精品解析：广西南宁市第三中学2026-2027学年上学期九年级9月学情自测数学试题

2026—2027学年度秋季学期九月随堂练习（一）九年级数学 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作元，那么支出30元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正数与负数，理解正数与负数的意义是解题的关键．根据正数与负数的意义可求解． 【详解】解：收入100元记作元，那么支出30元应记作元， 故选：B． 2. 窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术珍宝．下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】“如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．”据此定义，逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项B：是轴对称图形，符合题意； 对于选项C：不是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，不符合题意． 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个大于10的数记作的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B．，是一元一次方程，不符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 5. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征逐一验证即可． 【详解】解：反比例函数图象上的点满足， ， 点在函数图象上，故选项A符合题意； ，，，均不等于， 其余选项的点均不在函数图象上． 6. 已知方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程，即可解出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入原方程，得， 整理得：， 解得：． 7. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键；利用二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律推导即可． 【详解】解：∵二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， ∴将抛物线向右平移个单位长度，得： ； 再向上平移个单位长度，得： ， 故选：B． 8. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断． 【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断： A．作的是的角平分线，是的角平分线，不符合题意； B． 作的是，是的高，符合题意； C． 作的是边上的垂直平分线，是的中线，不符合题意； D． 作的是，不是的高，不符合题意． 9. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． 10. 2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设年平均增长率为，根据“2023年游客数量为4800万人次，2025年游客数量为7500万人次”，可得出方程． 【详解】解：设年平均增长率为，那么依题意得， 故选：A． 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根则的取值范围是(　　) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组， 解之即可得出结论 ． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义， 根据二次项系数非零结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键 ． 12. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；由二次函数的图象可得：，，，对称轴，则再结合图象判断各结论． 【详解】解：由图象可得：，，，对称轴， ①，，， ，正确； ②时，， ，错误； ③， ， ， ，正确； ④对称轴为直线，， 顶点的纵坐标小于，错误； ⑤抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小，正确； ⑥顶点的纵坐标小于，， ， ，错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 移项得 系数化为得． 14. 二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法求二次函数的顶点，掌握配方法将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 15. 一元二次方程的两根分别是，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数． 【详解】解：对于方程，二次项系数，一次项系数，则． 故答案为：5． 16. 某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可知与成反比例，即为定值，设时功率为，则时功率为，列方程求出即可求解． 【详解】解：根据题意，，即． 设当时，电功率为，则当时，电功率为， 电源电压不变， ， 解得， ， 关于的函数关系式为， 当时，． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 即或， 解得． 18. 如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． （1）求证：； （2）若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）四边形是平行四边形，理由如下： 由（1）知 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，再结合已知条件，利用即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等结合已知条件，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从九年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：D：，C：，B：，A：）部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，88，89 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数，并补全条形统计图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为________； （3）若全校九年级有800名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 【答案】（1）C等级的人数为15人；条形统计图如下： （2）85.5 （3）成绩在范围内的学生人数约为512 【解析】 【分析】（1）利用A等级的人数及其在扇形图中的百分比求出样本总人数，再用总人数减去其他等级人数，即可求出C等级的人数； （2）根据总人数确定中位数的位置（第25和第26个数据的平均数），结合各等级人数分布及B等级的具体数据确定数值； （3）计算样本中（即B和A等级）的占比，乘以全校总人数即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：（人）， C等级的人数为：（人） 答：所抽取学生成绩为C等级的人数为15人． 【小问2详解】 解：∵总人数为50人， ∴中位数是第25个数据和第26个数据的平均数． ∵D等级有3人，C等级有15人， ∴D和C等级共有3+15=18人， ∴第25个数据和第26个数据均落在B等级中． B等级中具体分数从小到大排列为：80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，88，89，第25个数据是B等级中的第7个数据，即85分；第26个数据是B等级中的第8个数据，即86分． ∴中位数为：． 答：所抽取的学生成绩的中位数为85.5分． 【小问3详解】 解：在样本中，成绩在（即B和A等级）范围内的人数为：（人）， 该范围人数占样本总人数的比例为： ∴估计全校九年级成绩在范围内的学生人数为：（人） 答：估计成绩在范围内的学生约为512人． 20. 广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． （1）当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； （2）设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）80，1600； （2）①（且为整数）；②当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，列式计算可得平均每天售出的马甲件数；根据利润单件利润销售数量列式计算即可； （2）①根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，可列出的代数式表示，根据实际情况可知的取值范围； ②根据利润单件利润销售数量，用含x的代数式表示利润，再根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：当每件马甲售价为60元时， 平均每天售出马甲（件）， 每天的利润是（元）； 【小问2详解】 解：①根据题意得， 即， ∵售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件， ∴售价上涨不得超过元， 即， ∵且为整数， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意得 ， ∴当时，有最大值，最大值为1800， 即当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 21. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … （2）通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） （3）已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1），画图如下： （2）增大 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：将代入得， . 画图略 【小问2详解】 解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大． 【小问3详解】 解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或. 22. 如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． （1）如图②，当直线经过点时，若，求证：是等边三角形． （2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质可知：， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形； （2） 四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得 ∴，，． ∵ ∴ ∴，即 ∵在和中，, 又∵ ∴ ∵（对顶角相等） ∴ 即 又∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． （3）或 【解析】 【分析】(1) 由折叠可知，，又因为，所以有，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证得是等边三角形； （2）由折叠可得，由全等三角形对应角相等，对应边相等，可得，，，又因为，得；在和中，锐角互余，对顶角相等即可得，所以；由 且得四边形是平行四边形；又因为，邻边相等的平行四边形为菱形即可证得四边形是菱形． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点，且，应分两种情况讨论，当交于点时，在中由勾股定理可求出，再由求出的值，即可得的长；当 交于点时，在中由勾股定理可求出，再由求出的值，即可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在（2）的条件下，延长交矩形的边于点， 情况一：交于点，且． 设，，则，， 在中，有 ∴ 解得 ∴，，； ∵ ∴ 解得 即； 情况二：交于点，且． 设，，过点作于点， 则，， 在中，有 ∴ 解得 ∴，，； ∵ ∴ 即 解得 即； 23. 某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． （1）任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； （3）任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 【答案】（1） （2）米 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，抛物线顶点在，且经过，利用顶点式求解解析式． （2）根据挡雨伞顶端的高度和与水柱的垂直高度，求出水柱在该点的高度，代入解析式求出横坐标，再根据5条标志线的间距相等，计算间距． （3）根据喷水装置移动后的位置和顶点移动的情况，设出新的抛物线解析式，利用交点向下移动1米的条件求出的值；再根据射灯的位置和光线的夹角，求出光线的解析式，通过抛物线上的点与直线上对应点的坐标差求出最小距离，进而求出的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 即，解得， 故抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于5条标志线将到的距离平均分为4段， 则每段间距为米， 故每相邻两条标志线的间距为米； 【小问3详解】 解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变， 设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米， ∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为即，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为， 故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， ∴， 这是关于的二次函数，开口向上， ∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得． 综上，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度秋季学期九月随堂练习（一）九年级数学 （时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作元，那么支出30元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 窗花是我国民间剪纸中分布最广、数量最多、最为普及的品类，也是源远流长的传统民间艺术珍宝．下列窗花作品示意图为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的是的高的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 2023年中秋、国庆期间，某省累计游客数量约4800万人次，2025年中秋、国庆期间，该省累计游客数量约7500万人次．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 若关于的一元二次方程有两个实数根则的取值范围是(　　) A. B. 且 C. 且 D. 12. 二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 二次根式有意义，则的取值范围是_____． 14. 二次函数图像的顶点坐标是______． 15. 一元二次方程的两根分别是，，则________． 16. 某型号电暖气及其工作原理的简化电路图如图1所示，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为（其中），关于的函数图象如图2所示．小明同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在四边形 中， ，点是的中点，连接 并延长交的延长线于点 ． （1）求证：； （2）若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 19. 为了提高学生的科学素养，某校举办中学生科技知识竞赛．现从九年级学生中随机抽取部分学生成绩进行整理与分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：D：，C：，B：，A：）部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在B等级中的具体分数为： 80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，88，89 请根据上述信息解决下列问题： （1）求所抽取学生成绩为C等级的人数，并补全条形统计图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为________； （3）若全校九年级有800名学生，请估计成绩在范围内的学生人数． 20. 广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． （1）当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； （2）设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21. 九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … （2）通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） （3）已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 22. 如图①，在矩形中，点为边上一点，连接．将沿折叠得到．点为上一点，连接，． （1）如图②，当直线经过点时，若，求证：是等边三角形． （2）如图③，当于点时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，延长交矩形的边于点．若，，当时，直接写出的长． 23. 某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． （1）任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为5米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制5条平行的地面标志线，每两条标志线之间的间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的竖直高度为1米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； （3）任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意，首先将两个喷水装置同时向外侧移动米（在所在直线上），此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯（在所在直线上左右对称安装），每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米（左右相同），射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小竖直距离为2米，求，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $