精品解析：陕西西安市浐灞国际港第四初级中学2026-2027学年度第一学期八年级第一次学情自测数学试题

西安市浐㶚国际港第四初级中学 2026-2027学年度第一学期八年级第一次月考数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分：选择题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将化简为最简二次根式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. ，， C. 4，5，6 D. 1，2， 4. 最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. 4 5. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A. 9 B. ﹣9 C. 2a﹣15 D. 无法确定 8. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　） A. B. C. 9 D. 第二部分：非选择题 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 的算术平方根是______． 12. 若有意义，则x的取值范围为_____． 13. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个数为___． 14. 如图，矩形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则的长为_______． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝，则BD的长为___． 三．解答题（共11小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 求下列各式中的x． （1）4（3x+1）2﹣1＝0； （2）（x+2）3+1＝0． 18. 在数轴上找出对应的点A． 19. 已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）、的值； （2）的平方根． 20. 如图，在Rt△ABC中，C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CDAB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 21. 如图所示，一块土地，已知， ，，求这块土地的面积 22. 阅读理解：“∵，∴，∴的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为，类似的：∵，∴的小数部分就是． 解决问题： （1）初步运用：的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）综合拓展：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 23. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 24. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 25. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 26. 【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：． 【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：． （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市浐㶚国际港第四初级中学 2026-2027学年度第一学期八年级第一次月考数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分：选择题 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列实数中，为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含二次根式的选项，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：A.是分数，属于有理数； B.，是整数，属于有理数； C.3.14是有限小数，属于有理数； D.，是开方开不尽的数，为无理数． 2. 将化简为最简二次根式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可化简求解． 【详解】= 故选A． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的运算法则． 3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. ，， C. 4，5，6 D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、因为，所以1，，2为边能构成直角三角形，不符合题意； B、因为，所以，，为边能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，，，所以4，5，6为边不能构成直角三角形，符合题意； D、因为，所以1，2，为边能构成直角三角形，不符合题意． 4. 最简二次根式与2可以合并，则m的值是（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可； 【详解】由题意得：3m﹣1=2， 解得：m=1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，准确计算是解题的关键． 5. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可． 【详解】解：由勾股定理得：AC＝＝， ∵S△ABC＝3×3﹣＝， ∴， ∴， ∴BD＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键． 6. 如图所示，正方形和正方形的面积分别是100和36，则以为直径的半圆的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求得AB与BD的长度，根据勾股定理求得直角三角形中AD的长度，从而根据圆的面积公式求得半圆的面积. 【详解】由题意可得，BD=6，AB=10， 则在直角三角形ABC中，AD=8， 则以AD为直径的半圆的面积为：. 故选B 【点睛】本题考查了正方形与勾股定理的综合运用，利用正方形的面积求出AB与BD的长度是解题的关键. 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A. 9 B. ﹣9 C. 2a﹣15 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用数轴表示数的方法得到5＜a＜10，再利用二次根式的性质得到原式=|a-3|-|a-12|，然后去绝对值并进行合并即可． 【详解】解：由数轴得5＜a＜10， 所以 =|a-3|-|a-12| =a-3+a-12 =2a-15． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握并利用二次根式的基本性质进行化简是解题的关键． 8. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，设，在中利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． 设，则， ． 在中，， 由勾股定理得， 即， 解得， ． 9. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 将原式化为，再代入可得答案. 【详解】解：∵， ∴. 故选：D. 10. 如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（　　） A. B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点B与D关于AC对称，连接BE，设BE与AC交于点P′，即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．再利用勾股定理即可得出结果． 【详解】如图，连接BE，设BE与AC交于点P′， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与D关于AC对称， ∴P′D=P′B， ∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度． ∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3， ∴BE==． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题，找出P点位置是解题的关键． 第二部分：非选择题 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 的算术平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，先计算，再求的算术平方根，即可求解． 【详解】解： 5的算术平方根是. 故答案为：. 12. 若有意义，则x的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式的概念是关键． 分式有意义的条件是分母不为零，二次根式则要求被开方数非负，结合在一起解不等式组即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得且， 故答案为：且． 13. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个数为___． 【答案】1 【解析】 【分析】由“一个正数的两个平方根互为相反数”得到a+3+2a+3=0，据此可以求得a的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 a+3+2a+3=0，即3a=-6， 解得，a=-2 这个数为1 故答案是：1． 【点睛】本题考查了平方根的定义．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 14. 如图，矩形中，，，M、N分别是、边上的点，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A的对应点为，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，进而得出，根据题意和勾股定理得出方程即可得解． 【详解】解：设，则， 四边形为长方形， 由折叠性质可得， ， ， ， ， 在中， ， 又在中， ， ， 即， 解得，， 即． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝，则BD的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E，根据∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，利用勾股定理求出AC=5，然后利用勾股定理得到三角形ACD是直角三角形，再证明△ABC≌△CED得到CE，DE的长，最后理由勾股定理求出BD即可. 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E ∴∠DEC=90° ∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4 ∴ ∵CD＝5，DA＝ ∴， ∴ ∴=90° ∵∠ABC=∠DEC=90° ∴∠ACB+∠DCE=90°，∠EDC+∠DCE=90° ∴∠ACB=∠CDE 又∵ ∴△ABC≌△CED ∴，， ∴ 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了勾股定理和全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三．解答题（共11小题，共75分） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解： . 【小问3详解】 解： . 【小问4详解】 解： . 17. 求下列各式中的x． （1）4（3x+1）2﹣1＝0； （2）（x+2）3+1＝0． 【答案】（1）＝﹣或＝﹣；（2）x＝﹣3． 【解析】 【分析】（1）根据题意，把-1移项，然后直接开方即可求得； （2）由题目可知，把+1移项，根据立方根的定义，直接开立方计算可得． 【详解】（1）4（3x+1）2﹣1＝0， 4（3x+1）2＝1， （3x+1）2＝， 3x+1＝±， ∴＝﹣或＝﹣ 故答案为：＝﹣或＝﹣； （2）（x+2）3+1＝0， （x+2）3＝﹣1， x+2＝﹣1， ∴x＝﹣3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了利用直接开平方和开立方的方法求方程的解，注意开平方有两个根，且互为相反数． 18. 在数轴上找出对应的点A． 【答案】 在数轴上对应的点A如下． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，关键是利用勾股定理构造直角三角形；作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是，则可在数轴上找到对应的点A． 【详解】解：因为， 作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． 19. 已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）、的值； （2）的平方根． 【答案】（1）x=5，y=2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【小问1详解】 解：由题意得，，． ∴，． ∴x=5，y=2； 【小问2详解】 解：由（1）得，x=5，y=2． ∴． ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． 20. 如图，在Rt△ABC中，C=900，AC=9 cm，BC=12 cm，CDAB于D， 求：（1）△ABC的面积 （2）斜边AB的长 （3）高CD的长 【答案】（1）54；（2）15；（3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）利用勾股定理计算出AB的长即可； （3）根据三角形的面积公式计算出CD的长即可． 【详解】(1)△ABC的面积=×AC×BC=×9×12=54(cm). 故△ABC的面积是54cm； (2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm， ∴AB==15cm； (3)∵×AC×BC=×CD×AB， ∴×9×12=×15×CD， 解得CD=. 故高CD的长为cm. 【点睛】此题考查直角三角形的性质，勾股定理，解题关键在于掌握计算公式. 21. 如图所示，一块土地，已知， ，，求这块土地的面积 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 连接．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，然后根据割补法求解即可． 【详解】解：连接． ∵， ∴， 由勾股定理可知； ∵， ∴是直角三角形， ∴这块地的面积为． 22. 阅读理解：“∵，∴，∴的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为，类似的：∵，∴的小数部分就是． 解决问题： （1）初步运用：的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）综合拓展：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）5， （2）1 【解析】 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算： （1）根据题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先根据题中给出的方法求出a、b的值，然后根据实数的加减运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是， 故答案为：5，； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分是11，小数部分为， 即， ∵， ∴， ∴的整数部分是6， 即， ∴． 23. 在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上______． （2）画△DEF，DE，EF，DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 【答案】（1） （2） ①画图如下：△DEF即为所求；直角三角形； 由图可知：，， ∴， ∴△DEF是直角三角形； ②2 【解析】 【分析】（1）利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得解； （2）①根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形；②利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①略 ②． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理逆定理．熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 24. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） 证明：∵km，km，km， ∴． ∴是直角三角形， ∴； （2） 解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵， ∴． ∵， ∴海港C受到台风影响． （3）3.5h 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）过点C作于D．根据直角三角形的面积，可得，即可求解； （3）在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．根据等腰三角形的性质可得ED=FD，然后根据勾股定理可得，从而得到km，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口． ∴EC=FC， ∵CD⊥AB， ∴ED=FD， 在中，由勾股定理得： ， ∴km， ∵台风的速度为40km/h， ∴． ∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的实际应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 25. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键， （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 26. 【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：． 【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：． （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案） 【答案】 解：（1）∵， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°， 由勾股定理得：，， ∴； （2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°， ∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB， ∴△CAE≌△GAB（SAS）， ∴∠CEA＝∠GBA， ∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE， ∴∠CEA＋∠MNE＝90°， ∴∠EMN＝90°， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据，利用勾股定理分别求出和即可证明结论； （2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等量代换求出∠EMN＝90°即可； （3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图3，连接CG，BE， ∵，，， ∴AC＝8，AE＝， ∴AB＝10， ∴CG＝，BE＝， ∵， ∴由（1）可知：，即， ∵BC＞0， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $