第14讲 一元一次不等式 章节复习优等生讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

第14讲 一元一次不等式 章节复习优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统梳理不等式与一元一次不等式的概念、性质与解法 · 熟练运用不等式性质判断变形正误，正确处理变号 · 掌握不等式（组）解集在数轴上的表示与含参问题的解法 · 会解一元一次不等式组并求整数解，解决竞赛与方案类应用 · 综合运用不等式、方程与函数解决章节复习中的压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与性质 用不等号「＞」「＜」「≥」「≤」「≠」连接表示大小关系的式子是不等式 性质1：两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变 性质2：两边乘（除）同一个正数，方向不变；性质3：乘（除）负数方向改变 判断变形正误：代入特殊值或按性质逐条验证，尤其警惕乘除负数漏变号 概念辨析例题：若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　）．A．−a＜−b　B．＞　C．3a＞3b　D．a+1＜b+1 解析：性质1：两边同加1，不等号方向不变，得a+1＜b+1，D正确；A两边同乘−1应得−a＞−b，A错；B、C两边同乘正数或3方向应不变，均应得a＜b同向的不等式，B、C错误。 ☆ 2.不等式的解集与数轴表示 不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值的集合 解集在数轴上表示：空心圈不含端点，实心点含端点，射线方向指向解的范围 不等式组的解集取各不等式解集的公共部分 含参解集问题：把参数看作已知数求解集，再由题设条件确定参数范围 概念辨析例题：若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是______ 解析：解不等式组{2x−1＞x+3, x≤m}：第一个得x＞4，第二个得x≤m，解集为4＜x≤m；若解集是x＜4，则说明不等式组实际取的是x＞4与x＜m无公共部分的情形，结合同大取大，需m≥4 使公共部分为4＜x＜m且上限不影响；逐一代入验证得m≥4。 ☆ 3.解一元一次不等式（组） 一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1 系数化为1除以负数时不等号反向；去分母要乘遍每一项 不等式组：先分别求解，再取公共部分（同大取大、同小取小等） 整数解：先求不等式组解集，再取范围内的整数，注意端点含否 概念辨析例题：解不等式组：{2x−3≤1, ＞0}，并求出该不等式组的所有整数解 解析：第一个不等式：2x≤4，得x≤2；第二个：x+1＞0，得x＞−1；公共部分为−1＜x≤2。范围内的整数为0、1、2，注意−1处空心不含，2处实心含。 ☆ 4.不等式的综合应用 方案设计题：由不等关系列不等式（组），解集内的正整数为可行方案 费用最值：结合一次函数增减性或比较各方案费用 与方程、方程组综合：先解方程（组）求参数，再列不等式求解 竞赛评分、损耗率、调运分配等问题，抓准「至少」「不超过」等关键词 概念辨析例题：某软件公司开发图书管理软件，固定成本160万元，每售出一套还需支出服务费，售价与销量满足关系，问至少售出多少套才能开始盈利 解析：设售出x套，总成本=固定成本+每套服务费×x，总收入=售价×x，令总收入−总成本＞0列不等式，解得x的范围后取最小正整数即至少售出的套数；注意「开始盈利」取利润大于0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式 用不等号表示大小关系的式子 必须含不等号，等式不是不等式 性质1/2/3 加减同数不变号；乘除正数不变号；乘除负数变号 乘除负数忘记变号是最常见错误 解集表示 数轴空心圈不含、实心点含端点 注意方向与端点的对应 一元一次不等式 含一个未知数且次数为1的不等式 去分母乘遍各项，系数化为1看符号 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 无公共部分则无解 应用建模 由不等关系列不等式（组） 方案取正整数，最值结合函数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式及其基本性质（第1-6题） · 识别不等式：看是否含不等号，与式子正误无关 · 性质变形判断：同乘负数要变号，同乘正数不变号 · 新定义运算：先按定义转化再解不等式 · 含参整数解与方程综合：先解方程得参数，再结合数轴验证 1．（2025秋•宁波期末）若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．﹣a＜﹣b B． C．3a＞3b D．a+1＜b+1 【分析】利用不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：已知a＜b， 两边同时乘以﹣1得﹣a＞﹣b，则A不符合题意， 两边同时除以2得，则B不符合题意， 两边同时乘以3得3a＜3b，则C不符合题意， 两边同时加上1得a+1＜b+1，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2．（2026春•金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个． ①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据不等式的定义解答即可． 【解答】解：①﹣2＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意； ②2x+3y＜0 用不等号连接，是不等式，符合题意； ③x＝1 用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意； ④x2+3x﹣1是代数式，没有不等号连接，不是不等式，不符合题意； ⑤x+2y＝4用等号连接，是等式，不是不等式，不符合题意； ⑥x+3＜y﹣3用不等号连接，是不等式，符合题意； ∴符合不等式定义的共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号表示不等关系的式子叫做不等式是解题的关键． 3．（2026•合肥模拟）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 【分析】本题可先根据已知条件得出a、c关于b的表达式，再逐一分析选项． 【解答】解：对a，c， ∴可得a﹣b+c＝0①，a+b+2c＝0②， ∴①+②得2a+3c＝0， ∴C选项正确； 由①得a＝b﹣c，由②得c， ∴a＝b ∴a＝3b， ∴A选项正确； ∵a+b+c＜1， 把ca，a＝3b代入a+b+c＜1中， 3b+b3b＜1， ∴解得b， ∴D选项正确， ∵b，a＝3b，可得a， ∴B选项错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了通过联立方程求解未知数之间的关系，以及利用不等式确定未知数的取值范围．解题的关键在于对已知等式进行合理变形，通过联立方程得出a、b、c之间的数量关系，再结合不等式进行判断．这种题型综合考查了方程和不等式的知识，有助于培养学生的逻辑推理和运算求解能力．在解题过程中，要注意准确进行等式变形和代入计算，避免出现计算错误． 4．（2025春•武威期末）若a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　） A．a﹣1＞b﹣1 B．1﹣5a＞1﹣5b C． D．﹣b＞﹣a 【分析】利用不等式的性质逐个判断得结论． 【解答】解：∵a＞b， ∴a﹣1＞b﹣1，故选项A成立； ∵a＞b， ∴﹣5a＜﹣5b， ∴1﹣5a＜1﹣5b． 故选项B不成立； ∵a＞b， ∴，故选项C成立； ∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b，即﹣b＞﹣a，故选项D成立． 故选：B． 【点评】本题考查了不等式，掌握不等式的性质是解决本题的关键． 5．（2025春•民权县校级期末）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2026春•浦东新区校级期中）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【解答】解：解不等式6x﹣7≥a﹣2得：x， 解不等式1得：x＜4， ∵不等式组有且仅有2个整数解， ∴12， 解得1＜a≤7， ∴范围内的整数a为2，3，4，5，6，7， 解关于y的方程y+5，得y， ∵y为非负整数，1＜a≤7，可得3＜a+2≤9，且a+2是12的正因数， ∴符合条件的a+2为4，6，对应可得a＝2，a＝4， ∴所有满足条件的整数a的和为2+4＝6． 故选：A． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【考点2】列不等式与不等式（组）的解集（第7-12题） · 审题抓关键词「不大于」「不小于」「至少」「不超过」写不等式 · 一元一次不等式定义：含一个未知数且次数为1 · max等新符号：按新定义化简后再求解集 · 实际问题列式：明确未知数含义与不等号方向 7．（2026春•晋江市期末）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：　2m+n≤3　 ． 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【解答】解：∵m的2倍可表示为2m，m的2倍与n的和可表示为2m+n． ∴不等式为2m+n≤3． 故答案为：2m+n≤3． 【点评】本题考查的是不等式，熟知用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式是解题的关键． 8．（2026春•上海校级月考）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　﹣3　 ． 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴|m|﹣2＝1，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 9．（2026春•闵行区校级月考）根据题意列出不等式“3与x的和的2倍不小于10”：　2（3+x）≥10　 ． 【分析】直接根据3与x的和的2倍即2（3+x），再利用不小于10即大于等于10，进而得出不等式． 【解答】解：根据题意可得：2（3+x）≥10． 故答案为：2（3+x）≥10． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键． 10．（2025•东平县三模）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，例如max{2，﹣3}＝2，max{﹣1，0}＝0．请解答下列问题：如果max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5，则x＝ x＝﹣5或x＝7．　 ． 【分析】分两种情况讨论：当x＞2﹣x时，即x＞1时，max{x，2﹣x}＝x，求出x＝7；当x＜2﹣x时，即x＜1时，max{x，2﹣x}＝2﹣x，求出x＝﹣5． 【解答】解：当x＞2﹣x时，即x＞1时，max{x，2﹣x}＝x， ∵max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5， ∴x＝2|x﹣1|﹣5， 解得x＝7或x＝﹣1， ∴x＝7； 当x＜2﹣x时，即x＜1时，max{x，2﹣x}＝2﹣x， ∵max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5， ∴2﹣x＝2|x﹣1|﹣5， 解得x＝﹣5或x＝3， ∴x＝﹣5； 综上所述：x＝﹣5或x＝7， 故答案为：x＝﹣5或x＝7． 【点评】本题考查实数比较大小，熟练掌握一元一次方程的解法，绝对值方程的解法，一元一次不等式组的整数解求法，弄清定义是解题的关键． 11．（2026春•绵阳期末）使得不等式与同时成立，则实数x的取值范围为　　 ． 【分析】分别求解不等式的解集，再求解同时成立的范围即可． 【解答】解：若使两个不等式同时成立， 则有， 解不等式得：x＜4， 解不等式解得：， ∴若使两个不等式同时成立，则实数x的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2026春•南京期末）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为　5x﹣2（30﹣x）≥100　 ． 【分析】根据得分规则以及总分不低于100分，列出不等式即可． 【解答】解：根据得分规则以及总分不低于100分列出不等式得：5x﹣2（30﹣x）≥100； 故答案为：5x﹣2（30﹣x）≥100． 【点评】本题考查列不等式，理解题意是关键． 13．（2026•龙马潭区模拟）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是　﹣4＜m≤﹣3　 ． 【分析】先根据不等式组有2个整数解得出关于m的不等式组，进而可求得m的取值范围． 【解答】解：解不等式组， 得：3＜x≤2﹣m， 由题意可得：5≤2﹣m＜6， ∴﹣4＜m≤﹣3， 故答案为：﹣4＜m≤﹣3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，正确进行计算是解题关键． 14．（2025春•闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组　　 ． 【分析】先求出原咖啡液浓度，再依据“调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%”列不等式组即可． 【解答】解：根据题意，知原来咖啡液浓度为100%＝6%， 可列不等式组为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系． 15．（2026春•潜山市期末）一种荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 　14　 元，才能避免亏本． 【分析】设商家把售价定为每千克x元，根据荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），避免亏本，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：设商家把售价定为每千克x元， 根据题意得：x（1﹣10%）≥12.6， 解得：x≥14， 即商家把售价至少定为每千克14元，才能避免亏本， 故答案为：14． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 16．（2026•前进区校级一模）若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是m≥4　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+2＜x+6得：x＜4， ∵关于x的不等式组的解集是x＜4， ∴m≥4， 故答案为：m≥4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 17．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣4＜a≤﹣3　 ． 【分析】先求出不等式组的解集，再根据原不等式有5个整数解，写出这5个整数解，即可得到a的取值范围． 【解答】解：由不等式组得：， ∵不等式组有5个整数解， ∴这5个整数解为1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ∴﹣4＜a≤﹣3， 故答案为：﹣4＜a≤﹣3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 18．（2026春•沭阳县期末）若x，y，z均为非负实数，且满足，当m＝3x+2y+5z时，m的最小值为　90　 ． 【分析】先通过已知方程组用含z的代数式表示x和y，再根据x，y，z均为非负实数，确定z的取值范围，最后将m整理为关于z的式子，再根据不等式的性质求解出m的最小值． 【解答】解：若x，y，z均为非负实数，且满足， ， ①×2得，2x+2y+2z＝60③ ②﹣③得 y+2z＝40，即 y＝40﹣2z， 将y＝40﹣2z代入①得，x＝30﹣y﹣z＝30﹣（40﹣2z）﹣z＝z﹣10， ∵x，y，z均为非负实数， ∴， 解得10≤z≤20， 将x＝z﹣10，y＝40﹣2z代入m＝3x+2y+5z得， m＝3x+2y+5z＝3（z﹣10）+2（40﹣2z）+5z＝4z+50， ∵10≤z≤20， ∴40≤4z≤80， ∴90≤4z+50≤130， ∴4z+50的最小值为90，即m的最小值为90． 故答案为：90． 【点评】本题考查不等式的性质，正确进行计算是解题关键． 【考点3】含参不等式组的整数解与解集（第13-18题） · 整数解个数：画数轴定位，端点实心空心决定边界 · 解集反推参数：由给定解集形式确定参数取等范围 · 「有2个整数解」「5个整数解」逐端验证端点取等 · 非负实数最值问题：结合约束条件整体换元求解 19．（2025秋•日喀则市期末）解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案． 【解答】解：由2（x﹣1）≥3x﹣5得：2（x﹣1）≥3x﹣5， 2x﹣2≥3x﹣5， ﹣x≥﹣3， 解得x≤3， 由得， x+3＜4x， ﹣3x＜﹣3， 解得x＞1， ∴不等式组的解集为1＜x≤3， 把解集表示在数轴上，如图， 【点评】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握“一元一次不等式组的解法步骤”是解本题的关键． 20．（2026•市中区一模）解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 【分析】先按照解一元一次不等式的一般步骤求出各个不等式的解集，然后根据判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集，从而求出不等式组的所有整数解即可． 【解答】解： 解不等式①得：3x﹣2x≥﹣1， x≥﹣1， 解不等式②得：5（x﹣3）＜3（6﹣2x）， 5x﹣15＜18﹣6x， 6x+5x＜18+15， 11x＜33， x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴该不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 21．（2025秋•工业园区期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本0.2万元．如果每套软件定价0.9万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 【分析】依据题意，设需要售出 x 套软件才能不亏本，则0.9x≥160+0.2x，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，设需要售出 x 套软件才能不亏本， ∴0.9x≥160+0.2x， ∴0.7x≥160， ∴x228.57， ∵x 必须是整数， ∴至少需要售出 229 套 软件才能不亏本． 答：至少需要售出 229 套软件． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能列出不等式是关键． 22．（2025秋•福绵区 期末）据相关报道，2026广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？ 【分析】（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元，根据“搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设组委会要搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位，根据“A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍，且总搭建预算资金不超过30000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A类展位的搭建费用单价是x元，B类展位的搭建费用单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A类展位的搭建费用单价是300元，B类展位的搭建费用单价是400元； （2）设组委会要搭建m个A类展位，则搭建（80﹣m）个B类展位， 根据题意得：， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个A类展位． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23．（2026春•锦江区校级月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1800元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数，即可得到采购方案的数量． 【解答】解：（1）设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， ， 解得， 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元； （2）设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件（100﹣m）个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数，所以m的取值为34，35，...，50， m的可取值个数为50﹣34+1＝17， 答：若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王共有17种采购方案． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2025秋•荆门期末）【问题情境】 某餐厅打算在A平台和B平台根据点餐金额采用不同的优惠方案 在A平台实施方案如下表 在B平台实施方案如下表 A平台一次性点餐金额 优惠措施 B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 不超过60元的部分 无优惠 超过60元，但不超过160元 减10元 超过60元，但不超过160元的部分 打8折 超过160元 减30元 超过160元的部分 打6折 【问题解决】 任务1：若小华点餐金额为80元，请你帮他选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由； 任务2：若小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐没优惠时价格是多少？ 任务3：若小华在B平台先后点餐两次，两次点餐金额共320元，先后实际付款金额共266元，其中第一次点餐金额比第二次点餐金额低，求小华点的餐没优惠时价格分别是多少元？ 【分析】问题1：根据两个平台的实施方案分别计算出点餐金额，即可得到答案； 问题2：设小华点的午餐没优惠时价格是x元，根据“两个平台上优惠后的价格相同”列方程求解即可； 问题3：设小华在B平台点的餐没优惠时价格是a元，根据题意分两种情况讨论：①当第一次点的餐不超过60元，第二次点的餐超过160元时；②当第一次点的餐超过60元，但不超过160元，第二次点的餐超过160元时，分别列方程求解即可． 【解答】解：任务1：选择在A平台点餐更优惠，理由如下： 选择A平台，点餐金额为80﹣10＝70（元）， 选择B平台，点餐金额为60+（80﹣60）×0.8＝60+16＝76（元）， ∴选择在A平台点餐更优惠； 任务2：设小华点的午餐没优惠时价格是x元， 由题意列一元一次方程得：x﹣10＝60+（x﹣60）×0.8， 整理得，0.2x＝22， 解得x＝110， 答：小华点的午餐没优惠时价格是110元； 任务3：设小华在B平台第一次点的餐没优惠时价格是a元，则第二次点的餐没优惠时价格是（320﹣a）元， ∵第一次点餐金额比第二次点餐金额低， ∴分两种情况讨论： ①当第一次点的餐不超过60元，第二次点的餐超过160元时， a+[60+（160﹣60）×0.8+（320﹣a﹣160）×0.6]＝266， 整理得，0.4a＝300， 解得a＝75（不符合题意，舍去）； ②当第一次点的餐超过60元，但不超过160元，第二次点的餐超过160元时， 根据题意列一元一次方程得，60+（a﹣60）×0.8+[60+（160﹣60）×0.8+（320﹣a﹣160）×0.6]＝266， 解得a＝90， 则320﹣90＝230（元）， 答：小华点的餐没优惠时价格分别是90元和230元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列方程是解题关键． 25．（2026春•平陆县期末）2025年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库A调运一批货物到仓库B，途中必须经过中转站C．仓库A到中转站C的距离为30千米，中转站C到仓库B的距离为40千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时2元，货物需要在中转站C停留2小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物500元． （运输总成本＝直接运输成本+中转操作成本；直接运输成本＝2×运输距离×运输时间） （1）如果货车的平均行驶速度为50千米/小时，写出从仓库A到仓库B的运输时间　1.4　 小时，直接运输成本　196　 元；运输总成本　696　 元； （2）仓库A到中转站C路段：货车的平均行驶速度为v千米/小时；中转站C到仓库B路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米/小时．从仓库A到仓库B全程用时4小时（全程用时＝运输时间十中转站停留时间），求：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度v； （3）在（2）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），记货车从仓库A到中转站C的平均速度v千米/小时，请直接写出v的取值范围　　 ． 【分析】（1）根据从仓库A到仓库B的运输时间为：（30+40）÷50＝1.4（小时），直接运输成本为：2×70×1.4＝196（元），运输总成本为：196+500＝696（元），从而求解； （2）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：小时；根据题意得，然后解方程并检验即可； （3）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：小时，所以全程共用时（小时），由于全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），得出则，然后解不等式组即可． 【解答】解：（1）从仓库A到仓库B的运输时间为：（30+40）÷50＝70÷50＝1.4（小时）， 直接运输成本为：2×70×1.4＝196（元）， 运输总成本为：196+500＝696（元）， 故答案为：1.4，196，696； （2）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：小时； 根据题意列分式方程得，， 整理得，4v＝220， 解得v＝55， 经检验：v＝55是原方程的解且符合题意， 答：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度为55千米/小时； （3）由仓库A到中转站C路段的行驶时间为：小时；中转站C到仓库B路段的行驶时间为：小时， 所以全程共用时（小时）， 由于全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值）， 则根据题意列一元一次不等式组得，， 解得：， ∴v的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数运算的混合运算，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 章节复习先梳理知识框架：概念→性质→解法→应用四步走 · 性质3是高频失分点：乘除负数必须变号，变形后代入验证 · 含参问题必画数轴，端点实心空心逐一核对 · 应用题抓关键词列不等式，方案取正整数、最值结合函数 · 综合题先局部求解再整体建模，书写规范、过程完整 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 一元一次不等式 章节复习优等生讲义 (知识梳理+典例+针对练习)2026--2027学年浙教版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 系统梳理不等式与一元一次不等式的概念、性质与解法 · 熟练运用不等式性质判断变形正误，正确处理变号 · 掌握不等式（组）解集在数轴上的表示与含参问题的解法 · 会解一元一次不等式组并求整数解，解决竞赛与方案类应用 · 综合运用不等式、方程与函数解决章节复习中的压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.不等式的概念与性质 用不等号「＞」「＜」「≥」「≤」「≠」连接表示大小关系的式子是不等式 性质1：两边加（减）同一个数（式子），不等号方向不变 性质2：两边乘（除）同一个正数，方向不变；性质3：乘（除）负数方向改变 判断变形正误：代入特殊值或按性质逐条验证，尤其警惕乘除负数漏变号 概念辨析例题：若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　）．A．−a＜−b　B．＞　C．3a＞3b　D．a+1＜b+1 解析：性质1：两边同加1，不等号方向不变，得a+1＜b+1，D正确；A两边同乘−1应得−a＞−b，A错；B、C两边同乘正数或3方向应不变，均应得a＜b同向的不等式，B、C错误。 ☆ 2.不等式的解集与数轴表示 不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值的集合 解集在数轴上表示：空心圈不含端点，实心点含端点，射线方向指向解的范围 不等式组的解集取各不等式解集的公共部分 含参解集问题：把参数看作已知数求解集，再由题设条件确定参数范围 概念辨析例题：若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是______ 解析：解不等式组{2x−1＞x+3, x≤m}：第一个得x＞4，第二个得x≤m，解集为4＜x≤m；若解集是x＜4，则说明不等式组实际取的是x＞4与x＜m无公共部分的情形，结合同大取大，需m≥4 使公共部分为4＜x＜m且上限不影响；逐一代入验证得m≥4。 ☆ 3.解一元一次不等式（组） 一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并、系数化为1 系数化为1除以负数时不等号反向；去分母要乘遍每一项 不等式组：先分别求解，再取公共部分（同大取大、同小取小等） 整数解：先求不等式组解集，再取范围内的整数，注意端点含否 概念辨析例题：解不等式组：{2x−3≤1, ＞0}，并求出该不等式组的所有整数解 解析：第一个不等式：2x≤4，得x≤2；第二个：x+1＞0，得x＞−1；公共部分为−1＜x≤2。范围内的整数为0、1、2，注意−1处空心不含，2处实心含。 ☆ 4.不等式的综合应用 方案设计题：由不等关系列不等式（组），解集内的正整数为可行方案 费用最值：结合一次函数增减性或比较各方案费用 与方程、方程组综合：先解方程（组）求参数，再列不等式求解 竞赛评分、损耗率、调运分配等问题，抓准「至少」「不超过」等关键词 概念辨析例题：某软件公司开发图书管理软件，固定成本160万元，每售出一套还需支出服务费，售价与销量满足关系，问至少售出多少套才能开始盈利 解析：设售出x套，总成本=固定成本+每套服务费×x，总收入=售价×x，令总收入−总成本＞0列不等式，解得x的范围后取最小正整数即至少售出的套数；注意「开始盈利」取利润大于0。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 不等式 用不等号表示大小关系的式子 必须含不等号，等式不是不等式 性质1/2/3 加减同数不变号；乘除正数不变号；乘除负数变号 乘除负数忘记变号是最常见错误 解集表示 数轴空心圈不含、实心点含端点 注意方向与端点的对应 一元一次不等式 含一个未知数且次数为1的不等式 去分母乘遍各项，系数化为1看符号 不等式组解集 各不等式解集的公共部分 无公共部分则无解 应用建模 由不等关系列不等式（组） 方案取正整数，最值结合函数 ⚠️ 核心考点 【考点1】不等式及其基本性质（第1-6题） · 识别不等式：看是否含不等号，与式子正误无关 · 性质变形判断：同乘负数要变号，同乘正数不变号 · 新定义运算：先按定义转化再解不等式 · 含参整数解与方程综合：先解方程得参数，再结合数轴验证 1．（2025秋•宁波期末）若a＜b，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．﹣a＜﹣b B． C．3a＞3b D．a+1＜b+1 2．（2026春•金水区校级月考）下列表达式中是不等式的有（　　）个． ①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x＝1；④x2+3x﹣1；⑤x+2y＝4；⑥x+3＜y﹣3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026•合肥模拟）已知实数a，b，c．满足a+b+c＜1，，，则下列判断错误的是（　　） A．a＝3b B． C．2a+3c＝0 D． 4．（2025春•武威期末）若a＞b，则下列不等式中不成立的是（　　） A．a﹣1＞b﹣1 B．1﹣5a＞1﹣5b C． D．﹣b＞﹣a 5．（2025春•民权县校级期末）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 6．（2026春•浦东新区校级期中）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（　　） A．6 B．3 C．2 D．1 【考点2】列不等式与不等式（组）的解集（第7-12题） · 审题抓关键词「不大于」「不小于」「至少」「不超过」写不等式 · 一元一次不等式定义：含一个未知数且次数为1 · max等新符号：按新定义化简后再求解集 · 实际问题列式：明确未知数含义与不等号方向 7．（2026春•晋江市期末）根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：___________ ． 8．（2026春•上海校级月考）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 _______ ． 9．（2026春•闵行区校级月考）根据题意列出不等式“3与x的和的2倍不小于10”：______________ ． 10．（2025•东平县三模）对于两个不相等的有理数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，例如max{2，﹣3}＝2，max{﹣1，0}＝0．请解答下列问题：如果max{x，2﹣x}＝2|x﹣1|﹣5，则x＝ ______________ ． 11．（2026春•绵阳期末）使得不等式与同时成立，则实数x的取值范围为____________________ ． 12．（2026春•南京期末）为了加强初中生对国防知识的了解，校内开展了一次竞赛活动，共设置30道选择题．评分标准为：答对1题得5分，不答或答错1题扣2分．小明至少要答对几道题，总分才能不低于100分呢？设小明要答对x道题，则根据题意可列不等式为___________________ ． 13．（2026•龙马潭区模拟）若关于x的不等式组有2个整数解，则实数m的取值范围是____________ ． 14．（2025春•闵行区期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于2.5%又不超过4%．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组____________________ ． 15．（2026春•潜山市期末）一种荔枝的进价是每千克12.6元，销售中估计有10%的荔枝正常损耗（包含剪枝），商家把售价至少定为每千克 _______ 元，才能避免亏本． 16．（2026•前进区校级一模）若关于x的不等式组的解集是x＜4，则m的取值范围是________ ． 17．（2026•鼓楼区校级模拟）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是____________ ． 18．（2026春•沭阳县期末）若x，y，z均为非负实数，且满足，当m＝3x+2y+5z时，m的最小值为_______ ． 【考点3】含参不等式组的整数解与解集（第13-18题） · 整数解个数：画数轴定位，端点实心空心决定边界 · 解集反推参数：由给定解集形式确定参数取等范围 · 「有2个整数解」「5个整数解」逐端验证端点取等 · 非负实数最值问题：结合约束条件整体换元求解 19．（2025秋•日喀则市期末）解一元一次不等式组，并把解表示在数轴上． 20．（2026•市中区一模）解不等式组，并求出该不等式组的所有整数解． 21．（2025秋•工业园区期末）某软件公司开发了一种图书管理软件，共花费固定成本160万元，每售出一套软件，软件公司还需支出服务成本0.2万元．如果每套软件定价0.9万元，那么至少需要售出多少套软件才能不亏本？ 22．（2025秋•福绵区 期末）据相关报道，2026广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建A，B两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个A类展位和3个B类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个A类展位和1个B类展位，共需搭建费用1600元．求A类展位和B类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建A，B两类展位共80个，其中A类展位的数量不少于B类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个A类展位？ 23．（2026春•锦江区校级月考）小王周末参与2025年四川足球超级联赛（简称“川超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备川超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． （1）求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； （2）若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算． 24．（2025秋•荆门期末）【问题情境】 某餐厅打算在A平台和B平台根据点餐金额采用不同的优惠方案 在A平台实施方案如下表 在B平台实施方案如下表 A平台一次性点餐金额 优惠措施 B平台一次性点餐金额 优惠措施 不超过60元 无优惠 不超过60元的部分 无优惠 超过60元，但不超过160元 减10元 超过60元，但不超过160元的部分 打8折 超过160元 减30元 超过160元的部分 打6折 【问题解决】 任务1：若小华点餐金额为80元，请你帮他选择在哪个平台点餐更优惠？并说明理由； 任务2：若小华点了超过60元，但不超过160元的午餐，发现在两个平台上优惠后的价格相同，那么小华点的午餐没优惠时价格是多少？ 任务3：若小华在B平台先后点餐两次，两次点餐金额共320元，先后实际付款金额共266元，其中第一次点餐金额比第二次点餐金额低，求小华点的餐没优惠时价格分别是多少元？ 25．（2026春•平陆县期末）2025年末，洪山区一家快递公司在“年终大促”购物节期间承担包裹配送任务．快递公司需要从仓库A调运一批货物到仓库B，途中必须经过中转站C．仓库A到中转站C的距离为30千米，中转站C到仓库B的距离为40千米（如图）．已知直接运输成本为每千米每小时2元，货物需要在中转站C停留2小时进行分拣和重新包装，中转操作成本为每批货物500元． （运输总成本＝直接运输成本+中转操作成本；直接运输成本＝2×运输距离×运输时间） （1）如果货车的平均行驶速度为50千米/小时，写出从仓库A到仓库B的运输时间________ 小时，直接运输成本________ 元；运输总成本________ 元； （2）仓库A到中转站C路段：货车的平均行驶速度为v千米/小时；中转站C到仓库B路段：由于城市道路拥堵，货车的平均行驶速度为千米/小时．从仓库A到仓库B全程用时4小时（全程用时＝运输时间十中转站停留时间），求：货车从仓库A到中转站C的平均行驶速度v； （3）在（2）的条件下，如果快递公司希望将全程用时控制在3小时到3.5小时之间（含端点值），记货车从仓库A到中转站C的平均速度v千米/小时，请直接写出v的取值范围____________________ ． 💯 课后巩固 复习建议 · 章节复习先梳理知识框架：概念→性质→解法→应用四步走 · 性质3是高频失分点：乘除负数必须变号，变形后代入验证 · 含参问题必画数轴，端点实心空心逐一核对 · 应用题抓关键词列不等式，方案取正整数、最值结合函数 · 综合题先局部求解再整体建模，书写规范、过程完整 学科网（北京）股份有限公司 $