3.4 生活中的常量与变量 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 七年级上册

青岛版七年级上册　第3章　3.4 生活中的常量与变量　课时作业 青岛版 · 数学 · 七年级上册　第3章 3.4　生活中的常量与变量 课时作业（含知识点梳理、答案及解析） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．结合生活实例，了解常量与变量的意义，能指出具体问题中的常量与变量． 2．理解常量与变量的相对性． 3．会用含字母的式子表示变化过程中两个变量之间的关系，能从表格、图象中获取变量之间的信息． 二、知识点梳理 知识点1　常量与变量 在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量；数值始终保持不变的量叫做常量． 例如：汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶路程 s（千米）与行驶时间 t（时）之间的关系为 s=60t．在这个过程中，速度 60 千米/时是常量，路程 s 和时间 t 是变量． 知识点2　判断常量与变量的方法 （1）首先要明确是“哪一个变化过程”； （2）看这个量在该变化过程中的数值是否发生变化：变化的是变量，不变的是常量； （3）π 是一个确定的数（圆周率），在任何问题中都是常量；关系式中的具体数值都是常量． 知识点3　常量与变量的相对性 常量与变量不是绝对的，同一个量在不同的变化过程中，可能是常量，也可能是变量． 例如在 s=vt 中：①当速度 v 一定时，v 是常量，s 和 t 是变量；②当路程 s 一定时，s 是常量，v 和 t 是变量；③当时间 t 一定时，t 是常量，s 和 v 是变量． 知识点4　表示变量之间关系的方法 在一个变化过程中，常常有一个变量随着另一个变量的变化而变化．表示两个变量之间的关系，常用以下方法： （1）表格法：列出变量的一些对应值，直观地看出变化情况； （2）关系式法：用含字母的等式表示两个变量之间的关系，如 y=5x，S=πr2； （3）图象法：用图象直观地表示一个变量随另一个变量的变化情况，如气温变化图． 三、典例精析 例1　如图，圆的面积 S 随半径 r 的变化而变化，S=πr2．指出其中的常量与变量． 解：在圆的半径变化的过程中，π 是常量，S 和 r 是变量． 点拨：π 是一个确定的数，不是变量．关系式 S=πr2 中指数“2”是运算的一部分，不作为常量或变量来讨论． 例2　一辆汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶，行驶的路程为 s 千米，行驶时间为 t 时． （1）写出 s 与 t 之间的关系式；（2）指出其中的常量与变量；（3）行驶 2.5 时后，汽车行驶了多少千米？ 解：（1）s=60t；（2）常量是 60，变量是 s，t；（3）当 t=2.5 时，s=60×2.5=150，即汽车行驶了 150 千米． 例3　如图，在弹簧下端悬挂物体，弹簧的长度会发生变化．测得一根弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体的质量 x（千克）之间的关系如下表（在弹性限度内）： 所挂物体质量 x/千克 0 1 2 3 4 5 弹簧长度 y/厘米 12 12.5 13 13.5 14 14.5 （1）这个变化过程中，哪些量是变量？ （2）所挂物体的质量每增加 1 千克，弹簧的长度怎样变化？写出 y 与 x 的关系式． 解：（1）所挂物体的质量 x 和弹簧的长度 y 是变量； （2）质量每增加 1 千克，弹簧长度增加 0.5 厘米．不挂物体时弹簧长 12 厘米，所以 y=12+0.5x，其中 12 和 0.5 是常量． 例4　下图是某地某天的气温 T（℃）随时间 t（时）变化的图象． （1）这个变化过程中的变量是什么？ （2）这一天的最高气温和最低气温分别是多少？各出现在什么时刻？ 解：（1）时间 t 和气温 T 是变量，气温随时间的变化而变化； （2）最高气温是 14 ℃，出现在 14 时；最低气温是 0 ℃，出现在 4 时． 例5　如图，用一根长 20 厘米的细铁丝围成一个长方形，设长方形的长为 x 厘米，宽为 y 厘米．写出 y 与 x 之间的关系式，并指出其中的常量与变量． 解：因为 2(x+y)=20，所以 x+y=10，即 y=10−x．其中铁丝的长度 20（或关系式中的 10）是常量，x，y 是变量． 四、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．在圆的周长公式 C=2πr 中，变量是（　　） A．C，π B．C，r C．π，r D．C，2π 2．购买单价为 5 元的笔记本，总价 y（元）与购买数量 x（本）之间的关系式为 y=5x，其中的常量是（　　） A．5 B．x C．y D．5 和 x 3．下列说法中，正确的是（　　） A．常量是指在任何变化过程中都不变的量 B．在关系式 s=vt 中，s，v，t 一定都是变量 C．常量与变量是相对的，同一个量在不同的变化过程中可能是常量，也可能是变量 D．π 是变量 4．一个三角形的底边长为 5 厘米，高 h（厘米）可以任意伸缩，三角形的面积 S（平方厘米）随 h 的变化而变化，S=h，其中的常量是（　　） A．S B．h C． D．S 和 h 5．汽车油箱中有油 50 升，每行驶 1 千米耗油 0.1 升，油箱中的剩余油量 Q（升）与行驶路程 s（千米）之间的关系式为 Q=50−0.1s，其中的变量是（　　） A．50，0.1 B．Q，s C．Q，50 D．s，0.1 6．小明从家步行到图书馆，在图书馆看了一会儿书后按原路返回家中．下图表示他离家的距离 s（米）与时间 t（分）之间的关系，则小明在图书馆停留了（　　） A．10 分 B．20 分 C．30 分 D．40 分 7．某地地面气温为 20 ℃，海拔每升高 100 米，气温下降 0.6 ℃，海拔 h 米处的气温 t（℃）为 t=20−0.006h．其中的常量是（　　） A．t B．h C．20 和 0.006 D．t 和 h 8．下列各组量中，两个量都是变量的是（　　） A．正方形的边长和周长 B．一星期的天数和一年的月份数 C．圆周率和圆的半径 D．1 小时的分钟数和 1 分钟的秒数 9．根据例4的气温变化图，气温逐渐上升的时间段是（　　） A．0时～4时 B．4时～14时 C．14时～24时 D．0时～14时 10．用总长为 20 米的篱笆围一个等腰三角形花圃，腰长为 x 米，底边长为 y 米，则 y 与 x 的关系式是（　　） A．y=20−x B．y=20−2x C．y=10−x D．y=10−2x 二、填空题 11．正方体的表面积 S 与棱长 a 之间的关系式为 S=6a2，其中常量是________，变量是________． 12．一个水池中有水 60 立方米，每小时放出 5 立方米，池中剩余水量 Q（立方米）与放水时间 t（时）之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 13．一支蜡烛原长 20 厘米，点燃后每小时缩短 4 厘米，剩余部分的长度 h（厘米）与燃烧时间 t（时）之间的关系式是________；燃烧 3 小时后，蜡烛还剩________厘米；这支蜡烛最多可以燃烧________小时． 14．一列火车以 80 千米/时的速度匀速行驶，行驶的路程 s（千米）与时间 t（时）之间的关系式是________，其中________是常量，________是变量． 15．正方形的周长 y 与边长 x 之间的关系式是________；当 x=2.5 时，y=________． 16．电影票每张 30 元，购买 x 张电影票的总价为 y 元，则 y=________，其中变量是________，常量是________． 17．根据第6题的图象，小明从家到图书馆的速度是________米/分，返回时的速度是________米/分． 18．在 s=vt 中，当路程 s 一定时，________是常量，________是变量． 三、解答题 19．指出下列各问题中的常量与变量： （1）某种苹果的单价为 8 元/千克，购买 x 千克苹果的总价为 y 元，y=8x； （2）用 10 米长的绳子围成长方形，长方形的长为 a 米，面积为 S 平方米，S=a(5−a)； （3）一个梯形的上底为 3，下底为 7，高 h 在变化，梯形的面积 S=5h； （4）小华存款 100 元，以后每月存入 20 元，x 个月后存款总额为 y 元，y=100+20x． 20．在弹性限度内，测得一根弹簧的长度 y（厘米）与所挂物体的质量 x（千克）的几组对应值如下表： 所挂物体质量 x/千克 0 1 2 3 4 弹簧长度 y/厘米 10 10.8 11.6 12.4 13.2 （1）这个变化过程中的变量是什么？不挂物体时弹簧长多少厘米？ （2）所挂物体的质量每增加 1 千克，弹簧伸长多少厘米？写出 y 与 x 的关系式； （3）当所挂物体的质量为 7 千克时，弹簧长多少厘米？ 21．用一根长 24 厘米的铁丝围成一个长方形，设长方形的一边长为 x 厘米，相邻的另一边长为 y 厘米． （1）写出 y 与 x 之间的关系式，并指出其中的常量与变量； （2）完成下表： x/厘米 2 4 6 8 10 y/厘米 （3）x 能取 12 吗？为什么？ 22．根据例4的气温变化图，回答下列问题： （1）10 时的气温是多少？20 时的气温是多少？ （2）这一天的最大温差是多少？ （3）气温在什么时间段逐渐下降？ B组　能力提升 23．某剧场第 1 排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 2 个座位．设第 n 排的座位数为 m． （1）写出 m 与 n 之间的关系式，指出其中的常量与变量； （2）第 15 排有多少个座位？ 24．根据第6题的图象回答： （1）图书馆离小明家多远？小明从出发到回到家共用了多少分？ （2）小明从家到图书馆和从图书馆回家，哪段路走得快？ 25．一个容器中原有水 10 升，现以每分钟 2 升的速度向容器中注水，容器最多能装 50 升水． （1）写出容器中的水量 V（升）与注水时间 t（分）之间的关系式； （2）注水多长时间可以把容器注满？ 26．某商品每件进价 40 元，经市场调查发现，当每件售价为 x 元时，每天可以卖出 (100−x) 件．每天的销售利润 y（元）与售价 x（元）之间的关系为 y=(x−40)(100−x)． （1）指出这个问题中的变量； （2）完成下表，并说明售价为多少元时，表中对应的每天利润最大． 售价 x/元 50 60 70 80 90 利润 y/元 C组　拓展探究 27．对于关系式 s=vt，请分别举出一个实际问题，使得： （1）s 和 t 是变量，v 是常量；（2）v 和 t 是变量，s 是常量． 28．正方形的边长 a 与面积 S 的对应值如下表： 边长 a 1 2 3 4 5 6 面积 S 1 4 9 16 25 （1）补全表格，并写出 S 与 a 之间的关系式； （2）边长每增加 1，面积的增加量分别是多少？这些增加量有什么规律？ （3）当边长由 a 增加到 a+1 时，面积增加了多少？（用含 a 的代数式表示） 五、参考答案与解析 A组　基础巩固 1．【答案】B 【解析】在 C=2πr 中，2 和 π 都是常量，C 随 r 的变化而变化，C 和 r 是变量． 2．【答案】A 【解析】单价 5 元始终不变，是常量；总价 y 和数量 x 是变量． 3．【答案】C 【解析】A 错误，常量只是在“某一变化过程中”不变；B 错误，s，v，t 中可以有一个是常量；D 错误，π 是常量；C 说法正确． 4．【答案】C 【解析】底边长不变，S=×5×h=h，其中 是常量，S 和 h 是变量． 5．【答案】B 【解析】50 和 0.1 是不变的数值，是常量；剩余油量 Q 随行驶路程 s 的变化而变化，Q，s 是变量． 6．【答案】A 【解析】图象中 10 分到 20 分这一段，离家距离保持 800 米不变，说明小明在图书馆停留，停留时间为 20−10=10（分）． 7．【答案】C 【解析】关系式中 20 和 0.006（即每升高 1 米下降 0.006 ℃）是固定不变的数，是常量；t 和 h 是变量． 8．【答案】A 【解析】正方形的边长变化时，周长也随之变化，两者都是变量；B、D 中的量都是固定的数；C 中圆周率是常量． 9．【答案】B 【解析】由图象可知，从 4 时到 14 时，图象从左往右逐渐上升，气温由 0 ℃ 升高到 14 ℃． 10．【答案】B 【解析】等腰三角形的周长=2×腰长+底边长，所以 2x+y=20，即 y=20−2x． 二、填空题 11．【答案】6；S，a 【解析】关系式中的数 6 是常量，表面积 S 和棱长 a 是变量． 12．【答案】Q=60−5t；60，5；Q，t 【解析】t 小时放出 5t 立方米，剩余水量 Q=60−5t． 13．【答案】h=20−4t；8；5 【解析】t 小时缩短 4t 厘米，剩余长度 h=20−4t； 当 t=3 时，h=20−4×3=8（厘米）；蜡烛燃尽时剩余长度为 0，20÷4=5，所以最多可以燃烧 5 小时． 14．【答案】s=80t；80；s，t 【解析】路程=速度×时间，速度 80 千米/时不变． 15．【答案】y=4x；10 【解析】正方形的周长等于边长的 4 倍；当 x=2.5 时，y=4×2.5=10． 16．【答案】30x；x，y；30 【解析】总价=单价×数量，单价 30 元不变，是常量． 17．【答案】80；40 【解析】去图书馆用了 10 分钟走 800 米，速度为 800÷10=80（米/分）；返回时从 20 分到 40 分，用了 20 分钟走 800 米，速度为 800÷20=40（米/分）． 18．【答案】s；v，t 【解析】路程 s 一定时，速度越大，所用时间越少，v 和 t 都在变化，是变量． 三、解答题 19．【答案】见解析 【解析】（1）常量：8；变量：x，y． （2）常量：10（关系式中的 5 也是常量）；变量：a，S． （3）常量：3，7（关系式中的 5 也是常量）；变量：h，S． （4）常量：100，20；变量：x，y． 20．【答案】（1）x，y 是变量，10 厘米；（2）0.8 厘米，y=10+0.8x；（3）15.6 厘米 【解析】（1）所挂物体的质量 x 和弹簧长度 y 是变量；当 x=0 时，y=10，即不挂物体时弹簧长 10 厘米． （2）10.8−10=0.8，11.6−10.8=0.8，……，所挂物体每增加 1 千克，弹簧伸长 0.8 厘米，所以 y=10+0.8x． （3）当 x=7 时，y=10+0.8×7=10+5.6=15.6（厘米）． 21．【答案】（1）y=12−x；（2）10，8，6，4，2；（3）不能 【解析】（1）由 2(x+y)=24，得 x+y=12，所以 y=12−x．其中 24（或 12）是常量，x，y 是变量． （2）当 x=2，4，6，8，10 时，y 依次为 10，8，6，4，2． （3）当 x=12 时，y=12−12=0，此时不能围成长方形，所以 x 不能取 12．x 的取值应满足 0<x<12． 22．【答案】（1）9 ℃，8 ℃；（2）14 ℃；（3）0时～4时和14时～24时 【解析】（1）由图象可知，10 时的气温是 9 ℃，20 时的气温是 8 ℃． （2）最高气温 14 ℃，最低气温 0 ℃，最大温差为 14−0=14（℃）． （3）从 0 时到 4 时以及从 14 时到 24 时，图象从左往右逐渐下降，气温逐渐降低． B组　能力提升 23．【答案】（1）m=20+2(n−1)；（2）48 个 【解析】（1）第 1 排 20 个座位，第 2 排 (20+2) 个，第 3 排 (20+2×2) 个，……，第 n 排比第 1 排多 (n−1) 个“2”，所以 m=20+2(n−1)．其中 20 和 2 是常量，m 和 n 是变量． （2）当 n=15 时，m=20+2×(15−1)=20+28=48，即第 15 排有 48 个座位． 24．【答案】（1）800 米，40 分；（2）去图书馆时走得快 【解析】（1）由图象可知，图书馆离小明家 800 米；小明在第 40 分回到家，共用了 40 分． （2）去图书馆的速度为 80 米/分，回家的速度为 40 米/分，80>40，所以去图书馆时走得快． 25．【答案】（1）V=10+2t；（2）20 分 【解析】（1）t 分钟注入 2t 升水，所以 V=10+2t． （2）容器注满时 V=50，还需注入 50−10=40（升）水，40÷2=20（分），即注水 20 分钟可以把容器注满．这里 t 的取值范围是 0≤t≤20． 26．【答案】（1）x，y（以及每天的销量）；（2）500，800，900，800，500；售价 70 元 【解析】（1）售价 x、每天的销量 (100−x) 和每天的利润 y 都在变化，是变量；进价 40 元是常量． （2）当 x=50 时，y=(50−40)×(100−50)=10×50=500；当 x=60 时，y=20×40=800； 当 x=70 时，y=30×30=900；当 x=80 时，y=40×20=800；当 x=90 时，y=50×10=500． 所以在表中，售价为 70 元时每天的利润最大，为 900 元． C组　拓展探究 27．【答案】答案不唯一 【解析】（1）例如：一个人以 5 千米/时的速度匀速步行，步行的路程 s 千米与时间 t 时之间满足 s=5t，v=5 是常量，s 和 t 是变量． （2）例如：从甲地到乙地的路程为 120 千米，汽车的速度为 v 千米/时，所用时间为 t 时，则 vt=120，s=120 是常量，v 和 t 是变量． 28．【答案】（1）36，S=a2；（2）3，5，7，9，11，依次增加 2；（3）(a+1)2−a2，即 2a+1 【解析】（1）当 a=6 时，S=62=36，S 与 a 之间的关系式为 S=a2． （2）4−1=3，9−4=5，16−9=7，25−16=9，36−25=11，面积的增加量依次为 3，5，7，9，11，是连续的奇数，每次多 2． （3）边长由 a 增加到 a+1 时，面积增加了 [(a+1)2−a2]．结合（2）中的规律：a=1 时增加 3，a=2 时增加 5，a=3 时增加 7，……，可以发现增加量等于 2a+1． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $