精品解析：陕西西安市第三中学2026-2027学年上学期八年级第一次学情自测数学试题

八年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，常用的无理数表达方式有：开不尽方的数，例如；用特殊字母表示的数，例如；有特殊规律的数，例如（每相邻的两个之间依次增加一个）. 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是开不尽方的数，是无理数，则是无理数； ，，，是无理数，共有4个． 2. 下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 8，15，17 C. 2，8，10 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，勾股数的定义是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；满足勾股定理（）的一组数，即为勾股数； 【详解】由题知，结合勾股数的定义，首先该组数为正整数，然后满足勾股定理； ∵A，D选项中的数不为整数，故不是勾股数； B选项是正整数；又满足勾股定理：，∴是勾股数； C选项是正整数；但是不满足勾股定理，∴不是勾股数； 故选：B； 【点睛】本题考查勾股数定义，关键在于能够熟练的掌握和计算； 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式加减需合并同类二次根式，乘除运算为被开方数乘除后化简，据此判断各选项正误． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误． C选项，，计算正确． D选项，，计算错误． 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理及三角形三边关系逐一分析各选项，判断是否能构成直角三角形． 【详解】A.，， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； B.设三边比例为， 即，，， 此时，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），因此无法构成三角形，更无法判定为直角三角形，故此选项符合题意； C. ，即，符合勾股定理， ， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； D.， 此三角形为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，结合最简二次根式可合并的条件列方程求解. 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 6. 如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再用两直角边的和减去斜边的长度即可得出少走的距离． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为． 这是一个直角三角形， 由勾股定理得：． 原路程为， 少走的距离为． 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 8. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 10. 已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，即可列方程求得x的值，进而求解． 【详解】解：根据题意得：3x-2+（5x+6）=0， 解得：x=， 则这个数是（3x-2）2=（）2=； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 11. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数大小比较，弄清无理数大小估算方法是解本题的关键．估算出的大小，即可判断出所求． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 13. 三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，进而得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， ，， ， ． 14. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共58分） 15. 计算： （1） （2）． （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式； （2） 分别计算算术平方根、立方根，再合并结果； （3） 利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项； （4） 先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； 【小问2详解】 解：， ， 的平方根是． 17. 如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，求中边上的高． 【答案】 【解析】 【分析】利用割补法可求出的面积，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设中边上的高为， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴中边上的高为． 18. 已知、、满足． （1）求、、的值； （2）以、、为边能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】（1），， （2）以、、为边能构成直角三角形，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：，，，， ， 解得， ，，； 【小问2详解】 解：以、、为边能构成直角三角形，理由如下： 由（1）知，，， ，， ， 以、、为边能构成直角三角形． 19. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积是多少？ 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得与平行，再由折叠的性质和平行线的性质推出，则可得到；设，则，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴与平行， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）________________； （2）化简． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对分式进行分母有理化，分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差运算求解； （2）将每一项分别分母有理化，利用相邻项抵消的规律简化求和； （3）先将分母有理化，再对所求代数式配方，整体代入计算求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 原式 ； 【小问3详解】 解： ， ， ， 即， ， ． 22. 探究解题 （1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，．线段的最大值是________． （2）应用：点为线段外一动点，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，若，，求出线段长的最大值并说明理由． （3）拓展：如图3，，，，，求线段最大值为___________________，此时的面积为______________． 【答案】（1） （2）线段长的最大值为， 理由：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， 即， 最大值为7， ∴线段长的最大值为； （3）， 【解析】 【分析】（1）根据即可确定线段的最大值； （2）根据得到，当点在线段的延长线上时，最大，即最大； （3）根据得到，当点在线段的延长线上时，最大，在中，根据勾股定理得，；再过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到的面积． 【小问1详解】 解：， ∵，， ∴， ∴的最大值是7； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，且，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵， 即， ∴线段长的最大值为； 在中，，根据勾股定理得， ， ∴， ∴线段最大值为； 过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数：，，，，，，（每相邻的两个之间依次增加一个），中，无理数的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 8，15，17 C. 2，8，10 D. 1，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 若最简二次根式与能合并，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 8. “勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的平方根是____． 10. 已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是 __________． 11. 比较大小：______1（填写“>”或“<”）． 12. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 13. 三国时期数学家赵爽用“弦图”给出了勾股定理的证明，如图，“弦图”是由四个全等直角三角形围成的正方形，直角三角形的直角边分别为，，斜边为，若大正方形的面积为，小正方形的面积为，则的值为________． 14. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 三、解答题（本题共8小题，共58分） 15. 计算： （1） （2）． （3） （4）． 16. 已知为9的算术平方根，2为的立方根． （1）求a、b的值； （2）求的平方根． 17. 如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，求中边上的高． 18. 已知、、满足． （1）求、、的值； （2）以、、为边能否构成直角三角形？请说明理由． 19. 如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积是多少？ 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ， ． ，． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）________________； （2）化简． （3）已知，求的值． 22. 探究解题 （1）发现：如图1，点为线段外一动点，且，．线段的最大值是________． （2）应用：点为线段外一动点，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，若，，求出线段长的最大值并说明理由． （3）拓展：如图3，，，，，求线段最大值为___________________，此时的面积为______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $