有字母的式子不是整式，逐一判断即可． 【详解】整式是单项式或多项式，分母中不能含有字母， 对于①，分母π是常数，是整式，不符合题意； 对于②，分母x是字母，不是整式，符合题意； 对于③，分母5是常数，是整式，不符合题意； 对于④，分母2是常数，是整式，不符合题意； 不是整式的是②， 故选：B． 10．用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第8个图形需要的火柴棒根数为（   ） A．54 B．55 C．56 D．57 【答案】A 【分析】先根据图形可得搭第1个图形需要火柴棒12根，后边的每一个图形总比前边的图形多6根，据此规律，即可求得答案． 【详解】解：搭第1个图形需要火柴棒12根， 搭第2个图形需要火柴棒（根）， 搭第3个图形需要火柴棒（根）， 依次类推，搭第n个图形需要火柴棒（根）， 当时，搭第8个图形需要火柴棒（根）． 二、填空题 11．的系数是______； 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数，关键是熟练应用定义解题；根据单项式的系数是指其数字部分，包括符号在内解题即可． 【详解】解：∵单项式 中，数字部分为 ， ∴系数是 ， 故答案为 ：． 12．若关于y的单项式的次数是3，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的次数，根据单项式的次数定义得出是解题关键． 根据单项式中所有字母的指数和是单项式的次数得出即可． 【详解】解：单项式的次数是3， ， 或， ， 不符合要求， ， 故答案为：． 13．多项式的最高次项为______． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项，根据多项式的最高次项是次数最高的项，比较各项次数即可确定． 【详解】解：多项式的最高次项为； 故答案为：． 14．若没有二次项，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式没有二次项的条件，二次项系数为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵没有二次项， ∴， 解得． 故答案为：． 三、解答题 15．用代数式表示下列问题中的数量，并指出是单项式还是多项式． (1)比x的3倍小2的数是多少？ (2)列车以的速度行驶了，行驶的路程是多少？ (3)一瓶矿泉水m元，小王买了n瓶，应付多少元？ (4)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费多少元？ 【答案】(1)，多项式 (2)，单项式 (3)，单项式 (4)，多项式 【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，单项式和多项式的判断，理解题意是解题关键． （1）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （2）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （3）根据题意列出代数式，并利用单项式和多项式的概念解答即可； （4）根据该用户用水量已经超过17立方米，所以分段表示水费，从而进行化简计算． 【详解】（1）解：根据题意可得，为多项式； （2）解：根据题意可得，为单项式； （3）解：根据题意可得，为单项式； （4）解：， 该用户应缴纳的水费为： 元， 为多项式． 16．某县是著名的“脐橙之乡”，其生产的脐橙品质优良、风味独特、营养丰富，王大伯家的果园里有一堆脐橙，把这些脐橙平均分装在若干个纸箱里，每箱装的个数和总箱数如下表∶ 每箱装的个数 60 50 40 30 总箱数 40 48 60 80 (1)这堆脐橙共有多少个？ (2)总箱数是怎样随着每箱装的个数的变化而变化的？ (3)用n表示总箱数，用m表示每箱装的个数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？ (4)王大伯将这堆脐橙平均每箱装32个，他需要多少个纸箱？ 【答案】(1)2400个 (2)总箱数随着每箱装的个数的变小而变大 (3)反比例关系 (4)75个纸箱 【分析】本题主要考查了列式计算、反比例函数的应用等知识点，审清题意、正确运用反比例函数成为解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据表格数据归纳即可解答； （3）先根据题意得到，然后根据反比例函数的定义即可解答； （4）令，然后代入（3）所得的关系式即可解答 【详解】（1）解∶∵， ∴它们的乘积相等，即这个积表示这堆脐橙的总个数， ∴这堆脐橙共有2400个． （2）解：由表格数据可得：总箱数随着每箱装的个数的变小而变大． （3）解：由题意可得：， ∴n与m的积一定， ∴n与m成反比例关系． （4）解：当，则，解得： 所以他需要75个纸箱． 17．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数，即可列关于a、b的方程，求解即可； （2）将题（1）求得的a、b的值代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $