第一次月考复习冲刺讲义（综合篇）（第10章+第11章）-2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义（沪教版必修第三册）

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺讲义（综合篇） 题型01：填空题精选精练 1. 以下说法错误的是__________. ①空间中三点确定一个平面 ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面 ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 【答案】①②③④ 【分析】利用空间中点、线、面的位置关系及相关性质、公理、定理推论逐项分析即可. 【详解】①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误； ②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误； ③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误； ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补. 故错误； 故答案为：①②③④. 2.如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．则该三角形原来的面积是____． 【答案】 【分析】根据斜二测法中原图与直观图面积的数量关系，即可求原来面积. 【详解】由题设，正三角形在轴上的底与原图一样为2， 而正三角形的高是原图高的并倾斜45°后得到，有，即， 若原来面积为，则. 3.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 【答案】 【分析】由面面平行的性质定理得到，再利用相似比求AB的长度. 【详解】因为平面平面，由面面平行的性质定理得， 所以，所以，即，解得， 故答案为：. 4. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】根据母线与底面所成角得到，利用体积构造方程求得，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式求得结果. 【详解】母线与底面所成角为 圆锥的高与底面半径的关系为： 圆锥体积，解得： 圆锥母线长： 圆锥侧面积： 故答案为 【点睛】本题考查圆锥侧面积的求解，涉及到圆锥体积公式的应用，属于基础题. 5.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】根据的面积求出的半径，根据正弦定理求出，根据勾股定理求出球的半径，根据球的表面积公式可得结果. 【详解】因为的面积为，所以的半径为2，直径为4， 所以， 所以球的半径为， 所以球的表面积为. 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，属于基础题. 6.如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【详解】正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面， 由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是__________. 【答案】3 【解析】对于①中，因为二面角为直二面角，可得平面平面， 又因为平面平面，，且平面， 所以平面， 所以①正确； 对于②中，由平面，且平面，可得， 又因为，且，平面， 所以平面，所以②正确； 对于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正确； 对于④，中，因为平面，且平面，可得平面平面， 若平面平面，且平面平面，可得平面， 又因为平面，所以， 因为与不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D错误. 8.如图，空间中两个有一条公共边的正方形和．设分别是和的中点，那么以下4个命题中正确的是 ． ①；②//平面；③//；④异面． 【答案】①②③ 【解析】取的中点，连接,如下所示： 对①：显然，， 又，所以． 又，面，所以面． 又面，所以，所以①正确． 对②由①知，面面，故//面； //，面面，故//面； 又面，故面面． 又面，所以//平面．所以②正确． 对③：因为过点，在三角形中为中点．所以//，所以③正确． ④错． 故答案为：①②③． 9. 已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论是________ 【答案】① ② 【解析】 对于①：如图1，连接，交于点F，连接DF，则点F是的中点，又D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以直线平面，所以①正确. 对于②：如图2，取BC的中点F，连接DF，，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面，故②正确. 对于③：如图3，取BC的中点F，连接DF，因为D是AB的中点，所以，且，又，，所以，，连接EF，所以四边形是平行四边形，所以，显然EF与平面相交，则与平面相交，故③错误. 对于④：如图4，连接，交EC于点F，连接DF，则平面平面，若直线平面CDE，则，由于D是AB的中点，所以点F是的中点，而显然点F不是的中点，矛盾，故④错误. 10.如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角__________. 【答案】 【分析】分别取中点，易证得四边形和均平行四边形，根据平行关系可知所求角为或其补角，利用余弦定理可求得结果. 【详解】分别取中点，连接， 三棱柱为正三棱柱，为等边三角形， 设， ，，，， 四边形和均为平行四边形， ，，（或其补角）即为直线与所成角； ，， 又，， ，即直线与所成角大小为. 故答案为：. 11.已知正四面体的棱长为2. 用平行于底面的平面截这个棱锥，得到一个小棱锥和一个棱台.若截面与底面之间的距离为，则棱台的体积为________. 【答案】## 【详解】如图，过点作⊥平面于点，交平面于点， 则分别为的重心，延长交于点，则为的中点， 则⊥平面，连接，则∽， 因为正四面体的棱长为2，所以，， 故， 由题意知，故， 由得，，解得， 因为也是正四面体，所以， 故，， 故棱台的体积为. 故答案： 12.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________. 【答案】 【分析】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，则，，由此即可求出. 【详解】设三棱柱的高为，则三棱锥的高为， 由题意知： ， ， 故答案为：. 13.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为_______    【答案】 【解析】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角； 又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 题型02：选择题精选精练 14.下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 【答案】D 【分析】以正方体为载体，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解. 【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误； 在B中，在正方体中，AB、DC、三条直线互相平行，但不共面， 故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误； 在C中，在正方体中，两两相交的三条直线AB、AD、不共面， 故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误； 在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.      故选：D. 15.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可. 【详解】A：若，则、可能平行或相交，故A错； B：若，则或，故B错； C：若，则或，故C错； D：若，则存在直线，使得， 又，所以，所以.故D对. 故选：D 16.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】应用面面平行性质判断A，应用线面平行性质定理判断B，应用面面平行判断C，D. 【详解】若，则或异面，故A错误； 若，由线面平行性质定理可知，故B正确； 若，当时，可以相交，故C错误； 若，当时，可以相交，故D错误. 故选：B. 17.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于②，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断；对于③，根据棱柱与棱锥的表面积公式结合已知条件分析判断；对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断. 【详解】对于①，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误； 对于②，如图，由题意可知平面，平面，则， 因为平面，平面，则， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以②正确； 对于③，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的表面积， ， 阳马的表面积， ， 由于 ， 所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误； 对于④，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以堑堵的体积，鳖臑的体积， 所以堑堵的体积是鳖臑的体积的三倍，所以④错误. 故选：B    18.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( ) ①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质可证明平面ABD，从而可判断①；证明平面ACD可判断②③． 【详解】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD, ∴平面ABD，又∵CD平面ACD， ∴平面平面ABD，故①正确； ∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD， ∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确； ∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确； 故选：D 19.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 【答案】D 【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则， 取的中点，连接，如图，点G为MC的中点， 则，且，于是四边形是平行四边形， ，在正方形中，，则， 因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点， 有，所以，A正确； 因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 而平面，所以平面平面ABN，B正确； 取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形， 因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误； 显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确. 故选：D 【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 20.如图，正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（    ） A． 平面 B．平面 C．异面直线与BD所成的角为60° D．三棱锥的体积为 【答案】D 【分析】对A：借助正方体的性质可得，结合线面平行的判定定理即可得；对B：借助线面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用线面垂直的性质定理可得，，进而可得，，即可得证；对C：借助等角定理可得等于异面直线与BD所成的角，计算出即可得解；对D：借助体积公式计算即可得. 【详解】对A：在正方体中，， 又平面，平面，所以平面，故A项正确； 对B：连接，，在正方体中，，， 平面，平面，因为平面， 平面，所以，， 又，平面，平面， 所以平面，因此，同理，， 又，平面，平面， 所以平面，故B项正确； 对C：因为，所以等于异面直线与BD所成的角， 又，即为等边三角形， 所以异面直线与BD所成的角为60°，故C项正确； 对D：三棱锥的体积 ，故D项不正确. 故选：D. 题型03：填空选择压轴精练 21. 已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围______． 【答案】 【分析】先借助于面面平行判断出G的位置，然后求出线段的取值范围. 【详解】 分别取线段，的中点，，连接，，， 连结,由三角形中位线定理得： 又∵面A1PQ, 面A1PQ，∴面A1PQ 同理可证：面A1PQ 又,∴面AEF面A1PQ 故点在线段上运动（含端点位置）， 当G与P（或Q）重合时，； 当G在PQ中点R时，. 故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：立体几何中的动态问题： ①几何法：根据图形特征，寻找两点之间的距离的范围；②坐标法：建立空间直角坐标系，利用坐标求范围. 22. 正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是 . 【答案】/ 【解析】连接如图所示线段，其中为中点， 由正方体棱长为2， 则，则， ，有， 故，又，且、平面， ，故平面， 又平面，故， 又平面，平面， 故，又、平面，， 故平面，又为中点，故， 故平面，故平面， 故，连接点与中点， 则有、、、， 又， 故与全等，则有， 故， 即，即点在线段上， 故当时，有最小值， 此时有， 即， 即最小值为. 故答案为：. 23. 如图，一个底面半径都为b，高都为a(a>b)的半椭球（左侧图）和一个圆柱中切去圆锥形成的几何体（右侧图）（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心），将他们放置在同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，其中，=______．图中圆柱体（右侧）的底面半径b为1，高a为6，则该半椭球体（左侧图）的体积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】画出圆锥的截面图，由可求出；再利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论． 【详解】画出圆锥的截面图，如下图所示， 易知，，由可得： ，即，则， 所以， 根据题意，， 所以半椭球体的体积为， 由题意知：，， 所以半椭球体的体积为：． 故答案为：；． 24. 在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（ ） A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与都有关 D. 与都无关 【答案】D 【分析】根据得出平面，所以点到平面的距离也即到平面的距离，得到点到平面的距离为定值，而底面的面积也是定值，并补随的变化而变化，进而得到答案. 【详解】因为为正方体，所以 因为平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离也即到平面的距离，也即点到平面的距离不随的变化而变化，设点到平面的距离为，过点作，根据正方体的特征可知：平面，因为平面，所以，，所以平面，则有， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以点到的距离也即到的距离，且距离为1，所以（定值）， 所以（定值）， 则三棱锥的体积不随与的变化而变化，也即与与都无关. 故选：. 25. 如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 【答案】B 【分析】取特例判断ACD，利用反证法判断B后可得正确的选项. 【详解】对于AD，取为中点，，则，而， 故，故在几何体中，， 而，故为二面角的平面角，故， 故，而平面， 故平面，而平面，故，故A成立. 因，，平面， 故平面，而平面，故，故D成立. 对于C，过作，为垂足，取，同理可证平面， 而平面，故，故C成立. 对于B，过作平面，垂足为， 因为平面，故， 若，因为平面， 故平面，而平面，故， 而，故在上， 因为，平面，故平面， 而平面，故，故，但， 矛盾，故不成立即B不成立， 故选：B. 26.如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】①找到一个的充要条件，并确定一个面与垂直，判断这种面的个数；②利用正三角形的性质，将问题化为判断是否存在，再设参并列方程求参判断是否满足范围. 【详解】点在平面上的射影的轨迹为线段， 所以平面，平面，所以， 则的一个充要条件， 当射影位于线段上的任意位置时，过作垂线，垂足为，则， 由且都在面上，则面，而面， 所以，于是这样的直线不唯一，①为假； 由，，由上知， 又，要使为正三角形，只需即可， 若，则，，且， 所以， 令，则， 可得（负值舍）， 而，只需比较，大小， 将它们平方有，， 进而比较，大小， 将它们平方有，， 显然，即， 则， 所以， 即， 综上，，即所求，满足要求， 故存在点M、N，使为等边三角形，②为真； 故选：D 【点睛】关键点点睛：①点在平面上的射影，关键是构造一个平面与垂直，进而判断这样的平面个数；②将正三角形的三边关系转化为，再设且，并用表示，利用等量关系求参数并判断是否在给定范围内即可. 题型04：空间几何体表面积与体积的计算 27.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值. 【详解】（1）如图：圆锥的母线； ； （2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则. ，即， 解得，其中； 所以， 当时，. 28. 如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用球、圆锥的体积公式计算即可求解； （2）利用圆锥，球体的表面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 该平面图形绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体为一个圆锥挖去了半个球体， 圆锥的底面半径为，高为，球体的半径为， 所以圆锥的体积为，半球体的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 因为，所以， 圆锥的表面积为， 半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为， 所以该几何体的表面积为. 29.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）先由题意求出棱柱底面圆的半径，进而由圆柱体积求出棱柱的高h，再结合柱体体积公式用棱柱体积减去圆柱体积即可得解. （2）根据几何体的特征确定表面的组成部分即可求解. 【小问1详解】 因为直三棱柱底面是边长为的正三角形， 所以底面圆的半径为， 设圆柱高为，则圆柱体积为，解得， 所以剩余几何体的体积为. 【小问2详解】 剩余部分几何体的表面积为 . 30.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【详解】（1）该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （7分） （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. 题型05：空间中平行与垂直关系的证明 31.如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点； （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； （1）证明：因为分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以直线平面； （2）证明：因为平面平面，平面平面，， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以直线平面； 32.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． （1）求证：； （2）设是的中点，求证：平面． 【答案】（1） 证明：因为底面为菱形，，且为的中点，所以． 又，所以． 又底面底面，所以． 因为平面平面，所以平面， 平面，所以． （2） 证明：取的中点，连接， 是中点，，， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又平面平面， 平面平面， 平面，平面． 33.如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形等比例性质，根据线面平行的判定推理即得. （2）连接，根据给定条件，根据勾股定理及余弦定理求得，根据面面垂直性质定理平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为、分别为线段、上的点，且， 所以，又平面，平面，所以平面. （2）因为，所以， 所以，，连接，又， 所以，所以，又， 所以，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. 题型06：空间中距离与角度的计算 34.如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1)4；(2). 【分析】（1）利用等体积法求出三棱锥的体积. （2）作出母线，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，平面，由，得， 所以三棱锥的体积. （2）过点作圆柱的母线，连接， 则，于是四边形为平行四边形，， 因此是异面直线与所成的角或其补角， 由，得，，， 则，， 由平面，得， 在中，， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 35. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 36.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由勾股定理可得，，由此即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，求解以及平面的法向量为，利用向量的坐标运算得线面夹角即可；方法二：利用体积相等求解点到平面的距离，即可得与平面所成角． 【详解】（1）证明：由题意得，， ，， ， 在中，由，得， 同理可得，又平面，故平面. （2）（方法一）如图所示，以为坐标原点，、为轴正方向建立空间直角坐标系， 则点，故，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 故， 因此直线与平面所成角的正弦值. （方法二），， 则，． 记点到平面的距离为，因为， 所以，则， 设直线与平面所成角为，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 37.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出底面和平面的法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又底面为长方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以. （2）以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 易知底面的一个法向量为，设为 ， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的大小为. 38. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用等腰梯形的性质证得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）取的中点，作出二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】（1）连接，在等腰梯形中，，，， 则，于是，即， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得， 在中，， 由平面，平面，得， 则，于是， 因此为二面角的平面角， 因为，平面， 则平面，又平面，则， 在中，，，则， 所以二面角的大小为. 39.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理即得. （2）由（1）的信息确定二面角的平面角，利用锥体体积公式求出，再在直角三角形中求出解即可. 【详解】（1）由底面，平面，得， 由，得，而平面， 所以平面． （2）由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，， 显然，四边形为矩形，于是， 而四棱锥的体积，解得， 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 40. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）取的中点，可证明，得到即可. （2）建系，利用空间向量法直接求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点， 因为为的中点，底面是边长为2的正方形， 所以，又因为，所以平面， 因为，平面 所以 因为， 所以， 因为为中点， 所以为的中点 （2） 因为，又， 所以，所以， 因为，， 故以A为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 则，另，得 设直线与平面所成的角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为 41.如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. (1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1)直线与直线异面且相互垂直，证明见解析； (2). 【分析】（1）构建空间直角坐标系，应用向量法证明的位置关系即可； （2）应用向量法求线面角的大小. 【详解】（1）直线与直线的异面且相互垂直，证明如下： 由面，，面，面，即直线与直线的异面； 正直三棱柱中，，则面，且， 可构建如下图示空间直角坐标系，令， 则，即， 所以，即直线与直线相互垂直. 综上，直线与直线异面且相互垂直 （2）由（1）知：面的一个法向量，， 所以，则， 故直线与平面所成角余弦值为，又线面角的范围为， 所以直线与平面所成角大小为. 42. 如图，直三棱柱中，. （1）求点A到平面的距离； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三棱锥的体积计算公式，结合等体积法，即可求解； （2）利用直角三角形的斜边中线，结合二面角的定义，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 解： 因为，可得， 所以, 在直三棱柱中，可得， 所以，所以， 设点到平面的距离为， 根据，即，即，解得, 即点到平面的距离为. 【小问2详解】 解：设的中点为，连接， 因为，所以， 所以是二面角的平面角， 由直三棱柱中，平面，且平面， 可得， 由，可得，且，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，，可得， 所以，所以二面角的大小为. 43.如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 【答案】（1）证明：因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理证明得底面，再根据四棱锥的体积公式求出，从而用线面角的定义求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点 ，连结， 因为，所以， 由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面， 设，求得，， 因为四棱锥的体积为， 所以 解得， 所以， 因为底面， 所以为与平面所成的角， 在中，， 所以． 所以与平面所成的线面角为． 题型08：空间中存在性问题 44. 如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以⊥， 因为平面⊥平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥； （2）因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又，故，，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 则， ， 设直线与平面所成角的大小为， 则； （3）设，即， 当时，与重合，此时与平面不平行， 当时，设，则， 解得，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 则，解得， 故线段BD上存在点M，使得直线平面AFM，此时. 45. 在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接，由四边形为平行四边形，可得，从而得证； （2）设正方体的棱长为1，由平面，可知为二面角的平面角，从而求解； （3）连接，则O是AC的中点，易证，根据平面平面，得到面MBD，进而得到，然后由求解. 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接，设正方体边长为1， 由正方体性质可得， 又平面，平面，所以， 平面，所以平面， 又平面，则， 所以为二面角的平面角， 中，. （3）如图所示： 在棱上存在一点M，使平面平面， 连接，则O是AC的中点， 则, 因为O是正方体中，BD的中点， 所以， 所以，因为平面平面， 所以面MBD， 所以， 所以， 又， 则， 则， 所以， 即. 题型09：综合压轴 46.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先需要结合余弦定理以及等面积法求出，则的结果可得，因此可将求问题转化为求问题，最终结果乘以即可得答案. （3）取的中点为，取的中点为，连接，在上取一点，使得，取的中点为Q，连接，则平面，则点在以点为球心、为直径的球面上，且轨迹是以点为圆心的一段圆弧，结合几何知识即可求出答案． 【解析】（1）由于E是的中点，结合正四面体的性质可得, 又因为，所以平面； （2）因为，所以， 在三角形ACE中，由余弦定理可得， 同理， 在三角形ABE中，E到AB的距离为， 所以由等面积法可得，代入数据得， 所以， 因为，所以F到底面BCD的距离为A到底面BCD的距离的， 三角形BCE的面积是三角形BCD面积的， 所以， 如图，取CD中点记为H，AG为棱锥的高， ，， 所以， 则， 所以. （3）∵， ∴点在以为直径的球面上，取的中点为， ∵点在中， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面， ∴点的轨迹为一段圆弧， 取的中点为，连接，在上取一点，使得， 在等边中，易得点为的中心， ∴在正四面体中，易得平面， 取的中点为，连接，则，则平面， 由于一个平面截一个球所得的是一个圆面，且球心与这个圆的圆心所在直线与该平面垂直， ∴点的轨迹是以点为圆心的一段圆弧， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴， ∴圆的半径， 而， ∴， 故长度的最小值为． 47. 如图1，已知，，，，，. （1）求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积； （2）将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角； （3）某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分为，，正方形三部分，分别得出几何体并求出体积，相加即可得出答案； （2）取中点为，连接，先根据面面垂直的性质证明平面.然后建立空间直角坐标系，求出，根据向量运算求解，即可得出答案； （3）先求出直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，即圆台的体积.然后根据祖暅原理推导得出球缺的体积，进而求出弓形旋转的体积，即可得出答案. 【小问1详解】 和绕轴旋转半周所围成的几何体可以得到两个底面半径为1，高为2的圆锥，体积之和为； 正方形绕轴旋转半周所围成的几何体为一个底面半径为1，高为2的圆柱，体积为. 所以，总的体积. 小问2详解】 如图3，取中点为，连接，则. 因为，中点为，所以. 又平面平面，平面平面， 所以，平面，即平面. 以点为坐标原点，如图3建立空间直角坐标系， 由已知可得，，，， 所以，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，异面直线与所成的角的余弦值为， 所以，. 【小问3详解】 由已知可得，圆心为点，则半径. 六边形绕轴旋转半周所围成的几何体的体积，等于直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体体积的2倍. 直角梯形绕直角边所在的直线旋转一周得到的几何体，为一个上、下底面半径分别为1、3，高为1的圆台，体积； 剩下的两部分为全等的弓形， 先研究弓形绕轴旋转半周，得到几何体为球缺. 现在用祖暅原理来求解该球缺的体积， 如图5，半球的半径和圆柱的底面半径均为，且圆柱的高，且， 在半球中，高度为，且平行于底面的截面圆的半径，面积为. 在圆柱中，连接，设交高度为，且平行于底面的截面于点， 显然，所以有，即， 所以. 所以，当高度为时，圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积， 即圆环的面积， 所以，当高度为时，半球的截面与圆柱中的截面圆环的面积相等. 根据祖暅原理可知，半球某高度截面以上的体积（即球缺的体积），即等于圆柱该截面以上（挖去一个圆台）的体积. 所以，球缺的体积（其中为半球被截面截去球缺后剩余部分的高）. 由已知可得，弓形绕轴旋转半周，得到的几何体为球缺中，，， 所以，该球缺的体积. 所以，总的体积. 【点睛】方法点睛：在计算与旋转体组合体体积有关的问题时，常将不规则的图形，分割为规则图形，通过相加或挖空的方法，计算求解. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第一次月考复习冲刺讲义（综合篇） 题型01：填空题精选精练 1. 以下说法错误的是__________. ①空间中三点确定一个平面 ②一条直线及一个点确定一个平面 ③两条直线确定一个平面 ④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 2.如图，一个三角形在斜二测画法下的直观图是一个边长为2的正三角形．则该三角形原来的面积是____． 3.如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则__________. 4. 已知圆锥的体积为，母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为________． 5.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆.若的面积为，，则球的表面积为______. 6.如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是__________． 7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是__________. 8.如图，空间中两个有一条公共边的正方形和．设分别是和的中点，那么以下4个命题中正确的是 ． ①；②//平面；③//；④异面． 9. 已知三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，有以下四个结论： ①直线平面；    ②直线平面； ③直线平面；    ④直线平面CDE. 其中正确结论是________ 10.如图，在正三棱柱中，，分别是和的中点，则直线与所成的角__________. 11.已知正四面体的棱长为2. 用平行于底面的平面截这个棱锥，得到一个小棱锥和一个棱台.若截面与底面之间的距离为，则棱台的体积为________. 12.如图，在三棱锥D-AEF中，分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥D-AEF的体积为，则___________. 13.如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为_______  题型02：选择题精选精练 14.下列命题中正确的是（    ） A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内 C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面 15.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16.设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，，则 D. 若，则 17.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则在图2中，下列说法正确的个数为（    ）    ①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形 ②鳖臑的四个面均为直角三角形 ③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍 ④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍 A．0 B．1 C．2 D．3 18.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( ) ①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD. A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 19.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 平面平面ABN C. 直线GB与AM是异面直线 D. 直线GB与平面AMD无公共点 20.如图，正方体的棱长为2，则下列结论错误的是（    ） A． 平面 B．平面 C．异面直线与BD所成的角为60° D．三棱锥的体积为 题型03：填空选择压轴精练 21. 已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围______． 22. 正方体棱长为2，为底面的中心，点在侧面内运动且，则最小值是 . 23. 24. 如图，一个底面半径都为b，高都为a(a>b)的半椭球（左侧图）和一个圆柱中切去圆锥形成的几何体（右侧图）（圆锥的底面置于圆柱的上底面，圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心），将他们放置在同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，其中，=______．图中圆柱体（右侧）的底面半径b为1，高a为6，则该半椭球体（左侧图）的体积为__________． 25. 在棱长为1的正方体中，动点P在棱上，动点Q在线段上、若，则三棱锥的体积（ ） A. 与无关，与有关 B. 与有关，与无关 C. 与都有关 D. 与都无关 26. 如图，等腰直角三角形ABC中，，点E是边AC的中点，点D是边BC上一点（不与C重合），将三角形DCE沿DE逆时针翻折，点C的对应点是，连接，设为二面角大小，．在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（   ） A．存在点D和，使得 B．存在点D和，使得 C．存在点D和，使得 D．存在点D和，使得 26.如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 题型04：空间几何体表面积与体积的计算 27.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱. (1)求圆锥的表面积与体积； (2)设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少. 28. 如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积； 29.如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为，求： （1）剩余部分几何体的体积； （2）剩余部分几何体的表面积. 30.如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm.    (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 题型05：空间中平行与垂直关系的证明 31.如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点； （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面； 32.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面为的中点． （1）求证：；（2）设是的中点，求证：平面． 33.如图，在三棱锥中，平面平面、分别为线段、上的点，且. (1)求证：平面；(2)求证：平面； 题型06：空间中距离与角度的计算 34.如图，已知为圆柱底面圆的直径，，母线长为3，点为底面圆的圆周上一点． (1)若，求三棱锥的体积； (2)若，求异面直线与所成的角的余弦值． 35. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 36.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，为圆的直径，且，是底面圆的内接正三角形，为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 37.如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 38. 如图，已知为等腰梯形， ，，平面，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 39.如图，在四棱锥中，底面，，点在线段上，且． (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为，，，，，求二面角的大小． 40. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，为上一点，平面. (1)求证：为的中点； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 41.如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. (1)判断直线与直线的位置关系并证明； (2)求直线与平面所成的角的大小. 42. 如图，直三棱柱中，. （1）求点A到平面的距离； （2）求二面角的大小. 43.如图，在四棱锥中，，且． （1）证明：平面平面； （2）若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小． 题型07：空间中存在性问题 44. 如图，在多面体中，平面⊥平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且. (1)求证：⊥； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段BD上是否存在点M，使得直线平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 45. 在正方体中 (1)若分别为和的中点，求证：平面 (2)求二面角的正切值 (3)如图，为的中点，问：在棱上是否存在一点，使平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 题型08：综合压轴 46.已知正四面体的棱长为3，点在棱上，点在线段上，且. (1)如图1，若点在棱的中点处，求证：平面； (2)如图2，若，求三棱锥的体积； (3)如图3，当点在棱上移动时，求线段长度的最小值. 47. 如图1，已知，，，，，. （1）求将六边形绕轴旋转半周（等同于四边形绕轴旋转一周）所围成的几何体的体积； （2）将平面绕旋转到平面，使得平面平面，求异面直线与所成的角； （3）某“”可以近似看成，将图1中的线段、改成同一圆周上的一段圆弧，如图2，将其绕轴旋转半周所得的几何体，试求所得几何体的体积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $