21.2.1　直接开平方法和因式分解法(2).课件-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 第21章　21.2　一元二次方程的解法 21.2.1　直接开平方法和因 式分解法(2) 学习目标 1.会用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程.(重点) 2.灵活运用因式分解法解一元二次方程.(难点) 3.了解转化、降次、整体思想在解方程中的应用.(难点) 课堂引入 运用上节课所学的直接开平方法和因式分解法，解下列方程： (1)2x2-4=0；(2)(2x-5)2=x2；(3)x2-4x+3=0. 一、 用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程 问题1　自学课本P24例3，回答下列问题： (1)将方程(x+1)2-4=0写成“x2=a(a≥0)”的形式是________，这样就可以用我们上节课学过的___________法求解了，除此之外，还可以用_________法求解；  (2)用直接开平方法解方程12(2-x)2-9=0时，首先将其写成________=___， 再将平方项的系数化为1得________，最后两边开平方得________，∴方程的解为x1=______，x2=______.  (x+1)2=4 直接开平方 因式分解 12(2-x)2 9 (2-x)2= 2-x=± 2+ 2- 例1　用直接开平方法解下列方程： (1)(3x-5)2-16=0； 解　将方程(3x-5)2-16=0， 移项，得(3x-5)2=16. 直接开平方，得3x-5=±4. 由3x-5=4，解得x=3. 由3x-5=-4，解得x=. 即x1=3，x2=. 例1　用直接开平方法解下列方程： (2)(x-5)2-16=0； 解　将方程(x-5)2-16=0，转化为(x-5)2=32. 直接开平方，得x-5=±4. 由x-5=4，解得x=5+4. 由x-5=-4，解得x=5-4. 即x1=5+4，x2=5-4. 例1　用直接开平方法解下列方程： (3)(2x-1)2=(-1)2； 解　(2x-1)2=(-1)2， 直接开平方，得2x-1=±(-1)， 由2x-1=-1，解得x=. 由2x-1=-(-1)，解得x=1-. 即x1=，x2=1-. 例1　用直接开平方法解下列方程： (4)3(x-2)2=24. 解　将方程3(x-2)2=24，转化为(x-2)2=8. 直接开平方，得x-2=±2. 由x-2=2，解得x=2+2. 由x-2=-2，解得x=2-2. 即x1=2+2，x2=2-2. 跟踪训练1　(1)方程2(x+3)2=8的解是 A.x1=2，x2=-2 B.x1=5，x2=1 C.x1=-1，x2=-5 D.x1=1，x2=-7 √ 解析　∵2(x+3)2=8，∴(x+3)2=4，则x+3=2或x+3=-2， 解得x1=-1，x2=-5. (2)已知一元二次方程(x-2)2=(2x+5)2，试用直接开平方法解这个方程. 解　因为(x-2)2=(2x+5)2， 所以x-2=±(2x+5). 当x-2=2x+5时，x=-7； 当x-2=-(2x+5)时，x=-1， 所以方程的解为x1=-7，x2=-1. 二、 运用因式分解法解一元二次方程 问题2　阅读课本P24“你知道吗”，思考回答下面的问题. 另一个根哪去了？小亮的解法对吗？你可以解开这个谜吗？ 提示　小亮的解法不对，方程两边都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情况下，如果不能确定3x+2是否等于零，便不能轻易都除以(3x+2).所以，在解方程时应注意，方程两边都约去含未知数的代数式易丢根. 例2　下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2(x-2)2=x2-4的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)=(x+2)， 第二步 2x-4=x+2， 第三步 解得x=6. 第四步 小颖同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)2-(x-2)(x+2)=0， 第二步 (x-2)(2x-4-x+2)=0， 第三步 x-2=0或x-2=0， 第四步 解得x1=x2=2. 第五步 任务一： (1)小刚同学的解答过程中，从第________步开始出现错误.错误的原因是____________________； 解　小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式(x-2). 例2　下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2(x-2)2=x2-4的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)=(x+2)， 第二步 2x-4=x+2， 第三步 解得x=6. 第四步 小颖同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)2-(x-2)(x+2)=0， 第二步 (x-2)(2x-4-x+2)=0， 第三步 x-2=0或x-2=0， 第四步 解得x1=x2=2. 第五步 (2)小颖同学的解答过程中，从第________步开始出现错误.错误的原因是____________________； 解　小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，(x+2)中的2没有变号. 例2　下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2(x-2)2=x2-4的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)=(x+2)， 第二步 2x-4=x+2， 第三步 解得x=6. 第四步 小颖同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)2-(x-2)(x+2)=0， 第二步 (x-2)(2x-4-x+2)=0， 第三步 x-2=0或x-2=0， 第四步 解得x1=x2=2. 第五步 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解________________；  解　原方程移项可得2(x-2)2-(x-2)(x+2)=0，(x-2)(2x-4-x-2)=0， 即(x-2)(x-6)=0，x-2=0或x-6=0，解得x1=2，x2=6. 例2　下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2(x-2)2=x2-4的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)=(x+2)， 第二步 2x-4=x+2， 第三步 解得x=6. 第四步 小颖同学： 解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)， 第一步 2(x-2)2-(x-2)(x+2)=0， 第二步 (x-2)(2x-4-x+2)=0， 第三步 x-2=0或x-2=0， 第四步 解得x1=x2=2. 第五步 任务三：解方程：x2+7x-18=0. 解　原方程分解因式可得(x-2)(x+9)=0， ∴x-2=0或x+9=0，∴x1=2，x2=-9. 跟踪训练2　(1)方程3(x-5)2=2(5-x)的解是 A.x= B.x1=5，x2= C.x1=5，x2= D.x1=4，x2=- √ 解析　3(x-5)2=2(5-x)， 移项得3(x-5)2+2(x-5)=0， 分解因式得(x-5)(3x-15+2)=0， ∴x-5=0，3x-15+2=0， 解方程得x1=5，x2=. (2)解方程： ①x2+5x+6=0； 解　x2+5x+6=0，(x+2)(x+3)=0， 则x+2=0或x+3=0， 所以x1=-2，x2=-3. (2)解方程： ②4x(2x+1)=3(2x+1)； 解　4x(2x+1)=3(2x+1)， 4x(2x+1)-3(2x+1)=0， (2x+1)(4x-3)=0， 则2x+1=0或4x-3=0， 所以x1=-，x2=. (2)解方程： ③(x-1)2-4(x-1)=-4. 解　(x-1)2-4(x-1)=-4， (x-1)2-4(x-1)+4=0， (x-1-2)2=0， (x-3)2=0， 所以x1=x2=3. 三、 拓展：整体思想在解方程中的应用 例3　材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n). 例：x2-4x-12=(x-6)(x+2). 材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原， 得原式=(x+y+1)2. 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的思想方法，请你解答下列问题： (1)根据材料1，把x2-x-2分解因式； 解　x2-x-2=(x-2)(x+1). 例3　材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n). 例：x2-4x-12=(x-6)(x+2). 材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原， 得原式=(x+y+1)2. 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的思想方法，请你解答下列问题： (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①已知：(x-y)2+4(x-y)+3=0，求x-y的值； 解　令x-y=M，则原方程变形为M2+4M+3=0，即(M+3)(M+1)=0，解得M=-3或M=-1，即x-y=-3或x-y=-1. 例3　材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n，则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n). 例：x2-4x-12=(x-6)(x+2). 材料2：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1. 解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原， 得原式=(x+y+1)2. 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的思想方法，请你解答下列问题： (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ②解方程：(m2+2)(m2+2-6)=-5. 解　设m2+2=N，则原方程变形为N(N-6)+5=0，即N2-6N+5=0，即(N-1)(N-5)=0，∴N=1或N=5.即m2+2=1或m2+2=5，即m1=，m2=-. 跟踪训练3　已知实数m，n满足(m2+n2+1)(m2+n2-1)=63，试求m2+n2的值. 解　设m2+n2=y， 则原方程可化为(y+1)(y-1)=63，即y2=64， 解得y=±8. ∵m2+n2≥0， ∴m2+n2=8. 课堂小结 1.用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程. 2.适合用因式分解求解的一元二次方程的形式. (1)提取公因式法：x2+bx=0 x(x+b)=0 (2)公式法：x2-k2=0 (x+k)(x-k)=0 x2±2ax+a2=0 (x±a)2=0 (3)十字相乘法：x2-(p+q)x+pq=0 (x-p)(x-q)=0 1.方程(x-1)(x-2)=2的根是 A.x1=1，x2=2 B.x1=-1，x2=-2 C.x=3 D.x1=0，x2=3 √ 解析　原方程可化为x2-3x+2=2，x2-3x=0， ∴x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3. 课堂练习 2.小新在学习解一元二次方程时做了下面几个填空题： (1)若x2=9，则x=3； (2)关于x的方程mx2+m2x=0(m≠0)，则x=-m； (3)方程2x(x+1)=x+1的解为x=±1.其中答案完全正确的有 A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个 √ 解析　(1)x2=9，则x=±3，故错误. (2)方程mx2+m2x=0，m≠0，则x=-m或x=0，故错误. (3)方程2x(x+1)=x+1的解为x=-1或x=，故错误. 正确的有0个. 课堂练习 3.一元二次方程(x-3)2=4(3-x)的解是____________.  x1=3，x2=-1 解析　(x-3)2=4(3-x)，(x-3)2+4(x-3)=0，(x-3)(x-3+4)=0， x-3=0或x-3+4=0，x1=3，x2=-1. 课堂练习 4.已知关于x的一元二次方程m(x-h)2-k=0(m，h，k均为常数，且m≠0)的解是x1=2，x2=5，则关于x的一元二次方程m(x-h+3)2=k的解是____________.  x3=-1，x4=2 解析　∵关于x的一元二次方程m(x-h)2-k=0(m，h，k均为常数，且m≠0)的解是x1=2，x2=5，即(x-h)2=的解为x1=2，x2=5. 令x+3=y，∴关于x的一元二次方程m(x-h+3)2=k化为m(y-h)2=k， ∵(x-h)2=的解为x1=2，x2=5，∴(y-h)2=的解为y1=2，y2=5，即x+3=2或x+3=5， ∴x3=-1，x4=2， ∴关于x的一元二次方程m(x-h+3)2=k的解是x3=-1，x4=2. 课堂练习 5.用合适的方法解下列一元二次方程： (1)=； 解　=，x-=±， 开方得x-=±， ∴x-=或x-=-， 解得x1=1，x2=-. 课堂练习 5.用合适的方法解下列一元二次方程： (2)x2-4x-5=0； 解　x2-4x-5=0， 分解因式得(x-5)(x+1)=0， ∴x-5=0或x+1=0， 解得x1=5，x2=-1. 课堂练习 5.用合适的方法解下列一元二次方程： (3)(3x-1)2=(x-1)2. 课堂练习 解　(3x-1)2=(x-1)2， 则(3x-1)2-(x-1)2=0， ∴(3x-1+x-1)(3x-1-x+1)=0， ∴(4x-2)×2x=0， ∴4x-2=0或2x=0， ∴x1=，x2=0. 谢谢观看 $