精品解析：吉林长春市净月实验中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026—2027学年度上学期阶段性学情诊断·九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 一元二次方程根的判别式的值为（ ） A. B. 14 C. 13 D. 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3 5. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 7. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. 32x+20x﹣2x2＝540 B. 32x+20x＝32×20﹣540 C. （32﹣x）（20﹣x）＝540 D. （32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． 10. 已知，则的值为______． 11. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 12. 若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 13. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 14. 如图，点D、E分别在的边、上且，，相交于点O，连结．有下列结论：①；②；③； ④．其中正确的结论是_______（填序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 解方程x2﹣4x+1=0． 17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 18. 如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到） （参考数据：，，） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 20. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 21. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为，，不解方程回答下列问题． ①计算：_________，_________； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 22. 如图，点、在的图象上，直线与y轴交于点C，连接． （1）_________；_________； （2）求直线的函数表达式； （3）观察的图象，当时，y的取值范围_________；当时，y的取值范围_________； （4）若点P在的图象上，且在A、B之间，连结，则的面积的最大值为_________． 23. 【感知】如图①，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． 求证：． 【应用】如图②，在矩形中，，点E为边上一个动点（点E不与点A重合），连结，点F在上，满足，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连结． ①当时，线段的长度是______．②面积的最大值是______． 24. 如图，在中，，，于点D，E为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，连接、． （1）的值为_________． （2）当直线与的某一边平行时，求的长． （3）当点B、P、E三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求的长； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期阶段性学情诊断·九年级数学 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的较小的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握用因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． 用因式分解法求出该方程的解，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴较小的根是． 故选：A． 2. 一元二次方程根的判别式的值为（ ） A. B. 14 C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． 【详解】解：∵， ， 故选：C． 3. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，合并同类二次根式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意； B、，原选项运算正确，符合题意； C、，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； D、，原选项运算错误，不符合题意； 故选B． 4. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、乘方，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】， ， 故选：D． 5. 将抛物线向下平移1个单位，所得新抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键； 根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 【详解】∵将抛物线向下平移1个单位， ∴所得新抛物线的解析式为：． 故选：A． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得到，根据得到相似比为：，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键． 7. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8. 如图，在长为32m，宽为20m的矩形空地上修建同样宽的道路（图中阴影部分），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为540m2．设道路的宽为xm，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. 32x+20x﹣2x2＝540 B. 32x+20x＝32×20﹣540 C. （32﹣x）（20﹣x）＝540 D. （32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣540 【答案】C 【解析】 【分析】把道路进行平移，可得草坪面积＝长为32﹣x，宽为20﹣x的面积，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：把道路进行平移，可得草坪面积为一个矩形，长为32﹣x，宽为20﹣x， ∴可列方程为：（32﹣x）（20﹣x）＝540． 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两个最简二次根式是同类二次根式，根据同类二次根式定义可得被开方数相等，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 10. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 由已知等式变形求解比值即可． 【详解】解：由两边同时除以得， 故答案为：． 11. 抛物线与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 12. 若函数是关于x的二次函数，则常数m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数定义，得到的最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴的最高次数满足，且二次项系数， 整理方程得， 因式分解得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 14. 如图，点D、E分别在的边、上且，，相交于点O，连结．有下列结论：①；②；③； ④．其中正确的结论是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵点D、E分别在的边、上且， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 由题意可得不一定成立；故③错误； ∵， ∴， ∴；故④正确； 综上所述：正确的有①②④； 故答案为①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，然后进行求解即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 16. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 17. 某商场购进一批台灯，9月销售400个，10月和11月这种台灯销售量持续增加，11月的销售量达到576个，设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率不变．求10月和11月这两个月的销售量月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，记住增长率公式是解题的关键． 根据增长（降低）率公式，可列出式子． 【详解】解：设10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为． 18. 如图，线段、分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，求乙建筑物的高．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】乙建筑物的高为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，解题的关键是掌握以上知识点． 根据四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案． 【详解】解：过点A作， 由题意得：四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 答：乙建筑物的高为． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，为边上的中线，于点E． （1）求证：． （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）等边对等角，得到，三线合一得到，进而得到，即可得证； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，为边上的中线， ∴， 由（1）知：， ∴，即：， ∴． 21. 在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： （1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若一元二次方程的两个实数根为，，不解方程回答下列问题． ①计算：_________，_________； ②求的值； （3）若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，解不等式即可求出的取值范围； （2）①根据根与系数的关系即可得出答案； ②根据，把①中结果代入，即可得出答案； （3）根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据得出，结合即可求出的值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ②由①可知，，， ∴． 【小问3详解】 解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 22. 如图，点、在的图象上，直线与y轴交于点C，连接． （1）_________；_________； （2）求直线的函数表达式； （3）观察的图象，当时，y的取值范围_________；当时，y的取值范围_________； （4）若点P在的图象上，且在A、B之间，连结，则的面积的最大值为_________． 【答案】（1），4 （2） （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）将代入求a的值，再求出时对应的函数值即可； （2）利用待定系数法求解； （3）观察函数图象，根据函数图象的增减性求解； （4）设点P的坐标为，作轴交直线于点Q，用含m的式子表示出，再根据用含m的式子表示出的面积，利用二次函数的最值求解． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， 在上， ； 【小问2详解】 解：设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：观察的图象，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，y的值先减小，后增大，取值范围为； 当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 可得当时，y的取值范围为：； 【小问4详解】 解：设点P的坐标为，其中， 作轴交直线于点Q，则点Q的坐标为，如图： ， ， 二次项系数， 时，取最大值，最大值为． 23. 【感知】如图①，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到线段，过点D作于点E． 求证：． 【应用】如图②，在矩形中，，点E为边上一个动点（点E不与点A重合），连结，点F在上，满足，将线段绕点E逆时针旋转得到线段，连结． ①当时，线段的长度是______．②面积的最大值是______． 【答案】感知：证明：∵， ∴， ∵将边绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴； 应用：①；② 【解析】 【分析】感知：根据旋转的性质，得出，，推出，利用证明即可； 应用：①如图，过点G作交延长线于点H，证明，求出，进而求出，再利用勾股定理即可解答；②同理①得：，设，则，求出，即可得到，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】感知：略 应用： 解：①如图，过点G作交延长线于点H， ∵将边绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②同理①得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的应用，正确作出辅助线，构造三角形的全等与相似是解题的关键． 24. 如图，在中，，，于点D，E为的中点．点P从点D出发，沿方向向终点A运动，连接、． （1）的值为_________． （2）当直线与的某一边平行时，求的长． （3）当点B、P、E三点不共线时，以、为邻边构造平行四边形． ①当为矩形时，求的长； ②当被的一边分成面积比为两部分时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）或或 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一的性质得：，再根据勾股定理得，最后由正切的定义即可解答； （2）分三种情况作答即可； （3）①先根据线段中点的定义可得：，如图3，根据余角的性质得：，根据正切的定义即可解答； ②被的一边（和）分成面积比为两部分，根据这两种情况分别画图，作垂线构建平行线，根据平行线分线段成比例定理列等式即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ，， 由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：当点在上时，如图，则， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴； 当点在上时，如图，若， 同理可得； 当点在上时，如图，若，作交于点， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴ ∵，于点D， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或； 【小问3详解】 解：①是的中点，， ， 当为矩形时，如图3，点在上， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴； ②四边形是平行四边形， ， 当被的一边分成面积比为两部分时，点在上，如图，连接，延长，交于点，过点作于， 设的面积，则四边形的面积， 的面积， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，即， ； 如图，被的一边分成面积比为两部分，延长，交于点，过点作于，过点作于，过点作于，则， 同理得：， 中，， ， ， 同理得：， ， ， ， ，即， ， ， 综上，的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $