第9讲 整式及其性质 优等生讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第9讲 整式及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式的概念，能准确说出单项式的系数与次数 · 掌握同类项的定义，能正确判断两个单项式是否为同类项 · 理解整式与多项式的概念，能区分单项式、多项式与分式 · 能对多项式进行降幂排列，确定多项式的项、次数与常数项 · 会利用单项式、多项式的概念解决含参问题与数轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 单项式中的数字因数叫做系数，系数包括它前面的符号，如-3x2y的系数是-3 单项式的次数是所有字母的指数的和，如单项式x2y3的次数是5 分母中含有字母的代数式不是单项式，如不是单项式 概念辨析例题：判断代数式1-a，，0，，，3(m2n+1)中单项式的个数 解析：数与字母的乘积形式是单项式，单独的数或字母也是单项式；分母中含字母的不是单项式，1-a与3(m2n+1)是多项式 ☆ 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 几个常数项也是同类项 同类项与系数的大小和字母的排列顺序无关 判断同类项的两个条件：字母相同、相同字母的指数相同，缺一不可 概念辨析例题：若2xmy3与-3xyn是同类项，求m+n的值 解析：由同类项的定义可知相同字母的指数相同：x的指数m=1，y的指数n=3，故m+n=1+3=4 ☆ 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项叫做常数项 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 把多项式各项按某个字母的指数从大到小排列，叫做按该字母的降幂排列 概念辨析例题：多项式ab-3ab2-4中，最高次项是什么？ 解析：各项次数分别为2、3、0，其中次数最高的是-3ab2，次数为3 ☆ 4.整式 单项式和多项式统称为整式 整式可以进行加、减、乘、除运算，但除式中不能含有字母 判断代数式是否为整式：分母不含字母、不含等号或不等号 整式与分式的区别在于分式的分母中含有字母 概念辨析例题：下列各式a2-5，0，3x+2y，，中，整式有几个？ 解析：a2-5、0、3x+2y、符合整式定义；的分母中含有字母，不是整式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 由数与字母的乘积组成，单独的数或字母也是单项式 系数含符号，次数是字母指数和 系数 单项式中的数字因数 包括它前面的符号 次数 单项式中所有字母的指数的和 只计字母指数，不计数字因数 同类项 字母相同且相同字母的指数也相同的项 与系数大小、字母顺序无关 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项的次数，常数项不含字母 整式 单项式与多项式的统称 除式（分母）中不能含有字母 ⚠️ 核心考点 【考点1】单项式（第1-4题） · 判断单项式看形式：数与字母乘积，分母不含字母；单独的数或字母也是单项式 · 求系数看数字因数（带符号），求次数数字母指数之和 · 规律型单项式先找系数与指数的变化规律，再写出第n个式子 · 系数含π等常数时按数字因数处理，如πxy2的系数是π 1．（2025秋•北碚区校级月考）代数式1﹣a，，0，，3（m2n+1），，，中，单项式的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【解答】解：式子0，，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子1﹣a，3（m2n+1），是多项式． 故单项式有4个． 故选：B． 【点评】本题考查单项式的定义，较为简单，要准确掌握定义． 2．（2025秋•蕲春县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和． 【解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是单项式，熟知单项式系数及次数的定义是解答此题的关键． 3．（2026•周口一模）按照一定规律排列的式子：，，，，第9个式子为　　 ． 【分析】观察可知第n个式子的分母为2n，分子的底数为x，指数为2n﹣1，据此可得答案． 【解答】解：根据题意可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式，掌握单项式的定义是关键． 4．（2026•长葛市模拟）按照一定规律排列的式子：，…，第6个式子是　　 ． 【分析】找到规律第n个式子是，据此即可求解． 【解答】解：观察发现第n个式子是， ∴第6个式子是． 故答案为：． 【点评】本题考查了数字的变化规律，发现规律是关键． 【考点2】同类项（第5-9题） · 同类项的两个条件：字母相同、相同字母的指数相同，缺一不可 · 由同类项建立方程（组）求指数中的字母，再代入求值 · 两个单项式的和仍是单项式，等价于这两个单项式是同类项 · 判断含新定义的式子时逐项检验字母与指数是否分别相同 5．（2026•永川区校级模拟）若2xmy3与﹣3xyn是同类项，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据同类项的定义可得m＝1，n＝3，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解：∵2xmy3与﹣3xyn是同类项， ∴m＝1，n＝3， ∴m+n＝1+3＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 6．（2025秋•长沙期末）已知﹣3am﹣1b3与是同类项，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝﹣2，n＝﹣1 C．m＝﹣2，n＝1 D．m＝2，n＝﹣1 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知m﹣1＝1，m+n＝3， 解得m＝2，n＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 7．（2025秋•市南区校级期末）若4xmy3与﹣3x2yn是同类项，则mn＝　8　 ． 【分析】根据同类项的定义直接得出m、n的值，再代入式子求值． 【解答】解：由同类项的定义可知m＝2，n＝3， ∴mn＝23＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 8．（2024秋•武昌区期中）有下列说法： ①若单项式3x2ym+1与﹣2xny5是同类项，则（﹣m）n＝16； ②已知a，b，c是不为0的有理数且abc＞0，bc＞0，则的值为0； ③已知有理数a，b满足ab≠0．且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为； ④如果定义，当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时，{a，b}的值为b﹣a．其中正确的说法是 　①④　 .（请填写序号） 【分析】①由同类项的概念求出m，n，从而可求出（﹣m）n； ②由题意可判断a＞0，分b＞0，c＞0和b＜0，c＜0两种情况去掉所求问题中的绝对值号，从而可求值； ③分a＜b，a≥b两种情况去掉绝对值号，将已知式子整理变形，即可求出的值； ④由ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|判断a和b的大小关系，结合新定义即可求出{a，b}． 【解答】解：①由题意知，n＝2，m＝4， 则（﹣m）n＝（﹣4）2＝16，①正确； ②因为abc＞0，bc＞0， 所以a＞0且b，c同号； 当b，c均为负数时， 4； 当b，c均为正数时， 原式＝1+1+1﹣3＝0，②错误． ③当a＜b时， b﹣a＝4a﹣3b， 整理得5a＝4b，即，③错误； ④当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时， 则a＜0＜b， 所以{a，b}的值为b﹣a，④正确． 故答案为：①④． 【点评】本题考查了同类项的定义、有理数乘法的法则、绝对值的相关运算．本题的关键是分类讨论去掉绝对值号进行求解． 9．（2025秋•顺义区期末）若单项式amb3与单项式的和仍是单项式，求m﹣2n的值． 【分析】根据两个单项式的和仍是单项式，列出关于待求字母的方程求解，再代入待求代数式中求值． 【解答】解：由条件可知m＝3，3＝2﹣n， ∴n＝﹣1， ∴m﹣2n＝3﹣2×（﹣1） ＝3+2 ＝5． 【点评】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，已知同类项求指数中字母或代数式的值，其他问题（一元一次方程的应用）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【考点3】整式（第10-13题） · 判断整式：分母不含字母、不含等号或不等号 · 含分数系数的项（如x2）仍是整式，分母含字母才是分式 · 由积的形式求未知整式时，用除法或乘法关系转化为整式运算 · 确定整式次数时先找到次数最高的项，再读其次数 10．（2025秋•嘉荫县期末）下列各式：a2﹣5，0，3x+2y，，，其中整式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子a2﹣5，0，3x+2y，，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 11．（2024春•蚌埠期中）若×4x2y2＝﹣12x2y3+16x3y2，则代表的整式是（　　） A．3y+4x B．3y﹣4x C．﹣3y+4x D．﹣3y﹣4x 【分析】根据乘法的意义，先列式再计算即可． 【解答】解：由题意可得：所代表的整式是：（﹣12x2y3+16x3y2）÷（4x2y2）＝﹣3y+4x， 故选：C． 【点评】本题考查的是整式的运算，掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024•海州区校级开学）在代数式3x2y，，27﹣a，113x中，不属于整式的是 　　 ． 【分析】根据整式的概念判断即可． 【解答】解：3x2y，12，xy+y，27﹣a，113x是整式， 不是整式， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式，熟知单项式和多项式统称为整式是解题的关键． 13．（2024秋•同步）判断下列整式的次数： （1）4c5﹣3c2+1； （2）x4﹣x2y+x2y3﹣y3． 【分析】（1）根据4c5的次数是5，即可得到答案； （2）根据x2y3的次数是5，即可得到答案． 【解答】解：（1）4c5﹣3c2+1的次数是5； （2）x4﹣x2y+x2y3﹣y3的次数是5． 【点评】本题考查了整式，解题的关键是掌握整式相关的定义． 【考点4】多项式（第14-22题） · 多项式的次数=最高次项的次数，常数项的次数为0 · 二次三项式需同时满足：最高次数为2、恰好三项、各项系数满足限制 · 含参多项式先由次数或项数建立方程（组），注意系数不能为0的条件 · 降幂排列按指定字母的指数从大到小重新排列各项，符号随项移动 14．（2025秋•衡阳县期末）下列关于多项式ab﹣3ab2﹣4的说法中，正确的是（　　） A．次数是5 B．二次项系数是﹣3 C．最高次项是﹣3ab2 D．常数项是4 【分析】根据多项式的次数、多项式的系数、多项式的项以及多项式的常数项的定义逐一分析即可． 【解答】解：多项式的次数是3；二次项的系数是1；最高次项是﹣3ab2；常数项是﹣4； ∴A，B，D说法错误，不符合题意； C说法正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的概念是关键． 15．（2026•浙江模拟）对于多项式a2b+ab+3，这个多项式的次数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据多项式的次数解答即可． 【解答】解：多项式中，最高次项为a2b，次数为2+1＝3， 故这个多项式的次数是3． 故选：D． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式次数是关键． 16．（2025秋•邹城市期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式ab2的系数是0 B．单项式2x3y2z的次数是5 C．多项式x2y+2xy2﹣1的常数项为1 D．多项式3m2n5﹣5mn2+1的次数是7 【分析】根据单项式和多项式的概念逐一判断选项． 【解答】解：A、单项式ab2的系数是1，不是0，选项说法错误，不符合题意； B、单项式2x3y2z的次数是3+2+1＝6，不是5，选项说法错误，不符合题意； C、多项式x2y+2xy2﹣1的常数项是﹣1，不是1，选项说法错误，不符合题意； D、多项式3m2n5﹣5mn2+1中，第一项次数为2+5＝7，第二项次数为1+2＝3，第三项是常数项，最高次数为7，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了单项式，多项式，掌握单项式，多项式的定义是关键． 17．（2026春•青浦区校级期末）将代数式x3+xy2﹣y3+2x2y按y的降幂排列为：　﹣y3+xy2+2x2y+x3 ． 【分析】先分清各项，再根据多项式降幂排列的定义解答． 【解答】解：x3+xy2﹣y3+2x2y按y的降幂排列：﹣y3+xy2+2x2y+x3． 故答案为：﹣y3+xy2+2x2y+x3． 【点评】本题主要考查了多项式，掌握多项式的有关定义是解题关键． 18．（2025秋•镇平县期末）若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 　9　 ． 【分析】根据题意可得：m+2＝4，n+3＝0，从而可得：m＝2，n＝﹣3，然后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式， ∴m+2＝4，n+3＝0， 解得：m＝2，n＝﹣3， ∴nm＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． 19．（2026春•广陵区校级月考）若关于x的二次三项式（3x﹣2）（x+n）＝3x2+mx﹣6，则m的值是　7　 ． 【分析】根据多项式的乘法法则展开，对比两个结果得到3n﹣2＝m，﹣2n＝﹣6，即可求出答案． 【解答】解：∵（3x﹣2）（x+n） ＝3x2+3nx﹣2x﹣2n ＝3x2+（3n﹣2）x﹣2n， 又∵（3x﹣2）（x+n）＝3x2+mx﹣6， ∴， 解得． 故答案为：7． 【点评】本题考查了多项式，掌握多项式的定义是关键． 20．（2023秋•桦甸市校级月考）若多项式是关于x的二次三项式，则a的值为 　﹣3　 ． 【分析】首先根据二次三项式的定义得|a+1|＝2，a﹣1≠0，由此解出值即可． 【解答】解：由题意可得： |a+1|＝2，a﹣1≠0， 解得：a＝﹣3或1，a≠1， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】此题主要考查了多项式，熟练掌握二次三项式的定义是关键． 21．（2022秋•江油市期中）（1）（﹣5）+3×（﹣5）+（﹣2）； （2）把下列各式分别填在相应的大括号里：4，，，πR2﹣πr2，x2，2x﹣3，x2+yz． 单项式：{ 　4，x2 …}； 多项式：{ 　，πR2﹣πr2，2x﹣3，x2+yz．　 …}． 【分析】（1）根据有理数加法法则运算即可； （2）按照单项式和多项式的定义进行分类即可． 【解答】解：（1）（﹣5）+3×（﹣5）+（﹣2） ＝（﹣5）+（﹣15）+（﹣2） ＝﹣（5+15+2） ＝﹣22； （2）在下列代数式中4，，，πR2﹣πr2，x2，2x﹣3，x2+yz， 单项式有：4，x2， 多项式有：，πR2﹣πr2，2x﹣3，x2+yz． 故答案为：4，x2；，πR2﹣πr2，2x﹣3，x2+yz． 【点评】本题考查了多项式和单项式的概念，熟练掌握这些概念是解答本题的关键． 22．（2023秋•长沙期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式（a+2）x3+2x2+9x+5是关于x的二次多项式，一次项系数为c． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　1　 ，c＝　9　 ； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 　6　 ； （3）在数轴上剪下AC（从a到c）这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为2：2：5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？ 【分析】（1）根据有理数概念及多项式定义得出结论； （2）根据数轴上两点间距离及线段中点表示即可解决； （3）根据数轴上点的表示及线段中点定义即可求出． 【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，多项式（a+2）x3+2x2+9x+5是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴b＝1，a+2＝0，c＝9， 解得：a＝﹣2，b＝1，c＝9， 故答案为：﹣2，1，9； （2）∵将数轴折叠，使得点A与点C重合， ∴线段AC中点为， 设此时与点B重合表示的点表示的数是x， ∴， 解得：x＝6， 则此数为6， 故答案为：6； （3）∵线段AC＝9﹣（﹣2）＝11，这三条线段的长度之比为2：2：5， ∴， ∴这三条线段的长度分别为，，， 若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度也为时， 则折痕表示的数为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； 若剪下的从左到右第一条线段长为，第2条线段长度为， 则折痕表示的数为：； ∴折痕表示的数为或或， 故答案为：或或． 【点评】本题考查用数轴上的点表示有理数、数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会利用转化的思想思考问题． 【考点5】创新及压轴题（第23-26题） · 新定义类问题先读懂定义，再逐条检验或列式求解 · 数轴动点问题用含t的代数式表示各点位置，再求距离 · 将多项式系数与数轴点对应，建立方程求参数 · 绝对值化简注意分情况讨论，结合整式加减进行运算 23．（2025秋•婺城区校级期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：﹣3x3y4与﹣x4y3是“强同类项“． 【新知应用】 （1）给出下列四个单项式：①5x2y5，②﹣x5y5，③4x4y4；④﹣2x3y6，其中与x4y5是“强同类项”的是 　②③④　 ；（填写序号） （2）若x3y4zm﹣2与﹣2x2y3z6是“强同类项”，求m的值； （3）若C1为关于x，y的多项式，C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； （4）已知2a2bs，3atb4均为关于a，b的单项式，其中s＝|x﹣1|+k，t＝2k，如果2a2bs，3atb4是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【分析】（1）根据“强同类项”的概念，分析指数的差的绝对值不是0或1的进行判断即可； （2）根据“强同类项”的概念即可确定m的值； （3）根据“强同类项”的概念即可确定n的值； （4）根据“强同类项”的概念确定s，t的值，根据s＝|x﹣1|+k，t＝2k，确定x与s，k的关系，再判断出x最大，最小时s，k的取值，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵2﹣4＝﹣2，∴①5x2y5与x4y5不是“强同类项”， ∵5﹣4＝1，5﹣5＝0， ∴②﹣x5y5与x4y5是“强同类项”， ∵4﹣4＝0，4﹣5＝﹣1， ∴③4x4y4与x4y5是“强同类项”， ∵3﹣4＝﹣1，6﹣5＝1， ∴④﹣2x3y6与x4y5是“强同类项”， ∴②③④与x4y5是“强同类项”， 故答案为：②③④； （2）∵根据“强同类项”的定义，∴|m﹣2﹣6|＝0或1， 当m﹣8＝0时，m＝8， 当m﹣8＝1时，m＝9， 当m﹣8＝﹣1时，m＝7， ∴综合得m＝7，8，9； （3）∵C的任意两项都是“强同类项”，C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn， 当C的任意两项都是“强同类项”， 第一个单项式与第二个单项式满足强同类项， 当第一个单项式与第三个单项式是强同类项时，n＝5、6、7， 当第二个单项式与第三个单项式是强同类项时，n＝4、5、6， 当n＝5时，第一项没有了，第二项和第三项是同类项，此时C是单项式，不符合题意； ∴n＝6； （4）∵2a2bs，3atb4是“强同类项”， ∴s＝3、4、5，t＝1、2、3， ∵t＝2k， ∴k、1、， ∵s＝|x﹣1|+k， ∴|x﹣1|＝s﹣k， 当s取最大，k取最小值时，|x﹣1|取得最大值，此时x有最大值和最小值，即当s＝5，k时，|x﹣1|＝s﹣k＝5，解得x或， ∴x的最大值为，x的最小值为． 【点评】本题考查新定义，绝对值，单项式，理解新定义是解题的关键． 24．（2024秋•金凤区期末）已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． （1）填空：a＝ 　﹣10　 ，b＝ 　20　 ． （2）若数轴上有一点C，点C到点A的距离（记作AC）是点C到点B的距离（记作BC）的2倍，即AC＝2BC，求点C在数轴上对应的数n的值． 【分析】（1）由题意直接求解即可； （2）注意分情况讨论，当点C在AB之间时，当点C在B右侧时，分别计算AC的长，可得结论． 【解答】解：（1）∵多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式， ∴a+10＝0， ∴a＝﹣10， 由条件可知：b＝20， 故答案为：﹣10，20； （2）分两种情况： 当点C在AB之间时，如图， ∵AC＝2BC，AB＝30， ∴AC＝20， ∴n＝﹣10+20＝10； 当点C在B右侧时，如图， ∵AC＝2BC，AB＝30， ∴AC＝60， ∴n＝﹣10+60＝50， 综上可知，点C在数轴上对应的数n的值为10或50． 【点评】本题考查多项式和数轴，多项式的概念，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． 25．（2024秋•蒲城县期末）已知代数式2xmy2﹣（n﹣3）x+1是关于x、y的三次二项式，求m2+n的值． 【分析】根据题意，由三次二项式的定义得出m+2＝3，n﹣3＝0，然后解得m，n，即可求得答案． 【解答】解：由题意可知：m+2＝3，n﹣3＝0， 解得m＝1，n＝3． ∴m2+n＝12+3＝4． 【点评】此题主要考查学生对多项式的理解和掌握，要求学生对多项式的概念有正确深入的理解． 26．（2025秋•合肥期中）如图是某手机的摄像头的大致图象，在长为a，宽为b的长方形中，三个半径为r的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． （1）求阴影部分的面积（用含a，b，r的代数式表示）； （2）若x6ybzr与xay3z是同类项，求阴影部分的面积（π≈3）． 【分析】（1）用长方形的面积减去4个圆的面积，列出代数式即可； （2）根据同类项的定义，求出a，b，r的值，代入（1）中的代数式求值即可． 【解答】解：（1）用长方形的面积减去4个圆的面积可得： 阴影部分的面积为； （2）由条件可知a＝6，b＝3，r＝1， ∴阴影部分的面积为． 【点评】本题考查列代数式，代数式求值，同类项，正确的列出代数式，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•青浦区校级期末）下列各组中是同类项的是（　　） A．2xy2x与2x2y B．与x C．﹣5x2y2与5x2y2 D．5m2n与2mn2 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是正确理解同类项的定义，本题属于基础题型． 【练习 2】（2025秋•盘龙区期末）下列说法正确的是（　　） A．多项式2n﹣10的常数项是10 B．单项式﹣4a2b3c的次数是5 C．单项式的系数是 D．多项式x2+2x+8是二次二项式 【分析】根据单项式的系数、次数的定义，多项式的项、次数的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、多项式 2n﹣10 的常数项是﹣10，故此选项不符合题意； B、单项式﹣4a2b3c 的次数是 2+3+1＝6，故此选项不符合题意； C、单项式 的系数是 ，故此选项符合题意； D、多项式 x2+2x+8 有三项，是二次三项式，故此选项不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查单项式和多项式的基本概念，包括常数项、次数、系数和项数，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【练习 3】（2023秋•淅川县月考）已知（a﹣3）x2y|a|+（b+3）是关于x，y的五次单项式，求a2﹣3ab的值． 【分析】根据已知条件列出关于a，b的等式和不等式，求出a，b，再把a，b的值代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：∵（a﹣3）x2y|a|+（b+3）是关于x，y的五次单项式， ∴， 由①得：a＝±3， 由②得：a≠3， 由③得：b＝﹣3， ∴a＝b＝﹣3， ∴a2﹣3ab ＝（﹣3）2﹣3×（﹣3）×（﹣3） ＝9﹣27 ＝﹣18． 【点评】本题主要考查了单项式和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握单项式的定义和绝对值的性质． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记单项式、多项式、整式的定义，判断时抓住“分母是否含字母”这一关键 · 求系数与次数时注意符号与字母指数，常数项的次数为0 · 同类项判断紧扣“字母相同、相同字母的指数相同”两个条件 · 含参数问题转化为方程（组），注意二次三项式等结构限制条件 · 数轴综合题用代数式表示动点位置，结合绝对值与整式运算化简 【作业 1】（2023秋•盂县期中）已知多项式2x|k|+（2﹣k）x﹣3是关于x的二次三项式，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 【分析】根据多项式的意义可得：|k|＝2且2﹣k≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵多项式2x|k|+（2﹣k）x﹣3是关于x的二次三项式， ∴|k|＝2且2﹣k≠0， 解得：k＝±2且k≠2， ∴k＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查了多项式，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•衡水期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式3ab的次数是1 B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是5 C．单项式的系数是 D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式 【分析】单项式的次数是各字母次数之和，多项式次数要找所组成的单项式中次数最高的那一项．根据定义逐项判断即可． 【解答】解：A．单项式3ab的次数是2，说法错误，不符合题意； B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是﹣5，说法错误，不符合题意； C．单项式的系数是，说法错误，不符合题意； D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式，说法正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查单项式和多项式的次数与系数，明确概念是解题关键． 【作业 3】（2024秋•衡东县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．单项式πxy2的系数是1 B．单项式23xy2的次数为6 C．多项式2x2﹣8x+3是二次三项式 D．2a2bc与﹣5ab2c是同类项 【分析】根据单项式的系数与次数的定义、多项式的次数的定义、同类项的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A、单项式的系数是π，则此项错误，不符合题意； B、单项式的次数为1+2＝3，则此项错误，不符合题意； C、多项式是二次三项式，则此项正确，符合题意； D、2a2bc与﹣5ab2c所含字母相同，但字母a，b的指数都不相等，则它们不是同类项，此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了单项式的系数与次数“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”、多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”、同类项“如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项”，熟记单项式的系数与次数的定义、多项式的次数的定义、同类项的定义是解题关键． 【作业 4】（2025•二道区校级模拟）多项式3a4﹣2πa2b+ab3的三次项系数是　﹣2π　 ． 【分析】根据所有字母指数之和为3的项即为三次项，据此找到三次项，从而可得其系数． 【解答】解：由多项式得三次项为﹣2πa2b， ∴三次项系数是﹣2π， 故答案为：﹣2π； 【点评】本题主要考查了多项式项和次数的定义，掌握三次项的概念是解题的关键． 【作业 5】（2023秋•如东县期中）多项式2x2﹣4x+1的次数是 　二次　 ． 【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，由此即可得到答案． 【解答】解：多项式2x2﹣4x+1的次数是二次． 故答案为：二次． 【点评】本题考查多项式，关键是掌握多项式次数的定义． 【作业 6】代数式是 　五　 次 　三　 项式，常数项是 　　 ，三次项是 　　 ，按x的降幂排列是 　x3y2x2y3　 ． 【分析】根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案；根据x的次数由高到低，可得答案． 【解答】解：多项式是五次三项式，常数项是，三次项是， 把多项式按x的降幂排列为：x3y2x2y3． 故答案为：五，三，，，x3y2x2y3． 【点评】本题考查了多项式，利用了多项式的项与次数，把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 【作业 7】（2025秋•郓城县期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式﹣3x2﹣4x+1的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． （1）由题意可得：a＝　﹣3　 ，b＝　1　 ，c＝　8　 ． （2）点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当t＝2时，分别求AC、AB的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，5AB﹣2AC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出5AB﹣2AC的值． 【分析】（1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）①根据题意得AC＝t+4t+11＝5t+11，AB＝t+2t+4＝3t+4，再代入t＝2即可求解； ②根据AC＝5t+11，AB＝3t+4，表示出5AB﹣2AC，再根据整式加减求解即可． 【解答】（1）多项式的二次项系数是﹣3，则a＝﹣3， 数轴上最小的正整数是1，则b＝1， 单项式的次数为8，则c＝8， 故答案为：﹣3，1，8； （2）①∵AC＝t+4t+11＝5t+11，AB＝t+2t+4＝3t+4， ∴当t＝2时，AC＝5t+11＝21，AB＝3t+4＝10； ②改变，理由如下： ∵AB＝t+2t+4＝3t+4，AC＝t+4t+11＝5t+11， ∴5AB﹣2AC＝5（3t+4）﹣2（5t+11）＝5t﹣2． ∴5AB﹣2AC的值随着时间t的变化而改变． 【点评】本题考查了数轴，有理数的运算，线段的和差，整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 8】（2025秋•烟台期末）已知多项式3x3y2﹣2xm+1y1﹣n+5x2y3中存在同类项，请求出m，n的值，并计算m2+n3的值． 【分析】分两种情况：当3x3y2与﹣2xm+1y1﹣n是同类项时；当﹣2xm+1y1﹣n与5x2y3是同类项时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当3x3y2与﹣2xm+1y1﹣n是同类项时，则m+1＝3，1﹣n＝2， 解得：m＝2，n＝﹣1， ∴m2+n3＝22+（﹣1）3＝4+（﹣1）＝3； 当﹣2xm+1y1﹣n与5x2y3是同类项时，则m+1＝2，1﹣n＝3， 解得：m＝1，n＝﹣2， ∴m2+n3＝12+（﹣2）3＝1+（﹣8）＝﹣7； 综上所述：m2+n3的值为3或﹣7． 【点评】本题考查了同类项，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【作业 9】（2022秋•濉溪县校级期中）在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式﹣x2﹣8x+5的二次项系数，b是绝对值最小的数，c是单项式﹣3xy2的次数． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　﹣1　 ，b＝　0　 ，c＝　3　 ． （2）在数轴上把点A，B，C表示出来． 【分析】（1）由多项式的二次项为﹣x2，可得a的值，由绝对值最小的数是0，可得b的值，由单项式的次数可得c的值，从而可得答案； （2）根据（1）的结果在数轴上分别表示A，B，C即可． 【解答】解：（1）∵a是多项式﹣x2﹣8x+5的二次项系数，b是绝对值最小的数，c是单项式﹣3xy2的次数． ∴a＝﹣1，b＝0，c＝3； 故答案为：﹣1，0，3； （2）将点A，B，C在数轴上表示如下： 【点评】本题考查的是利用数轴表示有理数，多项式的各项的系数，单项式的次数，绝对值的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【作业 10】（2024秋•榆林期中）已知多项式﹣x2y+2xy﹣y+5的次数为a，常数项为b，c是单项式﹣5x2y2的次数，求的值． 【分析】根据多项式的定义求出a，b，c，再代入代数式中进行计算求解． 【解答】解：由条件可知a＝3，b＝5． 因为c是单项式﹣5x2y2的次数， 所以c＝4． 所以原式 ＝9﹣5﹣8 ＝﹣4． 【点评】本题考查了多项式的定义，代数式求值，理解多项式的定义是解答关键． 【作业 11】（2024秋•遵义期中）【问题提出】 已知a是单项式﹣2xy2的系数，b是非正非负的整数，c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． （1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C的位置； 【问题探究】 （2）若点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x，请化简式子|x+2|﹣|x﹣1|+|x﹣6|； 【问题解决】 （3）若点M从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点N从点B处以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点C处以每秒5个单位长度的速度向右运动，则点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化．请说明理由；若不变，请求其值． 【分析】（1）根据单项式系数、特殊整数以及多项式次数的定义来求出a，b，c的值并表示在数轴上即可得解； （2）根据点P的位置确定绝对值内式子的正负性，从而去掉绝对值进行化简即可得解； （3）先求出在运动时间t时各点表示的数，再分别求出两点间的距离，最后求距离的差值并判断是否与t有关即可得解． 【解答】解：（1）由条件可知a＝﹣2，b＝0， ∵c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数， ∴c＝6， ∴点A，B，C的位置如图所示： （2）∵点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x， ∴x+2＞0，x﹣1＜0，x﹣6＜0， ∴原式＝x+2+x﹣1﹣x+6＝x+7； （3）根据题意得： 当运动时间为t秒时，点M表示的数为﹣2﹣t，点N表示的数为2t，点Q表示的数为6+5t， ∴点Q，N之间的距离为6+5t﹣2t＝6+3t，点M，N之间的距离为2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2， ∴点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差为6+3t﹣（3t+2）＝4， ∴点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值不随着运动时间t的变化而变化，该值为4． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，整式，数轴上两点之间的距离及动点问题等知识点，正确分析题目中的等量关系，列出代数式和方程是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 整式及其性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解单项式的概念，能准确说出单项式的系数与次数 · 掌握同类项的定义，能正确判断两个单项式是否为同类项 · 理解整式与多项式的概念，能区分单项式、多项式与分式 · 能对多项式进行降幂排列，确定多项式的项、次数与常数项 · 会利用单项式、多项式的概念解决含参问题与数轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 单项式中的数字因数叫做系数，系数包括它前面的符号，如-3x2y的系数是-3 单项式的次数是所有字母的指数的和，如单项式x2y3的次数是5 分母中含有字母的代数式不是单项式，如不是单项式 概念辨析例题：判断代数式1-a，，0，，，3(m2n+1)中单项式的个数 解析：数与字母的乘积形式是单项式，单独的数或字母也是单项式；分母中含字母的不是单项式，1-a与3(m2n+1)是多项式 ☆ 2.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 几个常数项也是同类项 同类项与系数的大小和字母的排列顺序无关 判断同类项的两个条件：字母相同、相同字母的指数相同，缺一不可 概念辨析例题：若2xmy3与-3xyn是同类项，求m+n的值 解析：由同类项的定义可知相同字母的指数相同：x的指数m=1，y的指数n=3，故m+n=1+3=4 ☆ 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项 不含字母的项叫做常数项 多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 把多项式各项按某个字母的指数从大到小排列，叫做按该字母的降幂排列 概念辨析例题：多项式ab-3ab2-4中，最高次项是什么？ 解析：各项次数分别为2、3、0，其中次数最高的是-3ab2，次数为3 ☆ 4.整式 单项式和多项式统称为整式 整式可以进行加、减、乘、除运算，但除式中不能含有字母 判断代数式是否为整式：分母不含字母、不含等号或不等号 整式与分式的区别在于分式的分母中含有字母 概念辨析例题：下列各式a2-5，0，3x+2y，，中，整式有几个？ 解析：a2-5、0、3x+2y、符合整式定义；的分母中含有字母，不是整式 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 单项式 由数与字母的乘积组成，单独的数或字母也是单项式 系数含符号，次数是字母指数和 系数 单项式中的数字因数 包括它前面的符号 次数 单项式中所有字母的指数的和 只计字母指数，不计数字因数 同类项 字母相同且相同字母的指数也相同的项 与系数大小、字母顺序无关 多项式 几个单项式的和 次数取最高次项的次数，常数项不含字母 整式 单项式与多项式的统称 除式（分母）中不能含有字母 ⚠️ 核心考点 【考点1】单项式（第1-4题） · 判断单项式看形式：数与字母乘积，分母不含字母；单独的数或字母也是单项式 · 求系数看数字因数（带符号），求次数数字母指数之和 · 规律型单项式先找系数与指数的变化规律，再写出第n个式子 · 系数含π等常数时按数字因数处理，如πxy2的系数是π 1．（2025秋•北碚区校级月考）代数式1﹣a，，0，，3（m2n+1），，，中，单项式的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（2025秋•蕲春县期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 3．（2026•周口一模）按照一定规律排列的式子：，，，，第9个式子为____________________ ． 4．（2026•长葛市模拟）按照一定规律排列的式子：，…，第6个式子是____________________ ． 【考点2】同类项（第5-9题） · 同类项的两个条件：字母相同、相同字母的指数相同，缺一不可 · 由同类项建立方程（组）求指数中的字母，再代入求值 · 两个单项式的和仍是单项式，等价于这两个单项式是同类项 · 判断含新定义的式子时逐项检验字母与指数是否分别相同 5．（2026•永川区校级模拟）若2xmy3与﹣3xyn是同类项，则m+n的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025秋•长沙期末）已知﹣3am﹣1b3与是同类项，那么m，n的值分别是（　　） A．m＝2，n＝1 B．m＝﹣2，n＝﹣1 C．m＝﹣2，n＝1 D．m＝2，n＝﹣1 7．（2025秋•市南区校级期末）若4xmy3与﹣3x2yn是同类项，则mn＝_____ ． 8．（2024秋•武昌区期中）有下列说法： ①若单项式3x2ym+1与﹣2xny5是同类项，则（﹣m）n＝16； ②已知a，b，c是不为0的有理数且abc＞0，bc＞0，则的值为0； ③已知有理数a，b满足ab≠0．且|a﹣b|＝4a﹣3b，则的值为； ④如果定义，当ab＜0，a+b＜0，|a|＞|b|时，{a，b}的值为b﹣a．其中正确的说法是 _______ .（请填写序号） 9．（2025秋•顺义区期末）若单项式amb3与单项式的和仍是单项式，求m﹣2n的值． 【考点3】整式（第10-13题） · 判断整式：分母不含字母、不含等号或不等号 · 含分数系数的项（如x2）仍是整式，分母含字母才是分式 · 由积的形式求未知整式时，用除法或乘法关系转化为整式运算 · 确定整式次数时先找到次数最高的项，再读其次数 10．（2025秋•嘉荫县期末）下列各式：a2﹣5，0，3x+2y，，，其中整式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．（2024春•蚌埠期中）若×4x2y2＝﹣12x2y3+16x3y2，则代表的整式是（　　） A．3y+4x B．3y﹣4x C．﹣3y+4x D．﹣3y﹣4x 12．（2024•海州区校级开学）在代数式3x2y，，27﹣a，113x中，不属于整式的是 __________________ ． 13．（2024秋•同步）判断下列整式的次数： （1）4c5﹣3c2+1； （2）x4﹣x2y+x2y3﹣y3． 【考点4】多项式（第14-22题） · 多项式的次数=最高次项的次数，常数项的次数为0 · 二次三项式需同时满足：最高次数为2、恰好三项、各项系数满足限制 · 含参多项式先由次数或项数建立方程（组），注意系数不能为0的条件 · 降幂排列按指定字母的指数从大到小重新排列各项，符号随项移动 14．（2025秋•衡阳县期末）下列关于多项式ab﹣3ab2﹣4的说法中，正确的是（　　） A．次数是5 B．二次项系数是﹣3 C．最高次项是﹣3ab2 D．常数项是4 15．（2026•浙江模拟）对于多项式a2b+ab+3，这个多项式的次数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（2025秋•邹城市期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式ab2的系数是0 B．单项式2x3y2z的次数是5 C．多项式x2y+2xy2﹣1的常数项为1 D．多项式3m2n5﹣5mn2+1的次数是7 17．（2026春•青浦区校级期末）将代数式x3+xy2﹣y3+2x2y按y的降幂排列为：____________________ ． 18．（2025秋•镇平县期末）若多项式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是关于x、y的四次三项式，则nm的值为 _____ ． 19．（2026春•广陵区校级月考）若关于x的二次三项式（3x﹣2）（x+n）＝3x2+mx﹣6，则m的值是_____ ． 20．（2023秋•桦甸市校级月考）若多项式是关于x的二次三项式，则a的值为 _______ ． 21．（2022秋•江油市期中）（1）（﹣5）+3×（﹣5）+（﹣2）； （2）把下列各式分别填在相应的大括号里：4，，，πR2﹣πr2，x2，2x﹣3，x2+yz． 单项式：{ ____________________ …}； 多项式：{ ____________________ …}． 22．（2023秋•长沙期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最小的正整数，且多项式（a+2）x3+2x2+9x+5是关于x的二次多项式，一次项系数为c． （1）a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_____ ； （2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与某数表示的点重合，则此数为 _____ ； （3）在数轴上剪下AC（从a到c）这条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为2：2：5，则折痕处对应的点在数轴上所表示的数可能是多少？ 【考点5】创新及压轴题（第23-26题） · 新定义类问题先读懂定义，再逐条检验或列式求解 · 数轴动点问题用含t的代数式表示各点位置，再求距离 · 将多项式系数与数轴点对应，建立方程求参数 · 绝对值化简注意分情况讨论，结合整式加减进行运算 23．（2025秋•婺城区校级期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：﹣3x3y4与﹣x4y3是“强同类项“． 【新知应用】 （1）给出下列四个单项式：①5x2y5，②﹣x5y5，③4x4y4；④﹣2x3y6，其中与x4y5是“强同类项”的是 ________ ；（填写序号） （2）若x3y4zm﹣2与﹣2x2y3z6是“强同类项”，求m的值； （3）若C1为关于x，y的多项式，C＝（n﹣5）x5y6+3x4y5﹣7x4yn，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； （4）已知2a2bs，3atb4均为关于a，b的单项式，其中s＝|x﹣1|+k，t＝2k，如果2a2bs，3atb4是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 24．（2024秋•金凤区期末）已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上A，B两点对应的数分别为a，b． （1）填空：a＝ ________ ，b＝ _______ ． （2）若数轴上有一点C，点C到点A的距离（记作AC）是点C到点B的距离（记作BC）的2倍，即AC＝2BC，求点C在数轴上对应的数n的值． 25．（2024秋•蒲城县期末）已知代数式2xmy2﹣（n﹣3）x+1是关于x、y的三次二项式，求m2+n的值． 26．（2025秋•合肥期中）如图是某手机的摄像头的大致图象，在长为a，宽为b的长方形中，三个半径为r的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． （1）求阴影部分的面积（用含a，b，r的代数式表示）； （2）若x6ybzr与xay3z是同类项，求阴影部分的面积（π≈3）． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•青浦区校级期末）下列各组中是同类项的是（　　） A．2xy2x与2x2y B．与x C．﹣5x2y2与5x2y2 D．5m2n与2mn2 【练习 2】（2025秋•盘龙区期末）下列说法正确的是（　　） A．多项式2n﹣10的常数项是10 B．单项式﹣4a2b3c的次数是5 C．单项式的系数是 D．多项式x2+2x+8是二次二项式 【练习 3】（2023秋•淅川县月考）已知（a﹣3）x2y|a|+（b+3）是关于x，y的五次单项式，求a2﹣3ab的值． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记单项式、多项式、整式的定义，判断时抓住“分母是否含字母”这一关键 · 求系数与次数时注意符号与字母指数，常数项的次数为0 · 同类项判断紧扣“字母相同、相同字母的指数相同”两个条件 · 含参数问题转化为方程（组），注意二次三项式等结构限制条件 · 数轴综合题用代数式表示动点位置，结合绝对值与整式运算化简 【作业 1】（2023秋•盂县期中）已知多项式2x|k|+（2﹣k）x﹣3是关于x的二次三项式，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．无法确定 【作业 2】（2025秋•衡水期末）下列说法正确的是（　　） A．单项式3ab的次数是1 B．多项式﹣4a2b+3ab﹣5的常数项是5 C．单项式的系数是 D．3a﹣2a2b﹣1是三次三项式 【作业 3】（2024秋•衡东县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．单项式πxy2的系数是1 B．单项式23xy2的次数为6 C．多项式2x2﹣8x+3是二次三项式 D．2a2bc与﹣5ab2c是同类项 【作业 4】（2025•二道区校级模拟）多项式3a4﹣2πa2b+ab3的三次项系数是________ ． 【作业 5】（2023秋•如东县期中）多项式2x2﹣4x+1的次数是 _______ ． 【作业 6】代数式是 _____ 次 _____ 项式，常数项是 __________________ ，三次项是 ____________________ ，按x的降幂排列是 ____________________ ． 【作业 7】（2025秋•郓城县期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式﹣3x2﹣4x+1的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． （1）由题意可得：a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_____ ． （2）点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当t＝2时，分别求AC、AB的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，5AB﹣2AC的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出5AB﹣2AC的值． 【作业 8】（2025秋•烟台期末）已知多项式3x3y2﹣2xm+1y1﹣n+5x2y3中存在同类项，请求出m，n的值，并计算m2+n3的值． 【作业 9】（2022秋•濉溪县校级期中）在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式﹣x2﹣8x+5的二次项系数，b是绝对值最小的数，c是单项式﹣3xy2的次数． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝_______ ，b＝_____ ，c＝_____ ． （2）在数轴上把点A，B，C表示出来． 【作业 10】（2024秋•榆林期中）已知多项式﹣x2y+2xy﹣y+5的次数为a，常数项为b，c是单项式﹣5x2y2的次数，求的值． 【作业 11】（2024秋•遵义期中）【问题提出】 已知a是单项式﹣2xy2的系数，b是非正非负的整数，c是多项式﹣m4n2+m﹣4的次数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． （1）求a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C的位置； 【问题探究】 （2）若点P为点A和点B之间的一个动点，其对应的有理数为x，请化简式子|x+2|﹣|x﹣1|+|x﹣6|； 【问题解决】 （3）若点M从点A处以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点N从点B处以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q从点C处以每秒5个单位长度的速度向右运动，则点Q，N之间的距离与点M，N之间的距离的差值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化．请说明理由；若不变，请求其值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $