18.3 第2课时 分式的混合运算 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.3 分式的加减（第2课时：分式的混合运算） 教学设计 课题 18.3 分式的加减（第2课时：分式的混合运算） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第2课时 课型 新授课（运算课） 教学目标 1. 明确分式混合运算的顺序，能类比有理数混合运算顺序正确、熟练地进行分式的混合运算； 2. 能运用分式的混合运算进行化简求值，掌握整体代入等常用求值技巧； 3. 在运算与辨析中发展运算能力与有条理表达的习惯，体会类比、化归的数学思想。 教学重点 熟练地进行分式的混合运算。 教学难点 分式混合运算的顺序；化简求值中整体代入思想的运用。 教学方法 悬念导入、归纳探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、学习任务单 课后练习 完成教材 P155～156 习题 18.3 第 3、4 题；对应课时练习。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、 新课导入 （约5分钟） 一、新课导入（悬念激趣） 课堂上老师出了这样一道题：当 a＝−2025 时，求一个含 a 的分式混合运算式子的值。小明把 a＝−2025 错抄成 a＝2025，但结果却是正确的，这是为什么呢？ 教师板演化简过程：原式经过通分、除法转化、约分化简后，结果恒等于常数 3，与 a 的取值无关（只需 a≠±2），所以无论 a 取 2025 还是 −2025，结果都等于 3。 追问：这道题为什么要先化简再代入？如果直接代入 a＝−2025 计算会怎样？ 师生活动：学生合作探究完成化简，发现“结果与 a 无关”的奥秘；教师由此说明：分式的混合运算要先化简，再求值，并引出本节主题——分式的混合运算顺序。 合作探究错抄却结果正确的原因，经历分式混合运算的完整化简过程，发现结果与字母取值无关。 以有趣的悬念问题激发探究欲望，学生在解决问题中自然运用乘除与加减的混合运算，为归纳运算顺序创设真实需求。 二、 探究新知 （一） 运算顺序 （约8分钟） 二、探究新知 （一）复习归纳运算顺序 复习计算： (1) 1/(x+1) + 1/(x−1)； 解：原式 = (x−1+x+1)/[(x+1)(x−1)] = 2x/(x²−1)。 (2) (a²−a)/(a+1) · (a+1)/a； 解：原式 = a(a−1)/(a+1) · (a+1)/a = a−1。 归纳总结： 分式的混合运算顺序与数的混合运算顺序一样：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 在分式运算中，可灵活运用交换律、结合律、分配律；最后结果必须是最简分式或整式。 五类易错点提醒：运算顺序搞错；符号出错；错用分配律；忽视分数线的括号作用；结果未约分化简。 师生活动：学生口答两道复习题的法则，类比有理数混合运算顺序归纳分式混合运算顺序；教师集中呈现五类易错点。 复习分式加减与乘除运算，类比数的混合运算顺序归纳分式混合运算顺序与注意事项。 由旧知唤醒到新知归纳，体会分式与数的混合运算顺序的一致性；集中呈现易错点，为规范运算立好标尺。 二、 探究新知 （二） 例题精析 （约12分钟） （二）例题精析 例1 计算： (1) 1 − (x−1)÷(x+1) · (x²−1)/x； 解：原式 = 1 − [(x−1)/(x+1)] · [(x+1)(x−1)/x] = 1 − (x−1)²/x = [x−(x²−2x+1)]/x = (−x²+3x−1)/x。 (2) (x/(x−2) − x/(x+2)) ÷ 4x/(x−2)； 解：原式 = [x(x+2)−x(x−2)]/[(x−2)(x+2)] · (x−2)/(4x) = 4x/[(x−2)(x+2)] · (x−2)/(4x) = 1/(x+2)。 例2 计算：(a²−b²)/ab − ab−b² ÷ (a²−ab)。 解：原式 = (a+b)(a−b)/(ab) − [b(a−b)]/[a(a−b)] = (a+b)(a−b)/(ab) − b/a = [(a+b)(a−b)−b²]/(ab) = (a²−2b²)/(ab)。 师生活动：学生独立完成，两名学生上台板演；教师点评：同级乘除要从左到右依次进行（例1(1) 易错），除以分式要转化为乘它的倒数，结果必须化为最简。 按“先乘方、再乘除、后加减”的顺序规范书写每一步，板演并相互纠错。 例题覆盖“除法转化”“同级从左到右”“先算括号”等关键环节，针对五类易错点逐一突破，提高混合运算准确率。 二、 探究新知 （三） 化简求值 （约8分钟） （三）化简求值与整体代入 例3 先化简，再求值： (a/(a−b) − b/(a+b)) ÷ ab/[(a+b)(a−b)]，其中 a、b 满足 a+b＝4，a−b＝2。 解：原式 = [a(a+b)−b(a−b)]/[(a−b)(a+b)] · [(a+b)(a−b)]/(ab) = (a²+ab−ab+b²)/(ab) = (a²+b²)/(ab)。 由 a+b＝4，a−b＝2，解得 a＝3，b＝1；代入得 (9+1)/(3×1) = 10/3。 例4 整体代入技巧：当字母的取值以条件等式给出时，不必求出每个字母的值，可把条件等式整体代入。 (1) 已知 x+y＝3，xy＝1，求 x/y + y/x 的值。 解：原式 = (x²+y²)/(xy) = [(x+y)²−2xy]/(xy) = (9−2)/1 = 7。 (2) 若 ab＝1，求 1/(a+1) + 1/(b+1) 的值。 解：原式 = (b+1+a+1)/[(a+1)(b+1)] = (a+b+2)/(ab+a+b+1)，代入 ab＝1 得 (a+b+2)/(a+b+2) = 1。 师生活动：学生先独立化简，教师巡视；提示括号内通分时减数整体加括号，体会“先化简再代入”优于“先求字母值”。 综合运用乘除、加减与通分化简，再由条件整体代入求值，体会先化简的优越性。 综合例题训练确定最简公分母、整式与分式通分、因式分解等能力；整体代入渗透整体思想，发展运算素养。 三、 当堂练习 （约8分钟） 三、当堂练习 1. 计算 (1 + 1/(x−1)) ÷ x/(x−1) 的结果是（ ）。 A. 1 B. x C. 1/x D. (x−1)/x 答案：A。（原式 = x/(x−1) · (x−1)/x = 1。） 2. 先化简，再求值：(1 − 1/(a+1)) ÷ a/(a²+2a+1)，其中 a＝3。 解：原式 = a/(a+1) · (a+1)²/a = a+1；当 a＝3 时，原式＝4。 3. 先化简 (x²−1)/(x²−2x+1) ÷ (x+1)/(x−1) · (1−x)/(1+x)，然后从 −1≤x≤2 中选一个合适的整数代入。 解：原式 = (x+1)(x−1)/(x−1)² · (x−1)/(x+1) · (1−x)/(1+x) = (1−x)/(1+x)； 由分母不为 0 得 x≠±1；取 x＝0 时，原式＝1。 师生活动：限时完成，学生独立解答；教师讲评第 3 题选值时必须排除使分母为 0 的整数值，强化定义域意识。 综合运用分式混合运算解决问题，注意选取代入值时排除使分母为零的数。 练习由选择到化简求值再到“选值代入”，兼顾运算与定义域判断，查漏补缺、提升思维严谨性。 四、 课堂小结 布置作业 （约4分钟） 四、课堂小结，布置作业 教师与学生一起回顾本节主要内容： 1. 分式的混合运算顺序是什么？与有理数混合运算顺序有何联系？ 2. 分式混合运算中常见的错误有哪些？如何避免？ 3. 化简求值有哪些常用技巧（整体代入、设参法等）？ 梳理主线：运算顺序 → 五类易错点 → 化简求值技巧。 布置作业： 必做题：教材 P155～156 习题 18.3 第 3、4 题； 选做题：自编一道可整体代入求值的分式混合运算题，与同伴交换解答。 回顾“运算顺序—易错点—求值技巧”的知识主线，课后独立完成作业。 梳理本课知识框架，加深对分式混合运算顺序的理解；作业促使学生巩固规范书写与求值技巧。 板书设计 18.3 分式的加减（第2课时：分式的混合运算） 一、运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 二、同级运算从左到右；灵活运用交换律、结合律、分配律 三、易错提醒：顺序、符号、分配律、分数线括号作用、结果未化简 四、结果必须是最简分式或整式；求值常用整体代入法 学生板演区 教学反思 1. 成功之处： 本节课以“错抄 a 值结果仍正确”的悬念导入，让学生在解决真实问题中自然产生对运算顺序的需求，再类比有理数混合运算顺序归纳出分式混合运算顺序，符合学生的认知规律。例题按“同级乘除从左到右—除法转化—先算括号—化简求值”层层递进，五类易错点集中呈现并逐一对标例题，较好地落实了运算能力的培养。 2. 不足之处： (1) 例1(1) 中同级乘除运算，部分学生先算后面的乘法再算除法，导致顺序错误； (2) 括号内是多项式时，部分学生忽视分数线的括号作用，去括号后符号出错； (3) 当堂练习第 3 题选值时，仍有学生选了使分母为 0 的 x＝±1，定义域意识薄弱； (4) 整体代入题中，学生观察“谁可以被整体替换”的能力参差，部分学生仍硬求每个字母的值。 3. 改进措施： (1) 在同级乘除处用红笔标注“从左到右”，并补一组对比错例让学生辨析； (2) 强调分数线具有括号作用，整式相减时减数要整体加括号，配套专项板演； (3) “选值代入”题要求学生先写分母不为 0 的限制条件，再选整数，养成先定定义域的习惯； (4) 例4 后增加 1~2 道整体代入变式题，引导学生先观察式子结构再决定是否求字母值。 学科网（北京）股份有限公司 $