4.1 整式 课时作业 2026-2027学年青岛版数学七年级上册

青岛版七年级上册 第4章 整式的加减 4.1 整式 课时作业 4.1 整式 课时作业 （青岛版·七年级上册·第4章） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 第一部分 知识点梳理 知识点1 单项式 1．定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。例如：-3a，xy2，m，-7，0 都是单项式。 2．注意：单项式中只含乘法运算（包括乘方），不含加减运算；分母中不能含有字母。例如 不是单项式，而 是单项式（可以看作 ·x）。 知识点2 单项式的系数与次数 1．系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如 -a2b 的系数是 -。 2．次数：单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如 -a2b 的次数是 2+1=3。 3．易错提醒： （1）π 是一个确定的数（圆周率），不是字母。如 2πr 的系数是 2π，次数是 1。 （2）当单项式的系数是 1 或 -1 时，“1”通常省略不写。如 a2b 的系数是 1，-xy 的系数是 -1。 （3）数字的指数不计入次数。如 23x2 的系数是 23（即 8），次数是 2。 （4）单独一个非零常数的次数是 0；字母的指数是 1 时省略不写，计算次数时不能漏掉。 知识点3 多项式 1．定义：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 2．项数：多项式中含有几项，就叫做几项式。 3．多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 例如：多项式 3x2y-2xy+5 有三项，分别是 3x2y，-2xy，5，其中 5 是常数项；最高次项 3x2y 的次数是 3，所以它是三次三项式。 4．易错提醒：多项式的每一项都包括它前面的符号。如 x2-3x+1 的各项是 x2，-3x，1，而不是 3x。 知识点4 整式 单项式与多项式统称为整式。判断一个代数式是否为整式，关键看分母中是否含有字母：分母中含有字母的代数式不是整式。 知识点5 多项式的升幂排列与降幂排列 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。移动各项时，要连同它前面的符号一起移动。 知识点6 代数式的书写规范 （1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号“×”通常写成“·”或省略不写，数字写在字母前面，如 a×5 写成 5a； （2）带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数，如 1×a 写成 a； （3）除法运算一般写成分数的形式，如 a÷3 写成 ； （4）式子后面有单位且式子是和或差的形式时，要把式子用括号括起来，如 (a+b) 米。 第二部分 典型例题精析 例1 指出下列单项式的系数和次数： （1）-a2b3； （2）； （3）-m2n； （4）52ab2。 【解析】确定系数时要连同符号一起；确定次数时只计算字母的指数和。 （1）系数是 -，次数是 2+3=5； （2） 可以看成 ·x·y，系数是 ，次数是 1+1=2； （3）系数是 -1，次数是 2+1=3； （4）系数是 52=25，次数是 1+2=3（数字 5 的指数 2 不计入次数）。 例2 多项式 -2x3y+xy2-4x+7 是几次几项式？写出它的最高次项和常数项。 【解析】该多项式共有四项：-2x3y，xy2，-4x，7。各项的次数分别为 4，3，1，0，次数最高的项是 -2x3y，次数为 4。 所以它是四次四项式，最高次项是 -2x3y，常数项是 7。 例3 已知 -xmy2 是关于 x，y 的五次单项式，求 m 的值。 【解析】单项式的次数是所有字母指数的和，所以 m+2=5，解得 m=3。 例4 把多项式 3x2y-4xy2+x3-5y3 分别按 x 的降幂和 y 的升幂排列。 【解析】按 x 的降幂排列：x3+3x2y-4xy2-5y3； 按 y 的升幂排列：x3+3x2y-4xy2-5y3（恰好相同）。 【点拨】各项的符号要随项一起移动；本题中 x 的指数依次为 3，2，1，0，y 的指数依次为 0，1，2，3，所以两种排列结果相同。 例5 下列代数式中，哪些是整式？ ，-x，，3x2-1，，0，πr2。 【解析】分母中含有字母的不是整式，所以 ， 不是整式；-x，0，πr2 是单项式，，3x2-1 是多项式，它们都是整式。 答：整式有 -x，，3x2-1，0，πr2。 第三部分 课时作业 一、选择题（每小题只有一个正确选项） 1．下列代数式中，是单项式的是（ ） A．x+1 B． C．-ab2 D． 2．单项式 - 的系数和次数分别是（ ） A．-，4 B．-，3 C．-，4 D．，3 3．下列说法中，正确的是（ ） A．单项式 a 的系数是 0 B．单项式 -xy2 的次数是 2 C．0 不是单项式 D．-x2y 的系数是 - 4．多项式 3x2y-2xy3+5x-1 的次数和项数分别是（ ） A．3，4 B．4，4 C．4，3 D．5，4 5．在代数式 ，2x+y，-a2b，，0，，-m 中，整式有（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 6．若单项式 -2xmy3 是六次单项式，则 m 的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．多项式 -x2+3x- 中，二次项系数和常数项分别是（ ） A．1， B．-1，- C．-1， D．1，- 8．将多项式 3x-2x3+5-x2 按 x 的降幂排列，正确的是（ ） A．5+3x-x2-2x3 B．-2x3-x2+3x+5 C．-2x3+x2+3x+5 D．2x3-x2+3x+5 9．一个长方形的周长为 20 cm，其中一边长为 a cm，则这个长方形的面积是（ ） A．a(20-a) cm2 B．a(10-a) cm2 C．10a cm2 D．(20-2a)a cm2 10．若多项式 x|m|-(m-2)x+1 是关于 x 的二次三项式，则 m 的值是（ ） A．2 B．-2 C．±2 D．0 二、填空题 11．单项式 - 的系数是________，次数是________。 12．多项式 2a2b-3ab+5 是________次________项式，最高次项是________，常数项是________。 13．写出一个系数为 -3，次数为 4，且只含字母 x，y 的单项式：________。 14．某商品原价为 a 元，先打八折，再降价 5 元，则现售价为________元。 15．若 (m-1)x2yn 是关于 x，y 的五次单项式，且系数为 2，则 m=________，n=________。 16．把多项式 x2-3x3y+4xy2-1 按 y 的升幂排列为________________。 17．观察下列单项式：x，-2x2，4x3，-8x4，……，按此规律，第 7 个单项式是________，第 n 个单项式是________。 18．用火柴棒按如图 1 所示的方式摆正方形，第①个图形需要 4 根火柴棒，第②个图形需要 7 根火柴棒……则第 n 个图形需要________根火柴棒；摆第 20 个图形需要________根火柴棒。 图1 三、解答题 19．指出下列单项式的系数和次数： （1）-5a2b； （2）； （3）-πr2； （4）a3b2c； （5）23xy2； （6）-m。 20．把下列代数式分别填入相应的集合中： -xy，，a2-2ab+b2，0，，，4x2y，-t，m+。 单项式集合：{ …} 多项式集合：{ …} 整式集合：{ …} 21．已知多项式 -3x2y2+xy-2x3+7。 （1）写出这个多项式的各项及常数项； （2）它是几次几项式？ （3）把它按 x 的降幂排列。 22．如图 2，在一块长为 a，宽为 b 的长方形铁皮的四个角上，各剪去一个边长为 x 的小正方形（阴影部分）。 图2 （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）这个代数式是单项式还是多项式？是几次几项式？ （3）当 a=20，b=15，x=3 时，求剩余部分的面积。 23．如图 3，正方形的边长为 a，以正方形的一个顶点为圆心、a 为半径在正方形内画四分之一圆，求阴影部分的面积（用含 a 的代数式表示），并求当 a=2 时阴影部分的面积（π 取 3.14）。 图3 24．已知关于 x，y 的多项式 x2ym+1+xy2-3x3-6 是六次四项式，单项式 3x2ny5-m 的次数与这个多项式的次数相同，求 m，n 的值。 25．某市出租车的收费标准是：起步价 8 元（行驶路程不超过 3 千米），超过 3 千米的部分每千米收费 1.6 元。 （1）若某人乘坐出租车行驶了 x 千米（x>3），用代数式表示他应付的车费； （2）若他行驶了 10 千米，应付车费多少元？ 四、拓展提升 26．已知多项式 (a-3)x3-xb+x-1 是关于 x 的二次三项式，求 ab 的值。 27．观察下列一组单项式：-，，-，，…… （1）写出第 10 个单项式，并指出它的系数和次数； （2）写出第 n 个单项式。 28．学校为体育节购买器材：篮球每个 a 元，足球每个 b 元。购买篮球 x 个，购买足球的个数比篮球多 2 个。 （1）用代数式表示购买篮球和足球共需的费用； （2）（1）中的代数式（不加括号的形式）是几次几项式？ （3）当 a=120，b=80，x=10 时，共需多少元？ 五、易错专练 29．判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。 （1）单项式 -πab 的次数是 3。（ ） （2）多项式 x2-2x+1 的一次项是 2x。（ ） （3）- 是整式。（ ） （4）-x 的系数是 -1，次数是 1。（ ） （5）多项式 3x2y-xy3+2 的次数是 3。（ ） （6）单项式 -24a2b 的次数是 7。（ ） 30．已知 a，b 都是正整数，且多项式 xay-x2yb+3 是五次三项式，写出所有满足条件的 a，b 的值。 31．用代数式表示： （1）比 x 的 3 倍小 2 的数； （2）a 与 b 的平方和； （3）a 与 b 的和的平方； （4）一个两位数，十位数字是 m，个位数字是 n，这个两位数； （5）某班有男生 x 人，女生比男生的 多 4 人，女生的人数。 并判断（1）～（5）中的代数式是否都是整式。 32．一个关于 x 的二次三项式，二次项系数是 -1，一次项系数是 ，常数项是 -3，写出这个多项式，并求当 x=-2 时它的值。 第四部分 参考答案与解析 一、选择题 1．C 【解析】A 是两个单项式的和，是多项式；B 的分母中含有字母，不是整式；D 可以写成 +，是多项式；只有 C 是数与字母的乘积，是单项式。 2．B 【解析】π 是数，所以系数是 -；字母 x，y 的指数和为 2+1=3，所以次数是 3。 3．D 【解析】a 的系数是 1，A 错；-xy2 的次数是 1+2=3，B 错；单独一个数也是单项式，0 是单项式，C 错；D 正确。 4．B 【解析】四项分别是 3x2y，-2xy3，5x，-1，次数分别是 3，4，1，0，最高次为 4，所以是四次四项式。 5．C 【解析】 和 的分母含有字母，不是整式； 中 π 是数，它是多项式。整式有 2x+y，-a2b，，0，-m，共 5 个。 6．B 【解析】m+3=6，所以 m=3。 7．B 【解析】二次项是 -x2，系数为 -1；常数项是 -（注意连同符号）。 8．B 【解析】按 x 的指数从大到小排列，各项连同符号移动：-2x3-x2+3x+5。 9．B 【解析】另一边长为 (20÷2-a) cm，即 (10-a) cm，面积为 a(10-a) cm2。 10．B 【解析】由二次三项式得 |m|=2，且一次项系数 -(m-2)≠0，即 m≠2，所以 m=-2。 二、填空题 11．-，3 【解析】-=-a2b，系数是 -，次数是 2+1=3。 12．三，三，2a2b，5 13．-3x3y（答案不唯一，如 -3xy3，-3x2y2 也可） 14．(0.8a-5) 【解析】打八折后为 0.8a 元，再降价 5 元为 (0.8a-5) 元。 15．3，3 【解析】由系数为 2 得 m-1=2，m=3；由次数为 5 得 2+n=5，n=3。 16．x2-1-3x3y+4xy2 【解析】按 y 的指数 0，0，1，2 排列，不含 y 的两项顺序可以交换，也可写成 -1+x2-3x3y+4xy2。 17．64x7，(-2)n-1xn 【解析】系数依次为 1，-2，4，-8，…，即 (-2)0，(-2)1，(-2)2，…；x 的指数与序号相同。第 7 个系数为 (-2)6=64。 18．(3n+1)，61 【解析】第①个需 4 根，以后每多一个正方形增加 3 根，第 n 个需要 4+3(n-1)=3n+1 根；当 n=20 时，3×20+1=61。 三、解答题 19．解：（1）系数 -5，次数 3；（2）系数 ，次数 4；（3）系数 -π，次数 2；（4）系数 1，次数 6；（5）系数 23（即 8），次数 3；（6）系数 -1，次数 1。 【易错点】（3）中 π 是数，不是字母；（5）中数字 2 的指数 3 不计入次数。 20．解：单项式集合：{-xy，0，4x2y，-t，…}； 多项式集合：{a2-2ab+b2，，…}； 整式集合：{-xy，a2-2ab+b2，0，，4x2y，-t，…}。 【解析】，，m+ 的分母中都含有字母，不是整式。 21．解：（1）各项为 -3x2y2，xy，-2x3，7，常数项是 7； （2）各项次数分别是 4，2，3，0，所以它是四次四项式； （3）按 x 的降幂排列：-2x3-3x2y2+xy+7。 22．解：（1）剩余部分的面积为 ab-4x2； （2）它是多项式，是二次二项式； （3）当 a=20，b=15，x=3 时，ab-4x2=20×15-4×32=300-36=264。 23．解：阴影部分的面积 = 正方形面积 - 四分之一圆面积 = a2-πa2。 当 a=2 时，a2-πa2=4-×3.14×4=4-3.14=0.86。 24．解：多项式是六次四项式，x2ym+1 是最高次项（其余各项次数为 3，3，0），所以 2+(m+1)=6，解得 m=3。 单项式 3x2ny5-m 的次数为 6，即 2n+(5-m)=6，将 m=3 代入得 2n+2=6，所以 n=2。 25．解：（1）应付车费为 [8+1.6(x-3)] 元； （2）当 x=10 时，8+1.6×(10-3)=8+11.2=19.2（元）。 答：应付车费 19.2 元。 四、拓展提升 26．解：因为多项式是关于 x 的二次三项式，所以不含 x3 项，则 a-3=0，即 a=3；又最高次项为 -xb，次数为 2，所以 b=2。 因此 ab=32=9。 【点拨】若 b=1，则多项式为 -x+x-1，不是二次三项式，故 b 只能等于 2。 27．解：（1）观察发现：奇数个为负、偶数个为正；分母依次为 2，3，4，5，…，比序号大 1；a 的指数依次为 2，4，6，8，…，是序号的 2 倍。 第 10 个单项式为 ，系数是 ，次数是 20。 （2）第 n 个单项式为 (-1)n·。 28．解：（1）足球个数为 (x+2) 个，共需费用 [ax+b(x+2)] 元，即 (ax+bx+2b) 元； （2）ax+bx+2b 是二次三项式； （3）当 a=120，b=80，x=10 时，ax+bx+2b=120×10+80×10+2×80=1200+800+160=2160（元）。 答：共需 2160 元。 五、易错专练 29．（1）× 【解析】π 是数，次数是 1+1=2。 （2）× 【解析】一次项连同符号是 -2x。 （3）√ 【解析】分母中不含字母，它是多项式，属于整式。 （4）√ （5）× 【解析】-xy3 的次数是 4，所以多项式的次数是 4。 （6）× 【解析】数字 2 的指数不计入次数，次数是 2+1=3，系数是 -24=-16。 30．解：xay 的次数是 a+1，x2yb 的次数是 2+b，常数项 3 的次数是 0。 多项式是五次三项式，分两种情况： ①若 a+1=5，则 a=4，此时 2+b≤5，且 b 为正整数，所以 b=1，2，3； ②若 2+b=5，则 b=3，此时 a+1≤5，所以 a=1，2，3，4。 综上，满足条件的有：a=4，b=1；a=4，b=2；a=4，b=3；a=1，b=3；a=2，b=3；a=3，b=3。 【点拨】两项中至少有一项次数为 5，另一项次数不超过 5；当 a=2，b=1 等情况下两项次数都小于 5，不合题意。 31．解：（1）3x-2；（2）a2+b2；（3）(a+b)2；（4）10m+n；（5）(x+4) 人。 这五个代数式的分母中都不含字母，所以它们都是整式；其中（1）（2）（4）（5）都是多项式。 【易错点】“a 与 b 的平方和”指先平方后求和；“a 与 b 的和的平方”指先求和后平方，二者不同。两位数要写成 10m+n，不能写成 mn。 32．解：这个多项式为 -x2+x-3。 当 x=-2 时，-x2+x-3=-(-2)2+×(-2)-3=-4-1-3=-8。 【易错点】-x2 表示 x2 的相反数，代入 x=-2 时，-(-2)2=-4，不能算成 4。 学后反思 1．判断单项式与多项式时，先看是否含有加减运算，再看分母中是否含有字母。 2．确定系数要带符号，π 当作数；确定次数只数字母的指数，数字的指数不计入。 3．多项式的次数不是各项次数之和，而是最高次项的次数；项数要包括常数项。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $