精品解析：陕西咸阳市淳化县马家初级中学2026-2027学年度第一学期课后综合作业（一）八年级数学

2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简含根号的数，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：∵ 是整数，也是整数，是有限小数，它们均属于有理数； ∵ ，是无限不循环小数，故是无理数，故选项D符合题意． 2. 81的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 4. 以下列各组数为三边长的三角形中是直角三角形的是（ ） A. 1，，4 B. ，4， C. 7，12，15 D. 1，1， 【答案】D 【解析】 【分析】验证各选项两短边平方和是否等于最长边平方，同时判断三边能否构成三角形． 【详解】解：A选项，最长边为4，，且，不能构成三角形，不符合题意． B选项，最长边为4，，且，不能构成三角形，不符合题意． C选项，最长边为15，，不是直角三角形，不符合题意． D选项，最长边为，，是直角三角形，符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，据此判断各选项． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意． 6. 如图，，点P表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，则，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， ∵， ∴点P表示的数是． 7. 如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于E，利用勾股定理逆定理可得，再利用角平分线性质求出，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 在中，， ， ， 平分，， ， ． 8. 《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 99寸 D. 101寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 取的中点，过作于，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取的中点，过作于，如下图 由题意得：； 设寸， 则寸，寸，寸， 寸， 在中， ， 即， 解得：, ∴， ∴寸， 故答案为：． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：______． 【答案】14 【解析】 【分析】先计算根号内的乘方，再进行开平方运算即可． 【详解】解： ∴． 10. 若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵是无理数 ∴符合条件的可以为． 11. 汉末三国初数学家、天文学家赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常将其称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，组成一个大正方形和一个小正方形．如图，已知，中间小正方形的面积为4，则大正方形的面积为______． 【答案】52 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，小正方形的边长， 直角三角形的直角边， 在中，， ， 大正方形的面积． 12. 在一个长、宽、高分别是的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（容器的厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意可知水的体积不变，长方体体积等于正方体体积，根据正方体体积公式，结合立方根的定义即可求出正方体容器的棱长． 【详解】解：设该正方体容器的棱长为， 长方体容器中水的体积为： 因为水恰好倒满正方体容器，因此正方体体积等于水的体积，可得： 开立方得． 13. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 【答案】135 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 14. 如图，在中，，，D为边的中点，于点E，与相交于点O，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，，求解，进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】，，先多项式乘多项式再进行计算． 【详解】解： 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和多项式除以单项式化简，再去括号，最后合并即可． 【详解】解： ． 18. 如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）5；10； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，据此可得是直角三角形． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ； 【小问2详解】 略 19. 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广，已知广播电视塔的高（单位：）与电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．已知某地广播电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径． 【答案】该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为． 【解析】 【分析】直接把已知地球半径、塔高代入关系式，先计算根号内的算式，再求算术平方根，得到传播半径． 【详解】解：当，时， ， 故该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径为． 20. 如图，在中．于点D，若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，从而求得，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴的面积为． 21. 已知的立方根是，的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用立方根与算术平方根的含义列方程求解即可； （2）求解，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：因为的立方根是， 所以， 解得． 因为的算术平方根是4， 所以， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得，． 所以． 所以的平方根为． 22. 如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明如下： ∵过点C作的垂线，垂足为H， ∵在中，， 在中，， 由题意得，设，则． ， ， 解得， ， ． ， ， ∴甲方案所修的水渠较短． 【解析】 【分析】设对，，运用勾股定理得到，然后建立方程求解，然后比较和即可． 【详解】解：略． 23. 如图，某农家乐有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为元 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形的周长； 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 解：由题意得，蔬菜地的面积， ∴销售收入（元）． 答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为元． 24. 如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）的长为 （2）是直角三角形， 理由如下：在中，，， 由勾股定理，可得， 在中，，， 由勾股定理，可得， 则， ， 故是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）设为未知数，利用表示出，在中根据勾股定理列方程，求解得到的长度； （2）通过勾股定理求出、，算出的长，再用勾股定理逆定理验证三边平方关系，判断的形状． 【小问1详解】 解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 故的长为． 【小问2详解】 略 25. 阅读以下材料并解决问题． 绿道驿站建设工程 背景 为完善绿道的配套服务，某社区计划修建一座休闲驿站，驿站的平面轮廓为四边形，其中B，C两点紧邻江边步道，A为驿站的主建筑点，D为观景平台． 测量数据 为确保施工安全，工程队对驿站地基进行了实地勘测，得到以下关键数据：主建筑点A到步道的垂直距离米，其中E恰好是的中点，米，米，米． （1）求步道段的长； （2）本次驿站建设需要对整个四边形地基铺设防滑地砖，若地砖的采购单价为每平方米50元，求四边形地基的总面积，及购买地砖的总费用． 【答案】（1）步道段的长为18米 （2）四边形地基的总面积为168平方米，购买地砖的总费用为元 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，再进一步求解即可； （2）连接，求解，再结合勾股定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为，所以． 因为米，米， 所以（米）． 因为E是的中点， 所以（米）． 答：步道段的长为18米． 【小问2详解】 解：如图，连接． 因为，E恰好是的中点，即垂直平分， 所以米． 因为米，米，米， 所以． 所以是直角三角形，且． 所以（平方米）． 因为（平方米）， 所以（平方米）， 即四边形地基的总面积为168平方米， 因为地砖的采购单价为每平方米50元，所以购买地砖的总费用为（元）． 26. 【问题提出】 如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈金属丝，下底面的点B在点A的正下方．求所需金属丝的最短长度． （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定点A，C的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题，如图②，在圆柱的侧面展开图中，点A，C对应的位置如图所示，利用勾股定理求出所需金属丝的最短长度为______； 【问题解决】 （2）如图③，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度； （3）如图④，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜，请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出最短路程．（木板的厚度忽略不计） 【答案】（1）20 （2）所需金属丝的最短长度为． （3）路线：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，即，最短路程为． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长的高为直角三角形的斜边长的4倍； （3）如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，进一步利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ∴， ∴所需金属丝的最短长度为， 【小问2详解】 解：因为将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A， 所以所需金属丝的最短长度是以底面周长的4倍和高为直角边的直角三角形的斜边长． 由勾股定理，得． 所以所需金属丝的最短长度为． 【小问3详解】 解：如图，先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以． 此时的值最小，即的值最小，则就是蚂蚁爬行的路线，即线段的长即为最短路程． 在中，． 由勾股定理，得． 所以最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一） 八年级数学（北师大版A） 注意事项：满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 81的平方根是（ ） A. 9 B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为三边长的三角形中是直角三角形的是（ ） A. 1，，4 B. ，4， C. 7，12，15 D. 1，1， 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，点P表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学代表作．书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思），一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，推开双门，双门间隙的距离为2寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），图2为图1放大后的平面示意图，则的长为（ ） A. 寸 B. 寸 C. 99寸 D. 101寸 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 计算：______． 10. 若m是无理数，且，请写出一个符合条件的m：______． 11. 汉末三国初数学家、天文学家赵爽利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理，后人通常将其称为“赵爽弦图”，该图由四个全等的直角三角形拼接而成，组成一个大正方形和一个小正方形．如图，已知，中间小正方形的面积为4，则大正方形的面积为______． 12. 在一个长、宽、高分别是的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（容器的厚度忽略不计），则该正方体容器的棱长为___________． 13. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 14. 如图，在中，，，D为边的中点，于点E，与相交于点O，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 计算：． 18. 如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． （1）直接写出___________，___________，___________； （2）判断的形状，并说明理由． 19. 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广，已知广播电视塔的高（单位：）与电视节目信号的传播半径（单位：）之间存在近似关系，其中是地球半径，．已知某地广播电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径． 20. 如图，在中．于点D，若，，求的面积． 21. 已知的立方根是，的算术平方根是4． （1）求a，b的值； （2）求的平方根． 22. 如图，A，B两块试验田相距200，C为水源地，，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C分别沿线段修筑两条水渠到A，B两块试验田． 乙方案：过点C作的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段修筑一条水渠到所在直线上，再从H分别沿线段向A，B两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 23. 如图，某农家乐有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块矩形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，矩形小鱼塘的长为，宽为． （1）矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）若市场上某种蔬菜9元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产10千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 24. 如图，在中，过点作于点，点在线段上，且．已知，，． （1）求线段的长； （2）试判断的形状，并说明理由． 25. 阅读以下材料并解决问题． 绿道驿站建设工程 背景 为完善绿道的配套服务，某社区计划修建一座休闲驿站，驿站的平面轮廓为四边形，其中B，C两点紧邻江边步道，A为驿站的主建筑点，D为观景平台． 测量数据 为确保施工安全，工程队对驿站地基进行了实地勘测，得到以下关键数据：主建筑点A到步道的垂直距离米，其中E恰好是的中点，米，米，米． （1）求步道段的长； （2）本次驿站建设需要对整个四边形地基铺设防滑地砖，若地砖的采购单价为每平方米50元，求四边形地基的总面积，及购买地砖的总费用． 26. 【问题提出】 如图①，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过上底面的点A和下底面上与点A相对的点C嵌有一圈金属丝，下底面的点B在点A的正下方．求所需金属丝的最短长度． （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定点A，C的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题，如图②，在圆柱的侧面展开图中，点A，C对应的位置如图所示，利用勾股定理求出所需金属丝的最短长度为______； 【问题解决】 （2）如图③，若将金属丝从点B沿圆柱侧面绕四圈到达点A，求所需金属丝的最短长度； （3）如图④，现有一个长、宽、高分别为，，（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点A处有一只蚂蚁，箱内的点C处有一滴蜂蜜，请你为蚂蚁设计一条路线，使其能以最短的路程吃到蜂蜜，并求出最短路程．（木板的厚度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $