精品解析：河南省部分高中2026-2027学年高一上学期9月联考数学试题

2026年河南省普通高中高一秋期9月联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 6. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，那么集合的子集个数为_________． 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 14. 已知，，则的最小值为____________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 17. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省普通高中高一秋期9月联考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式求解出集合，根据集合的运算计算交集． 【详解】因为， 由可得，解得， 因为，所以． 2. 设已知集合，，且，都有成立，则的取值为（ ） A. 或 B. 或或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由条件推出是的子集，所以中元素只能等于或，解方程后，利用集合元素互异性检验，舍去造成重复的，得到最终取值． 【详解】由，都有成立，得， 当时，解得或， 若，则，，符合题意； 若，则，，符合题意； 当时，解得，此时，显然不满足集合元素的互异性， 综上，的取值为或． 3. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，得，所以，所以或， 故， 又⫋，所以“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知命题为假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题为假命题， 所以命题为真命题， 所以， 令， 在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，所以. 所以的取值范围为. 5. 若，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【详解】， 故 6. 已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解. 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 7. 已知有限集（，），如果中的元素（）满足，就称为“完美集”．①集合是“完美集”；②若、是两个不同的非零数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2；③二元“完美集”有无穷多个；④当时，“完美集”A有且只有一个，上述结论是真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的性质，以及一元二次方程的性质逐一判断即可. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的非零数，且是“完美集”， 设， 根据一元二次方程根与系数的关系可知， 和可以看成一元二次方程的两个不相等实数根， 由，解得或， 当时，，所以均为正数， 所以、至少有一个大于2， 当时，，所以一个正数，一个负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值，因此、至少有一个大于2不一定成立，所以②不正确； 对于③中，由②知，一元二次方程， 当满足或时，当t取不同的值时，对应的值是不同的，所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，当时，不妨设A中， 当时，由， 当时，由，显然符合， 因此“完美集”A不只一个，所以④不正确. 因此结论中是真命题的个数为,所以选项B是正确的. 8. 已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知不等式的解集是，结合二次不等式的恒成立问题以及二次方程的根分析求解即可. 【详解】对于不等式，即， 且，可得，等价于， 由题意可知：不等式的解集是， 若，则， 当时，二次函数开口向下，而函数开口向上，结合图象可知不等式解集不可能为， 则， 当时，则不等式为，当时，不等式不成立，故解集不可能为，不合题意； 当时，因为时，则符合题意的有下列两种情况： ①在上恒成立，则， 即，解得或（舍去）； ②有且仅有1个实数根，且实数根在上， 则，解得或（舍去）； 此时方程的根为，符合题意； 综上所述：的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：当时，当时，，若，则，故A正确； B选项：当时，故B错误； C选项：若，则，但，故C错误； D选项：若，则，即，故D正确. 10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】AC 【解析】 【详解】如果两个集合构成“鲸吞”，可得或， 又中元素满足，故，故不成立； 当时，可得，满足； 当时，由，可得， 若，则，可得，不满足， 若，则，可得，不满足； 如果两个集合构成“蚕食”， 则两个集合有公共元素，故或， 当，解得，经检验符合题意； 当，解得，经检验符合题意. 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A正确，D错误； 原不等式可化为的解集为， 而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，那么集合的子集个数为_________． 【答案】 1 【解析】 【详解】集合是数集， 集合是点集， 所以， 所以集合只有一个子集. 所以集合的子集个数为. 13. 已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 14. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围． （2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 ， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，需，解得或. 综上，的取值范围是或，即. 【小问2详解】 由题意是的真子集， ①当时，满足题意，即，解得； ②当时，需同时满足：，解得：，即. 综上，的取值范围是或，即的取值范围是. 16. 我们知道，如果集合，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为，类似地，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作．据此回答下列问题： （1）若，，求； （2）若集合，集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据差集的概念先求出，再根据概念求出即可；（2）由，则，先对集合进行分类讨论，再结合子集关系求出a的取值范围即可. 【小问1详解】 ，，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得：； 【小问2详解】 因为，所以． 由，可得， 当时，，不等式不成立，此时，满足； 当时，．因为，所以， 解，因为，此不等式恒成立； 解，两边同乘得，即，又，则. 当时，.因为，所以， 解，由，两边同乘，得，即． 解，由，两边同乘，得，即， 又，所以． 综上，的取值范围是． 17. 某工厂计划建造一个无盖的长方体三级污水处理池（其平面图如图所示），已知污水处理池长为，宽为，深为，四周池壁的建造成本为元/，中间隔墙的建造成本为元/，池底的建造成本为元/． （1）若池底的面积为，求污水处理池的最低建造成本； （2）若污水处理池的建造成本预算为元，且预算恰好用完． （ⅰ）求关于的表达式； （ⅱ）当为何值时，该污水处理池的容积最大？并求出最大容积．（池壁、隔墙及池底的厚度忽略不计） 【答案】（1）元 （2）（ⅰ）； （ⅱ）当时，该污水处理池的容积最大，最大容积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，结合基本不等式即可求解； （2）（i）根据题意，列出方程即可；（ii）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，设污水处理池的建造成本为元， 则， 又，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以污水处理池的最低建造成本为元. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，所以， 整理得， 又，所以，解得， 所以． （ⅱ）由题意，处理池的容积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最大容积. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围． （2）解关于的不等式． （3）若对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集为，结合二次函数性质分情况讨论，解不等式； （2）分情况讨论二次方程解的情况及不等式解集情况； （3）分离参数，可得，结合基本不等式可得参数范围. 【小问1详解】 由已知不等式，即的解集为， 当，即时，不等式为，解集为，不成立； 当时，有，解得， 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，即，即， 当，即时，不等式为，解集为； 当，不等式对应方程为，， 当时，，不等式解集为； 当时，，对应方程的两根为，， 不等式解集为； 当时，不等式解集为； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 不等式，对恒成立； 可转化为，对恒成立， 因为，所以， 设，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为. 19. 对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． （1）判断，和是否为完全集合（无需证明）； （2）若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； （3）设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】（1）和是完全集合，不是完全集合. （2）中的元素个数的最小值为7. （3）对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【小问1详解】 集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. 【小问2详解】 设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $