第3章 图形的相似 A卷（达标检测） 2026‑2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 A卷（达标检测） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段、、、满足，且，，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 9．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，则________． 11．（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 12．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 13．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，，则的长为________． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 17．（7分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上，，且． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 19．（8分）（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 20．（10分）（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 23．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 A卷（达标检测） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 【答案】A 【分析】由比例中项的定义列等式，结合线段长度为正求解． 【详解】解：∵是、的比例中项， ∴． ∵线段，， ∴． ∴或（不符合题意，舍去）． 故线段． 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段、、、满足，且，，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴. 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意并利用相似三角形的判定与性质求解是关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ，， 解得． 故选：A． 5．（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到主体高度和总高度的比例关系，代入黄金分割比的近似值计算即可解答． 【详解】解：设该风景照画面主体的高度为， ∵ 画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值为黄金分割比，总高度为，黄金分割比， ∴，即该风景照画面主体的高度约为． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的三角形相似和两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似成为解答本题的关键，根据相似三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， 又， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故符合题意； ③，，不是夹角的两边对应成比例，不能得到，故不符合题意， 故选：C． 7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出位似比，进而根据点的坐标可知点的坐标． 【详解】解：∵长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，， ∴长方形与的位似比是， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是即． 8．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 9．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，则________． 【答案】 【分析】根据已知比例设参数表示和，代入所求式子化简计算即可． 【详解】解： 可设，（） 将，代入 得． 11．（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 12．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为C，再证明A字模型相似，从而可得，过点A作，垂足为D，然后证明A字模型相似，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，垂足为C， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图：过点A作，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得：， ∴跷跷板的支撑点O到地面的高度是， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． 由，，即可证得然后由相似三角形的对应边成比例可得，进而求得的长． 【详解】解：， ． 又， ， ． 故答案为：． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 【答案】 【分析】设，利用重心性质和直角三角形斜边中线性质表示出的长；作，利用勾股定理求出和的长；利用面积法求出点到的距离，进而求出的长；证明，求出的长，最后计算比值． 【详解】设． 点是的重心，且在上， ，． ，是的中线， ，． 旋转， ，． ． 过点作于． ，， ． ． 在中，． 在中，． 过点作交的延长线于． ， ， ． 在中，． ，， ． ，即． ． ． ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴；………………2分 ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴；………………4分 (2) 结论：．证明： ∵， ∴； ∵，………………6分 ∴，， 又∵， ∴………………8分 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．（7分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上，，且． 【答案】(1) 如图，即为所求； ………………3分 (2) 如图，即为所求． ………………7分 【分析】本题考查作图—相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合相似三角形的判定与性质画图即可； （2）取格点，连接，交于点D，取格点H，K，连接，交于点E，即可． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，………………2分 又∵， ∴；………………3分 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴，………………5分 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：，………………7分 ∴．………………8分 19．（8分）（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等，证明两个三角形相似即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即，………………2分 ∵， ∴， ∴；………………4分 （2）解：∵， ∴，………………6分 ∵的面积为， ∴．………………8分 20．（10分）（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ，………………3分 ， ， ；………………5分 （2）解：在中，，，， ，………………7分 ， ，………………8分 ， ．………………10分 21．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴，………………2分 ∴， 将，，，代入上式， 得，………………4分 解得， 故旗杆的高度为；………………5分 （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴，………………7分 ∴， ∵米，米， ∴，………………9分 解得， ∴， 答：旗杆的高度米．………………10分 22．（12分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴；………………3分 ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形，………………5分 ∴， 又∵， ；………………7分 (2)解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积，………………8分 又的面积的面积， ， ，………………10分 由（1）得，即， 又， ， ， ．………………12分 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）略 23．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点P分别作，的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．②借鉴第①问的方法，过点P作的平行线，构造相似三角形求解． 【详解】（1）证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即，………………2分 在与中， ， ， ．………………3分 （2）解：①如图所示，,过点P分别作，的垂线，交于点H，交于点N， 在平行四边形中，， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ，………………5分 ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ；………………7分 ②如图，作，作， ， ，， ，………………8分 ， ，，， ， ，， ，………………10分 ，， ， 又， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ．………………12分 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似A卷（达标检测） 参考答案 第一部分（选择题共27分) 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 9 D C C C D D 第二部分（非选择题共3分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 5 10.3 11.10 12.9 5 13.36cm36厘米 14.4 15.4:3 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (8分) 【答案】(1) 证明：，△PCD是等边三角形， ∴.PC=PD=CD,∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， .∠PCA=∠BDP=120°：2分 :AP⊥PD,CP⊥BP,即：∠APD=∠BPC=9O°， .∠APC=∠BPD=90°-60°=30°，∠A=∠B=30°， ∴.∠A=∠BPD,∠APC=∠B .△ACP△PDB,…4分 (2) 结论：AC=BD=CD.证明： ∠APD=∠BPC=90°，∠PCD=∠PDC=60° ∠A=∠B=30°： .∠A=∠APC=∠DPB=∠B=30°，...6分 ∴AC=CP,BD=PD, 又，PC=PD=CD」 ∴.AC=BD=CD..8分 17.(7分) 【答案】(1) 如图，△ADE即为所求； D E 3分 B C (2) 如图，DE即为所求. 7分 D C B G 18.(8分) 【答案】 (1)证明：AE·AB=AD·AC, AE AD ACAB,…2分 又∠A=∠A, .△ADE∽△ABC;…3分 (2)解：：点E为AB中点，AB=20 AB=)4B=10 2 AD:AE=6:5, .AD=12,…5分 AE AD 根据解析(1)可知：AC=AB, 1012 .AC20’ 解得：4C=50 ,…7分 ..CD=AC-AD=50 2=14 3 …8分 19.(8分) 【答案】 (1)证明：：∠BAC=∠FAD .∠BAC-∠FAE=∠FAD-∠FAE,即∠BAF=∠CAD,…2分 AB AC “AF=AD AB AF AC-AD .△ABF△ACD；.4分 (2)解：，△ABFAACD SABE :.S.ACD .6分 ,△ACD的面积为8， .S.= 25 -SACD= ×8=50 4 …8分 20. (10分) 【答案 (1)证明：AD⊥AB, ∴∠BAD=90°， :∠C=90°， ∠BAD=∠C,3分 .BDII AC ∴∠ABD=∠BAC, .△ABCABDA:.5分 (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, AB=VAC2+BC2=V32+42=5 ,7分 :△ABCP△BDA. AB AC BDAB,8分 53 BD 5 ∴BD= 25 3· …10分 21.(10分) 【答案】 (1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又∠ABC=∠EDC」 △ABC∽△EDC,…2分 BC AB “CDDE: 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5DE,4分 解得DE=10m, 故旗杆ED的高度为l0m;…5分 (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90° 四边形BCDG为矩形， 日测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m,BC=GD=18m, ~∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°. .ADGA△DFE,…7分 AG EF DG DF' DF=0.8米，EF=0.4米， AG0.4 180.8 …9分 解得AG=9, AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m) 答：旗杆AB的高度10.6米.…10分 22.(12分) 【答案】(I)①证明：：∠ACB=90°，CO平分∠ACB, .∠AC0=∠BC0=45°， 又∠DAB=45°， ∴.∠DAB=∠BCO, 又∠AOD=∠COB .△40DACOB;3分 Da-v2 B ② 2 理由如下： :△AOD∽△COB OA OD OC OB' OA OC OD OB' 又：∠AOC=∠DOB】 ∴△AOC∽ADOB .∠AC0=∠DB0=45°， 又，∠DAB=45°. △ABD为等腰直角三角形，…5分 .AD=BD,∠ADB=90° 又MB=VAD2+DB BD= AB 2 ;…7分 (2)解：∠ACB=90°，CO平分∠ACB, ∴点O到CA和CB的距离相等， △BOC的面积△AOC的面积=BC:AC=3:4,8分 又：△BOC的面积△AOC的面积=OB:OA, .0B:0A=3:4. .OA:AB=4:7,…10分 由(1)得∠ADB=90°，即BD L AD, 又：OE⊥AD, ∴OE∥BD .△AOE∽AABD OE OA 4 BDAB7· …12分 23.(12分) 【答案】 (1)证明：如图，作PH⊥AB,PN⊥BC, D 是 的角平分线， ·BD ∠ABC ∴.PH=PN PH⊥AB,PN⊥BC,∠ABC=90°， ∴.四边形HPNB是矩形， .∠HPN=90°=∠GPg .∠HPN-∠GPN=∠GPQ-∠GPW 即∠HPE=∠NPF,…2分 在△HPE与△PF中， ∠HPE=∠NPF PH=PN ∠PHE=∠PNF' :△HPE≌aNPF(ASA) .PE=PF.…3分 (2)解：①如图所示，，过点P分别作AB,BC的垂线，交AB于点H,交BC于点N, D H 在平行四边形 中， NF ABCD ∠BAD=90° ·四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90° PH⊥AB, .∠AHP=90°=∠ABC, 又·∠HAP=∠BAC, △HAP△BAC,..5分 AH AP HP ∴.AB AC BC, m=3,n=2, .AB=3,AP=2PC, AP=2AC 3 AC HP ·3AC=4 8 .AH=2, 3, .PN=BH=AB-AH=3-2=1. :∠HPN=90°=∠EPF ∴.∠HPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN, ∴∠HPE=∠NPF 又：∠PHE=∠PNF=90°， .△HPE∽△NPF. PE PH 8 PFPN3;…7分 ②如图，作PH∥BC,作∠PNF=a, D N FC PH∥BC ∴.∠AHP=∠ABC,∠APH=∠ACB, △AHP∽△ABC,8分 AH HP AP AB BC AC· .AB=m,BC=4,AP=nPC, AH HP nPC n .m 4 (n+1)PC n+1. .AH =mn HIP=4n n+1, n+1: “BH=AB-AH=m-mn=m n+1n+1,…l0分 ∠BAD=a,∠PNF=a, ∴.∠B=∠PNB=180°-a. 又：PH∥BC, ∴四边形BHPN是等腰梯形， :.BH PN=m n+1 :∠PNF=∠PHE=∠BAD=a, ∴∠HPE=∠NPF, ∴.△HPE∽△NPF, PE PH 4n n+1 4n PF PNn+1m=m·…l2分2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似A卷（达标检测）·答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） -、 选择题（每小题3分，共27分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][CI[D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][CJ[D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][CI[D] 4.A][B][C]ID] 8.[A][BJ[C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 10」 11 12. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(8分) D B 17.(7分) B C B ① ② 18.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) D E 20.(10分) B 21.(10分) G >D D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) B E D D 图1 图2 23.(12分) D 图1 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 A卷（达标检测）·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 10.（3分）________________ 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章图形的相似A卷（达标检测）·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共27分） 1[AN[B][G][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[B][G][D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3 [A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分) 10.（3分) 11.(3分) 12.（3分) 13.(3分) 14.（3分) 15.（3分) 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(4分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) ① ② 18.(8分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(8分) 20.(10分) D B A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) ! F G B B C D 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 22.(12分) E D D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 A卷（达标检测）·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共27分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 10．_________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．___________________ 15．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 17．（7分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步检测卷 第3章 图形的相似 A卷（达标检测） （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共27分） 一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝8cm，b＝2cm，则线段c长（     ） A．4cm B．8cm C．5cm D．16cm 3．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段、、、满足，且，，，则的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山西·三模）摄影三分法是一种广泛应用于摄影、绘画及设计等艺术领域的构图方法，其构图源于黄金分割．已知黄金分割比为，某张风景照竖版尺寸的总高度为，画面主体的高度与竖版尺寸总高度的比值恰好为黄金分割比，则该风景照画面主体的高度约为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，D为上一点，添加下列条件后，能使的有（    ） ①；② ；③ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2026·浙江绍兴·二模）如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 9．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 第二部分（非选择题 共93分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 10．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知，则________． 11．（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 12．（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，与位似，点为位似中心，．若的面积为4，则的面积是________． 13．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 14．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，，则的长为________． 15．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，中，，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是，点A的对应点落在中线AD上，且点是△ABC的重心，与BC相交于点E．那么________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（8分）（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 17．（7分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）在6×6的网格中，的三个顶点都在格点上，我们把这种顶点在格点的三角形叫格点三角形，请用无刻度的直尺按要求完成下列作图． (1)在图1网格中画出一个，使，面积比为，且各顶点都在格点上． (2)在图2中画一条线段，使点D在上，点E在上，，且． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 19．（8分）（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 20．（10分）（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 22．（12分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 23．（12分）（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）【课本再现】 (1)如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 (2)在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $