2.2 分式的加法和减法课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2.2 分式的加法和减法 课时1 同分母分式的加减 1.同分母分数的加减法则是什么？ 同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减. 2.计算下列分数加减运算的式子. 思考：同分母的分式应该如何进行加减呢？ 探究：同分母分式的加减 问题1：观察下列分数加减运算的式子,计算后面的式子. 思考：类比同分母分数的加法，说说同分母的分式应该如何相加? 问题2：通过上面的式子,你发现了什么？ 分母不变，分子相加 同分母分式相加，分母不变，把分子相加. 同分母分式的加法运算法则: 用式子表示为: 思考：同分母的分式应该如何相减？即 － 等于什么？ 根据同分母分式的加法运算法则，得 + = = 0. 类似于相反数，我们称 与 互为相反分式， = . 于是可以规定：减去一个分式等于加上这个分式的相反分式. 因此 － ＝ + ＝ . 同分母分式相减，分母不变，把分子相减. 同分母分式的减法运算法则: 用式子表示为: - 思考： = 吗？与同学交流你的理由. 根据①式， = . 又 = ，因此 = . = = 总结： 例1 计算： 解： (2) 原式 (1) 原式 注意：把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把所得结果化成最简分式或整式． 计算： + . 例2 解： + = + = - = = . 方法总结：分式的分母互为相反数时，可以把其中一个分母放到带有负号 的括号内，把分母化为完全相同，再根据同分母分式相加减的法则进行运算． 计算： 解：原式 = 同分母分式加减的基本步骤是什么？ 1. 分母不变，把分子相加减. （1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括号； （2）如果是分子式单项式，可以不加括号. 2. 分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； 3. 最后的结果，应化为最简分式或者整式. 同分母分式加减的基本步骤： 同分母分式的加减 同分母加减法则 符号法则 1. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 随堂小练 2.计算： 3.计算： (1) + ； (2) + ； (3) 解：(1) + = - = + = - =-1 (3)= = =x+y 4.计算. （1） ； 解：（1）原式 . （2） . （2）原式 . 课时2 分式的通分 分式的分子与分母都乘同一个不为 0 的多项式(或除以它们的一个不 为 0 的公因式)，所得分式与原分式相等. 2. 什么叫约分？ 利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分． 1. 分式的基本性质是什么？ 前面我们学习了同分母分式的加减，那异分母分式的加减如何计算呢？ 探究：分式的通分 (1)通分 关键是什么？ 关键是确定几个分母的最小公倍数 （ b≠0 ）. (2)填空： 活动1：和同伴一起交流，完成下列题目. 联想分数的通分，如何对分式进行通分呢？ 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这个过程叫作分式的通分. 分式的通分: 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 注意：确定最简公分母是通分的关键. (1)找出下列分式的最简公分母. 最小公倍数 最简公分母 最高次幂 单独字母 1 活动2：按要求完成下列问题，尝试归纳找最简公分母的步骤. （2）找出下列分式的最简公分母，并将它们通分. ① ② ③ 解：由于 5y2z = 5⋅y2⋅z，4x2 y = 22⋅x2 ⋅y，2xz2 = 2⋅x ⋅z2， 因此，这三个分式的最简公分母为20x2y2z2. 于是，利用分式的基本性质得 ①= = ②= = ③==. 把分式与 通分. 解：由于 4xy2 = 22⋅x⋅y2，6x3 y =2×3⋅x3⋅y， 因此，这两个分式的最简公分母为12x3y2. 于是，利用分式的基本性质得 == == 例1 计算：把分式通分. 解：由于 2x = 2 ⋅x，3（x2 - x）=3 ⋅x（x - 1），因此，这两个分式的最简公分母为6x（x - 1）. 于是，利用分式的基本性质得 例2 方法总结：先将分母分解因式， 再找最简公分母. （1）分解：能因式分解的先分解； （2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：取各分母的所有单项式中字母的最高次幂； （4）多项式：取各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）求积. 确定几个分式的最简公分母的步骤： 把分式与 通分. 解：由于x2 - 4 =（x + 2）（x - 2），4 - 2x =-2（x - 2）， 因此，这两个分式的最简公分母为2（x + 2）（x - 2）. 于是，利用分式的基本性质得 约分 通分 分数 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的 ____________ 分式 找分子与分母的 _____________ 找所有分母的 ____________ 依据 思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 最大公因数 最小公倍数 公因式 最简公分母 分数/分式的基本性质 利用分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这个过程叫作分式的通分. 1.分式的通分： （1）分解：能因式分解的先分解； （2）系数：取各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：取各分母的所有单项式中字母的最高次幂； （4）多项式：取各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）求积. 2.确定几个分式的最简公分母的步骤： 2. 已知，则 的值为( ). A. B. 1 C. 2 D. 3 C 的最简公分母是（ ）. C 1. 三个分式 B. C. D. A. 4xy 3y2 12xy2 12x2y2 随堂小练 3.通分： 解： (1)最简公分母是 (2)最简公分母是 解：(1)最简公分母是 . 4.通分： (1) ； (2) . 与 与 (2)最简公分母是 . 课时3 异分母分式的加减 甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?甲工程队比乙工程队每天多做多少？（只列式不计算） ( ) 探究：异分母分式的加减 问题1：计算 + ， - 的值，其依据是什么？ + = + = - = - = 依据：分数的基本性质 异分母分数相加减，先通分，变为同分母的分数，再加减. 问题2：如何计算 ？ 提示：先通分，化为同分母的分式，再相加. 思考：类比异分母分数的加减，异分母分式的加减如何计算？ 异分母的分式相加(减)，先取各个分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母 (这样的公分母称为最简公分母)，再利用分式的基本性质，把它们化成同分母的分式 (这个过程叫作通分)，然后再相加(减). 异分母分式的加减运算法则: 用式子表示为： 解：由于最简公分母是 12xy，于是 例1 计算： 解： 计算：(1) (2) 例2 注意：分母是多项式先分解因式 异分母的分式加减法步骤是什么？ (1)确定最简公分母； (2)通分(即将各分式的分子分母各乘一个适当的式子，化成同分母分式)； (3)利用同分母的分式加减法则(即分母不变，分子相加减)计算； (4)最后结果要化成最简分式． 异分母的分式加减法步骤： 例3 计算： 分析：把前面的整式“x + 1”看成整体，并把分母看作“1”. 解：原式 = 计算： 解：原式 分式加减运算 加减法运算 注意 (1)减式的分式是多项式时，在进行运算时要适时添加括号 异分母分式相加减先转化为同分母分式的加减运算 (2)整式和分式之间进行加减运算时，则要把整式看成分母是1 的分式，以便通分 (3)异分母分式进行加减运算需要先通分，关键是确定最简公分母 1. 的计算结果是( ) D A. B. C. D. 2. 已知为整式，若计算 的结果为，则 ( ) A A. B. C. D. 随堂小练 （1） ； 解：（1）原式 . （2） . （2）原式 . 3.计算： 4. 先化简，再求值： ，其中 ． 解： 　 $