第2章 一元二次方程 A卷（达标检测） 2026‑2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章一元二次方程A卷（达标检测） 参考答案 第一部分（选择题共27分) 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 B A D B A C D 第二部分（非选择题共3分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 103 11.3 12-x-2=0 13.(30-x20+5x)=1200 14.2028 15.-4 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (12分) 【答案】 (1)解： 3x(x-2)=x-2 3x(x-2)-(x-2)=0 (x-2)3x-1)=0 x-2=03x-1=0 或 解得=3，为=2：.3分 (2)解：(x--4=0 (x-12=4 x-1=±2. =3x2=-1 解得 3分 (3)解：-2r+2W2x+1=0.a=-2b=22c=1 △=(22-4×(-2)x1=8+8=16 x=22±6-22±42±2 2×(-2) -4 2, 解得=2+2=2二2 2, 2;3分 (4解：(x++8(x+1)+16=0 (x+1+4=0,即+5y=0. 解得 =x2=-5 …3分 17.(5分) 【答案】 4)解：r+4r+5=(x+a}+b +4+5=r+2×2x)+2-2+5=(+2}+1 ∴a=2,b=1, 故答案为：2；1.…2分 (2)由题意得，2x2+4x-1 =2+2x-2 =22+2x+1-1号 =2(x+1)2-3 .(x+)}≥0 .当x=-1时，2x2+4x-1有最小值-3，无最大值，…5分 18.(6分) 【答案】 (1)解：，a=1,b=2m-1,c=m2 .△=b2-4ac =(2m-1)2-4×1×m2 =-4m+1,…2分 ,方程有两个不相等的实数根， ∴.△>0，即-4m+1>0, ∴m< 4: …4分 (2)解：由(1)可知m<4 .当m=0时，一元二次方程为x2-x=0, 解得古0 2=1 …6分 19.(8分) 【答案】 (1)解：设月平均增长率为x, 根据题意得： 3(1+x)2=4.32 …2分 =0.2x2=-2.2 解得 (不符合题意，舍去) 答：月平均增长率为20%；…4分 (2)设每件商品的售价应该降低'元，则每件商品的利润为 75-65-y) 20+5y) 元，每天的销量为 件， (75-65-y)(20+5y)=240 依题意可得： 6分 乃=4y2=2 解得 (不符合题意，舍去) 答：每件商品的售价应该降低4元.…8分 20.(8分) 【答案】 (1)解：根据倒方程的定义可知： 元二次方程4r2+3x+1=0的倒方程是x2+3x-4=0:…2分 (2)解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程-5x2+x+1=0的倒方程是x2+x-5=0, ∴.把x=m代入方程x2+x-5=0, 得m2+m-5=0, m2=5-m,…5分 2m3-m2-13m+2026 =2m×(5-m)-(5-m)-13m+2026 =10m-2m2-5+m-13m+2026 =-2m2-2m+2021 =-2×(5-m)-2m+2021 =-10+2m-2m+2021 =2011.…8分 21.(10分) 【答案】 (1)证明：在方程 -k+0x+k=0中，a=1,b-k+小.c=k,1分 则△=[-(k+1]-4x1xk =(k+1)2-4k =K2+2k+1-4K =k2-2k+1 =(k- ，3分 (k-2≥0， △≥0 .不论k为何值，方程总有两个实数根.…5分 (2)解：在方程 ×-k+r+k=0中，a=1b=-k+.c= 六名+5=-低+=k15名=k,…7分 1 1 (名+(3+)=xx+x+3+1, .k+(k+1)+1=8 …9分 解得k=3. k的值为3.…10分 22.(12分) 【答案】 (1)解：由腮意得当=30时，人均费用为 00-(30-10)×5=200 元， 300-(x-10)×5=300-5x+50=350-5x 有2010sx≤30) 350-5x) 参加活动，人均费用为 元；…3分 (2)解：设有x位研学团成员， 当x<10时，300x<3000<5000,不符合题意，…5分 当10≤x≤30时， x(350-5x)=5000 ，…7分 化简得5x2-350x+5000=0, 方程两边同时除以5得 x2-70x+1000=0 x-20)(x-50)=0 因式分解得 =20 x2=50 解得 (舍去)，…9分 当x>30时，x×200=5000, 解得x=25(舍去)， 答：研学团的人数为20人.…12分 23.(14分) 【答案】 (1)解：解方程x2-2x-8=0 =4x2=-2 得 a、b是方程r-2x-8=0的两根，且 A(0,a）B(b,0) a=4,b=-2 即0A=4,0B=2.…2分 (2) O 过点E作EF⊥y轴交y轴于点F, :△ABE是等腰直角三角形，∠EAB=9O°，AE=AB, 又∠BOA=∠AFE=90°， ∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠EAF=90° ∴.∠ABO=∠EAF △OBA≌△FAE(AAS) ,4分 OB=FA=2,0A=FE=4 .OF=0A+FA=4+2=6 ,E(4,6) 6分 A (3) 如图，过点P作8CLB交于点C, 过点C作CD⊥x轴交x轴于点D, 则由旋转的性质可得∠BAC=45°，∠ABC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形，BC=BA 又AO⊥OD,CD⊥OD, ∠BDC=∠AOB=90° 又∠BCD+∠CBD=∠ABO+∠CBD=90°， ∴.∠BCD=∠ABO △BCD≌△ABO(AAS) BD=AO=4,CD=BO=2 ∴.OD=BD+B0=4+2=6. ,C(-6,2) 8分 y=kx+b(k≠0) 设直线2的函数表达式为 将点 (-6,2)A(0,4) 代入得 [-6k+b=2 b=4 1 k 3 解得b=4, 1 六直线的函数表达式为=3+4.10分 VA B (4) Mb 当点P在射线CB上时，过点C作CF⊥CE交EP于点F, 过点C作MN⊥x轴， 过点F作FM⊥MN交MN于点M, 过点E作EN⊥MN交MN于点N, .∠CEP=45°，∠ECF=90°， ,aCEF是等腰直角三角形，CE=CF, :.∠FMC=∠CWE=90° ∠MCF+∠MFC=∠NCE+∠MCF=90° .∠MFC=∠NCE △MCF≌ANEC(AAS) :点C坐标为 -3,2 2, 点E坐标为 0,-2) MF=CN=2-(-2)=4,CM=EN=3 .MW=CM+CN=3+4=7 “点F的坐标为 ,5) 设直线EF的函数表达式为 y=kx+b(k≠0) 将点E(0,-2)F,5) 入得 [k+b=5 b=-2, 解得 k=7 b=-2 .直线EF的函数表达式为y=7x-2, y=7x-2 x=2 ∴.联立y=2x+8解得y=12 即点P的坐标 2,12) 当点P在射线BC上时， 过点C作CF⊥CE交EP的延长线于点F, 过点C作MN上y轴，垂足为点N, 过点F作FM⊥MN交MN于点M, :∠CEP=45°，∠ECF=90°， .aCEF是等腰直角三角形，CE=CF, .∠FMC=∠CWwE=90 ∠MCF+∠MFC=∠NCE+∠MCF=90° .∠MFC=∠NCE △MCF≌NEC(AAS) :点C坐标为 -3,2) ,点E坐标为 0,-2) MF=CN=3,CM=EN=2-(-2)=4 ∴.MW=CM+CN=4+3=7, “点F的坐标为 -7,-1) 设直线EF的函数表达式为'=c+bk≠0)， E(0,-2)F(-7,-1) 将点 代入得 「-7k+b=-1 b=-2 1 k=7 解得b=-2 1 直线EF的函数表达式为y=一7x-2. 14 x=- y=-x-2解得 1 3 联立 7 4 y=2x+8 y=-3 144 即点P的坐标 3’3 缘P的2E() …14分 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质， 一次函数的图象和性质，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章一元二次方程A卷（达标检测）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、j 选择题（每小题3分，共27分） 1[AN[B][G][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][G][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 10.（3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.(3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分) (1)3x(x-2)=x-2: (2)(x-12-4=0: 请在各题且的答题区域内作答、超出里色矩形边框限定区域的答室无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3)-2x2+2V2x+1=0: (4)(x+1)2+8(x+1)+16=0. 17.(5分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 22.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(14分) 7B0 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章 一元二次方程 A卷（达标检测） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·四川内江·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（     ） A． B． C．3，4 D． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 6．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（     ） A． B． C． D． （25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）一元二次方程的一次项系数为___________． 11．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________． 12．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 13．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 14．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 15．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）若，，是三个不为零的实数，且，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（5分）（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 18．（6分）（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 19．（8分）（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件．若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 20．（8分）（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 21．（10分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 23．（14分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、， 其中、是方程的两根． (1)直接写出______，______； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 (4)如图，直线 分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点坐标：_____． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章 一元二次方程 A卷（达标检测） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·四川内江·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A：将展开得，整理为，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：是一元二次方程，符合题意； 选项D：含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 3．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 4．（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（     ） A． B． C．3，4 D． 【答案】A 【分析】直接求出一元二次方程的解，然后进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求根公式可得，．同理可得：，．再结合和比较大小即可． 【详解】解：将方程整理为． 由求根公式得． ∵， ∴，． 同理，方程的根为． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即． 又∵， ∴． 7．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的面积公式，列出方程即可. 【详解】解：设矩形菜地的一边长为米，则另一边的边长为米， 由题意，得. 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根与系数的关系，由原方程两根的和与积计算新方程两根的和与积，即可构造对应方程． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， 设所求方程的两根为，， ∴两根之和为，两根之积为， ∴所求方程为，即． 9.（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．由题意可知，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，或， ∴设，则，， ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∵， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴． 综上，或或． 故选：D． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）一元二次方程的一次项系数为___________． 【答案】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再确定一次项系数． 【详解】解：原方程移项整理得：， 因此一次项为，一次项系数为． 11．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________． 【答案】3 【分析】将已知根代入原一元二次方程，整理即可得到的值． 【详解】解：∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入方程得 ， 整理得 ． 12．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，首先将分式方程中的分母因式分解，然后找到公分母合并分式，接着利用等式的性质去分母，得到整式方程，最后整理成一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ， 去分母得： 移项、合并得：， 故答案为：． 13．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】分别表示出降价元后每箱的利润和每天的销售量，根据总利润计算公式列方程即可． 【详解】解：由题意可得，每箱降价元后，每箱盈利为元，原来平均每天售出20箱，每降价1元每天可多售出5箱，因此每天的销售量为箱，总利润等于每箱利润乘以每天销售量，已知总利润为1200元，因此可列方程为． 14．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 【答案】2028 【分析】利用一元二次方程根的定义得，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， 由根与系数的关系可得， ∴． 15．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）若，，是三个不为零的实数，且，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】利用已知条件替换所求式中的，将所求式转化为关于的二次式，再用配方法求最小值． 【详解】解：，且都不为， ， ， 将代入得：， 设，，则原式化为：， ∵， ∴， 当时等号成立，即的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)​， (4) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，；………………3分 （2）解：， ， ， 解得，；………………3分 （3）解：，，，， ， ， 解得​，；………………3分 （4）解：， ，即， 解得．………………3分 17．（5分）（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 【答案】(1)， (2)最小值为，无最大值； 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：2；1．………………2分 （2）由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值．………………5 分 18．（6分）（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 【答案】(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ，………………2分 ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴；………………4分 （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得，………………6分 19．（8分）（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件．若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为． (2)每件商品的售价应降低元． 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得：，………………2分 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为；………………4分 （2）设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：，………………6分 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元．………………8分 20．（8分）（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知： 一元二次方程的倒方程是；………………2分 （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴，………………5分 ∴ ．………………8分 21．（10分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式，因为一元二次方程，当时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的，再计算并证明其非负． （2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根，所以先写出和的表达式，再将等式展开，代入和的表达式得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：在方程 中，,,, ………………1分 则 ．………………3分 ∵ ∴ ． ∴不论为何值，方程总有两个实数根．………………5分 （2）解：在方程 中，,,, ∴ ．………………7分 ∵ ∴, ………………9分 解得． ∴的值为3．………………10分 22．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 【答案】(1) (2)人 【详解】（1）解：由题意得当时，人均费用为元， ， 有人参加活动，人均费用为元；………………3分 （2）解：设有位研学团成员， 当时，，不符合题意，………………5分 当时，，………………7分 化简得， 方程两边同时除以得 ， 因式分解得， 解得、（舍去），………………9分 当时，， 解得（舍去）， 答：研学团的人数为人．………………12分 23．（14分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、， 其中、是方程的两根． (1)直接写出______，______； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 (4)如图，直线 分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点坐标：_____． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3) (4)或 【分析】（1）解方程得到、的值，即可求得结果； （2）过点作轴交轴于点，构造“型全等”模型，根据全等三角形的性质求坐标； （3）过点作交于点，过点作轴交轴于点，构造“型全等”模型，根据全等三角形的性质求点的坐标，利用两点的坐标求出直线解析式； （4）分两种情况：当点在射线上或射线上时，分别利用全等三角形的判定与性质求出直线的解析式，然后联立解析式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：解方程 得,, ∵、是方程的两根，且、， ∴, 即．………………2分 （2） 过点作轴交轴于点， ∵是等腰直角三角形，，, 又, ∴, ∴, ∴，………………4分 ∴, ∴, ∴．………………6分 （3） 如图，过点作交于点， 过点作轴交轴于点， 则由旋转的性质可得，， ∴是等腰直角三角形， 又, ∴, 又, ∴, ∴， ∴, ∴, ∴．………………8分 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得, ∴直线的函数表达式为．……………10分 （4） 当点在射线上时，过点作交于点， 过点作轴， 过点作交于点， 过点作交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴, ∴, ∴点的坐标为 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得 , ∴直线的函数表达式为． ∴联立解得 即点的坐标; 当点在射线上时， 过点作交的延长线于点， 过点作轴，垂足为点， 过点作交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形，, ∵, ∴, ∴, ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴, ∴, ∴点的坐标为 设直线的函数表达式为, 将点代入得 , 解得, ∴直线的函数表达式为． ∴联立解得 即点的坐标; 综上点的坐标或．………………14分 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象和性质，解二元一次方程组等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章 一元二次方程 A卷（达标检测）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)； (2)； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ (3)； (4)． 17．（5分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章 一元二次方程 A卷（达标检测）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（12分） (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（5分） 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章一元二次方程A卷（达标检测）·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【V1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.（12分) (1)3x(x-2)=x-2; (2)(x-1)2-4=0: (3)-2x2+2W2x+1=0; (④(x+1)2+8(x+1)+16=0. 17.(5分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(8分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 23.(14分) VA 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第2章 一元二次方程 A卷（达标检测） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27九年级上·四川内江·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山西长治·阶段检测）已知下列各数：，其中是一元二次方程的解的是（     ） A． B． C．3，4 D． 5．（25-26九年级上·四川绵阳·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A． ， B．， C． ， D．以上答案都不对 6．（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）已知，若关于的方程的解为，，关于的方程的解为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知方程有两个不相等的实数根m，n，则下列方程中，两个根分别是，的是（     ） A． B． C． D． （25-26九年级上·山西晋中·期末）我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点P，使得为直角三角形，则点P的坐标可以为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）一元二次方程的一次项系数为___________． 11．（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为_________． 12．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）解分式方程时，可以将它化为一元二次方程，那么这个一元二次方程的一般式是________． 13．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 14．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一元二次方程的两个实数根，则的值是________． 15．（26-27九年级上·天津红桥·阶段检测）若，，是三个不为零的实数，且，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）解一元二次方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（5分）（24-25九年级下·江西赣州·阶段检测）配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则________；________． (2)求代数式的最值； 18．（6分）（25-26八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 19．（8分）（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件．若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 20．（8分）（26-27九年级上·云南文山·阶段检测）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 21．（10分）（25-26九年级上·湖北孝感·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足 求k的值． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）中国航天“嫦娥探月”、“天问探火”以及空间站建设等成就激发了广大青少年对航天的热情．某航天科技体验馆将在暑假期间推出“逐梦苍穹”航天体验营，团体票收费标准如下： ①如果参加人数不超人，人均费用为元； ②如果参加人数超过人，每增加1人，人均费用降低5元，直到人均费用元时不再下降． (1)若有人参加活动，则人均费用是_______元（用含x的代数式表示）； (2)若某研学团参加体验营需要支付元的团体票费用，求研学团的人数． 23．（14分）（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、， 其中、是方程的两根． (1)直接写出______，______； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 (4)如图，直线 分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点坐标：_____． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $