2.2有理数的乘法与除法（思维导图+知识归纳+题型典例+能力提升练+课后练习）同步备课-2026-2027学年人教版七年级数学上册

彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的乘法运算 1 【题型1 两个有理数的乘法运算】 2 【题型2 多个有理数的乘法运算】 4 【题型3 有理数乘法运算的实际应用】 5 【题型4 倒数】 6 【题型5 有理数乘法运算律】 8 知识点二 有理数的除法运算 10 【题型6 有理数的除法运算】 10 【题型7 有理数的除法的应用】 11 【题型8 有理数乘除混合运算】 13 【题型9 有理数四则混合运算】 15 【题型10 有理数四则混合运算的实际应用】 15 【题型11 有理数乘除中的简便运算】 17 能力提升 19 课后检测 28 思维导图 知识点一 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 口诀：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．任何数与0相乘，积仍为0． （1）两数相乘：同号（正正、负负）相乘结果为正，异号（正负、负正）相乘结果为负，再将两个数的绝对值相乘。【例】 （2）特殊规则：0与任何有理数相乘，结果都为0；1与任何数相乘得原数，-1与任何数相乘得原数的相反数。 例： 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； 例： （2）乘法结合律：； 例： （3）乘法分配律：． 例： 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； 例：= = （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； 例：=0 （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 例： 4．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数（如：2与，与，与）． 【注】0没有倒数；倒数是它的本身的数有1或． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．（25-26七上·广西崇左·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 通过直接计算每个选项，判断其正确性，选项D中0乘以任何数应为0，而不是，因此错误． 【详解】解：A．，原计算正确； B．，原计算正确； C．，原计算正确； D．，原计算错误； 故选：D． 2．（2026九下·广西南宁·素质测试）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． 3．（2026九下·天津·学业考试）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的运算法则，只需利用0乘任何数都得0的性质计算即可． 【详解】解：． 4．（25-26七上·山西吕梁·月考）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（   ） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法法则和乘法法则；由可知x和y异号，即一个正数一个负数；再由可知正数的绝对值大于负数的绝对值． 【详解】解：， ∴ x 和 y 异号，即一个为正数，一个为负数，故选项A、B错误， ，且一个正数一个负数， ∴ 正数的绝对值大于负数的绝对值，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七上·湖南娄底·阶段练习）下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用有理数的乘法运算法则，根据同号得正，异号得负，乘以任何数为，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：选项，，结果是，不符合题意． 选项，结果是负数，不符合题意． 选项，，故该选项正确，符合题意． 选项，，结果是负数，不符合题意． 2．（25-26七上·广西梧州·学情自测）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 3．（25-26七上·云南昆明·阶段练习）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则可得另外两个数的积为正数，由此即可得． 【详解】解：∵四个数的积为负数，其中有两个数异号（这两个数的积为负数）， ∴另外两个数的积一定为正数， ∴另外两个数一定同号． 4．（25-26七上·河北衡水·期末考试）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 【题型3 有理数乘法运算的实际应用】 1．（25-26七上·广西南宁·月考）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，则攀登后，气温（   ） A．下降 B．下降 C．上升 D．上升 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键． 根据每登高气温下降，攀登后，气温下降，即可解答． 【详解】解：根据 “每登高气温的变化量为”知： 攀登后，气温变化量为： 变化量表示气温下降12． 故选：A． 2．（25-26七上·河南平顶山·期末考试）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用．分别计算与，即可知道小红体内血液质量所处的范围，根据选项即可作出判断． 【详解】解：由题意知，小红体内血液质量位于至之间， 由四个选项知，小红体内的血液质量可能为； 故选：C． 3．（25-26七上·云南昆明·期末考试）居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 【答案】C 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量260立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量260立方米＞240立方米，∴需分段计算： 第一阶梯水费：（元）， 第二阶梯水费：（元）， 第三阶梯水费：（元）， ∴总水费：（元）． 故选：C． 4．（25-26七上·湖北武汉·月考）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用．根据题意先计算涨价时的售价，再计算打折后的售价，即可求解． 【详解】解：元， 即每件商品还能盈利4元． 故选：C 【题型4 倒数】 1．（26-27七上·甘肃·阶段练习）若m的倒数是，则m是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的倒数是， ∴， ∴． 2．（26-27七上·广东东莞·质量检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．3和 B．和 C．3和 D．和 【答案】C 【分析】根据互为倒数的两数同号且乘积为1，先排除异号选项，再验证剩余选项． 【详解】解：∵ 互为倒数的两个数符号相同，且乘积为1． ∴ A选项：3与异号，排除； B选项：∵ ， ∴ ，不互为倒数； C选项：，互为倒数； D选项中与异号，排除； 3．（25-26七上·四川达州·质量检测）的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据乘积为的两个数互为倒数进行判断即可． 【详解】解：， ∵ ∴的倒数是． 故选：B． 4．（26-27七上·浙江杭州·月考）（浙江省杭州市余杭区2026-2027学年七年级上学期月考数学试题）如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是（     ） A．a和b B．b和c C．a和d D．b和d 【答案】C 【分析】根据数轴确定各点表示的数，利用倒数的定义进行判断． 【详解】解：由数轴得，，，， ∴有可能互为倒数的两个数是a和d． 【题型5 有理数乘法运算律】 1．（2026年·河北邢台市·中考二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 2．（26-27七上·陕西西安·阶段检测）（陕西省西安市航天菁英学校2025-2026学年上学期第一次诊断定心卷七年级数学）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 3．（25-26七上·广西百色·阶段检测）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 4．（25-26七上·广西百色·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 知识点二 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则： （1）运算法则：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． （2）运算转化要点：除号变为乘号，把除数变为它的倒数，把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 例： （3）特别的：0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 例：=0 2．有理数的四则混合运算法则： 1. 先算乘除，后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 4. 可灵活运用运算律调整计算顺序，简化运算。 【题型6 有理数的除法运算】 1．（25-26七上·湖南长沙·阶段练习）计算：（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数除法运算法则运算即可． 【详解】解：． 2．（25-26七上·河北邯郸·学情检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 3．（25-26七上·吉林辽源·期中考试）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵被除数为负数，运算结果为负数， ∴内的数应为正数，且不为0， 观察选项，只有B选项的符合要求． 4．（25-26八下·江西吉安·期中考试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【答案】B 【分析】观察数轴得：，可得，再根据有理数的除法法则解答即可． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴，即的值是正数． 【题型7 有理数的除法的应用】 1．（25-26八下·四川成都·分班考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 2．（25-26七上·山西晋城·阶段测评）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数除法运算的应用，先计算4名学生与标准成绩80分的差值的总和，再求平均值，最后加到80上得到平均成绩即可． 【详解】解：差值的和：， 差值的平均值：， ∴平均成绩：（分）． 故选：C． 3．（25-26七上·山东东营·期中考试）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的减法的实际应用，除法的实际应用，理解题意，列出正确的算式是解本题的关键. 先求解温度差，再利用这个温差除以下降的速度即可. 【详解】解：， （分）. 故选：A. 4．（25-26七上·广东汕尾·阶段检测）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．（25-26七上·广东惠州·阶段检测）（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解： ． 2．（26-27七上·湖北武汉·阶段检测）已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用乘除混合运算的去括号规则与同级交换律，化简各选项后与对比． 【详解】解：. 选项A：，与不相等； 选项B：； 选项C：； 选项D：． 3．（26-27七上·山东聊城·学情自测）计算 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（26-27七上·黑龙江哈尔滨·学情自测）计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 有理数四则混合运算】 1．（课本原题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据有理数的加减乘除运算法则和运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 【题型10 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 2．（2026年·江苏镇江·中考一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 3．（25-26七上·安徽六安·期末考试）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2026年为农历（     ）年． A．乙巳 B．丙午 C．乙午 D．丙巳 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，根据题目给出的天干、地支计算方法，列式计算后对照表格即可得出结果． 【详解】解：计算天干：，对照表格，序号3对应的天干为丙； 计算地支：，对照表格，序号7对应的地支为午， ∴2026年为农历丙午年， 故选：B． 4．（25-26七上·山西临汾·期末考试）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，根据题意列式，再计算即可. 【详解】解：由题意可得：. 故选：B 【题型11 有理数乘除中的简便运算】 1．（25-26七上·江苏苏州·期中考试）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)499 (2)7 (3)885 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律及裂项法是解题的关键. （1）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （2）把写成，再运用乘法分配律计算即可； （3）根据同分母分数加法运算法则进行计算，再变形，根据同分母分数加法运算法则，进行计算即可； （4）将原式变形为，然后裂项，再根据加法交换律和结合律，结合裂项法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：                   ； （3）解： ； （4）解： ． 能力提升 一、单选题 1．在算式6－|3□5|中的“□”里，填入运算符号，可使算式的值最大，这个符号是（     ） A．+ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】被减数固定，要使算式的值最大，需使的值最小． 【详解】解：选项A. ; 选项B. ; 选项 C. ; 选项D. ; ∵, ∴填入“”时算式的值最大． 2．一般情况下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某时景区山顶的气温为，则当时山脚的气温约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算海拔差，再计算降低的温度，用山顶温度加上降低温度即可得到山脚温度． 【详解】解：山脚与山顶的海拔差为， 对应气温下降值为， ∵ 山脚海拔低于山顶， ∴ 山脚气温高于山顶， ∴ 山脚气温为． 3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【详解】解：根据题意可知，对应的序号为4， 的余数是4， 为1， 对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， “”解密后对应的明文是． 4．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义计算即可求解． 【详解】解：． 5．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 6．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． 7．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 二、填空题 8．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 【答案】 【详解】解：设，拆分三段： 第一段：；第二段：；第三段：； 验证：：，拼接； ：，拼接； 计算：，拼接得． 9．定义的运算为，则________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. 10．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【分析】根据所给定义先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 则． 11．算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 三、解答题 12．简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： (1)计算：； (2)计算： (3)直接写出结果：= 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意将每一项进行裂项变形，通过中间项抵消简化计算； （2）将每一项裂项为两个分数的差并提取公因数，中间项抵消后计算剩余项； （3）先将各分数的分母改写为两个相差2的偶数的乘积，再用裂项相消法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 原式 ； （3）解：∵，，，…，， ∴原式 ． 14．规定一种运算“*”的运算法则：． (1)计算：与，此运算满足交换律吗？ (2)计算：与，此运算满足结合律吗？ 【答案】(1)和，满足交换律 (2)和，不满足结合律 【分析】（1）由“*”的运算法则，分别计算出与的值，再由，得出此运算满足交换律； （2）由“*”的运算法则，分别计算出与的值，再由，得出此运算不满足结合律． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵， ∴此运算满足交换律； （2）解： ， ， ∵， ∴此运算不满足结合律． 15．已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义，结合数轴上点的位置即可求解； （2）根据第（1）题的结果，求出和，再比较大小即可； （3）根据第（2）题的结果直接求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵a在原点左侧，b在原点右侧， ∴； （2）解：由（1）知，， 则， ∵， ∴； （3）解：原式 ． 课后检测 一、单选题 1．有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以的倒数是． 2．如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴确定 的正负及绝对值大小关系，结合有理数运算法则判断各选项． 【详解】解：由数轴可知 ，且 ． ，故 C 错误． ， ，故 B 正确． ∵， ∴， ，故 A 正确． 由图可知 ，故 D 正确． 3．已知，，并且，则的值是（     ） A． B．2 C．或8 D．或2 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质求出x、y，然后判断出x、y的对应情况，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴与异号， 当，时，； 当，时，； 则的值为或． 4．下列计算结果错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算后判断即可． 【详解】解：选项：，不正确； 选项：，正确； 选项：，正确； 选项：，正确． 5．计算：（     ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数除法运算法则运算即可． 【详解】解：． 6．《黑神话：悟空》的角色属性面板中，“披挂”等级每提升1级，防御力增加8点．若角色初始防御力为点（中毒状态下的减益值），等级提升5级后的防御力为（     ） A．点 B．16点 C．点 D．64点 【答案】B 【分析】用角色初始防御力加上等级提升增加的防御力即可得到答案． 【详解】解：（点）， ∴等级提升5级后的防御力为16点． 7．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 8．（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 二、填空题 9．绝对值小于的所有整数的积是_____． 【答案】 【分析】根据绝对值定义找出绝对值小于的所有整数，发现其中包含，利用0乘任何数结果为0计算最终的积． 【详解】解：∵绝对值小于的整数为，其中包含， ∴这些整数的积是． 10．定义一种新运算，，则算式______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，将对应数值代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴. 11．如图，现有5张写着不同数字的卡片，若从中取出2张卡片，乘积的最大值是________． 【答案】24 【分析】积的绝对值最大且异号的两个数相乘时积最小，积的绝对值最大且同号的两个数相乘时积最大，由此可解． 【详解】解：的积最大，． 12．已知A和B的乘积为1，那么________． 【答案】 【分析】已知，对所求式子利用分数乘法法则变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据分式乘法运算法则，可得 ， ∵ ， ∴ 原式． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产，一款哈尔滨红肠的市场指导价为50元，在实际销售过程中，由于生产经营成本和市场供求状况的影响，价格允许在元之间浮动．某商场计划在国庆节期间对该款红肠推出两种优惠方案（两种方案只能选择一种）． 方案一：每盒按九折销售； 方案二：每买5盒，送1盒． (1)该款红肠的售价最高是________元，最低是________元； (2)当该商场按最低价销售该款红肠时． ①王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ ②刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)52，48 (2)①每盒单价为42元； ②直接使用满888减168优惠券最划算． 买20盒，最低价48元． 方式1：直接用优惠券：（元），（元）， 方式2：只用方案二：每买5送1．买17盒送3盒得到20盒，（元）， 方式3：只用方案一：（元） ∵ 答：直接使用满888减168优惠券最划算，花费792元． 【分析】（1）根据市场指导价为50元，价格允许在元之间浮动即可求解． （2）①根据方案二算出总费用，然后再计算单价即可； ②分别计算出三种方案的费用，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：最高：（元）；最低：（元） （2）解：①最低价48元，方案二：买5送1．买8盒，实际付7盒． 总费用：（元）； 每盒单价：（元）． ②略； 15．对于有理数a，b定义运算：．例． (1)_________． (2)计算：． (3)定义的新运算“”交换律是否还成立？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：新运算“”的交换律成立． 理由：∵ ， ， 又∵ 有理数乘法中， ∴ ，即新运算“◎”的交换律成立． 【分析】（1）将代入新定义运算式，按有理数运算法则计算即可； （2）按照先内后外的运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算外层的新运算即可； （3）分别写出与的表达式，再比较二者是否相等即可判断新运算“◎”的交换律是否成立． 【详解】（1）解：将代入得： ． （2）解： ． （3）略 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $彭老师数学工作室 第二章：有理数的运算 2.2有理数的乘法与除法 内容导航 思维导图 1 知识点一 有理数的乘法运算 1 【题型1 两个有理数的乘法运算】 2 【题型2 多个有理数的乘法运算】 3 【题型3 有理数乘法运算的实际应用】 3 【题型4 倒数】 4 【题型5 有理数乘法运算律】 4 知识点二 有理数的除法运算 5 【题型6 有理数的除法运算】 6 【题型7 有理数的除法的应用】 6 【题型8 有理数乘除混合运算】 7 【题型9 有理数四则混合运算】 7 【题型10 有理数四则混合运算的实际应用】 8 【题型11 有理数乘除中的简便运算】 9 能力提升 10 课后检测 13 思维导图 知识点一 有理数的乘法运算 1．有理数的乘法运算法则 口诀：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘．任何数与0相乘，积仍为0． （1）两数相乘：同号（正正、负负）相乘结果为正，异号（正负、负正）相乘结果为负，再将两个数的绝对值相乘。【例】 （2）特殊规则：0与任何有理数相乘，结果都为0；1与任何数相乘得原数，-1与任何数相乘得原数的相反数。 例： 2．有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：； 例： （2）乘法结合律：； 例： （3）乘法分配律：． 例： 3．有理数乘法运算技巧： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正； 例：= = （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0； 例：=0 （3）在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约分．简记为：化小为分，化带为假． 例： 4．倒数：乘积为的两个有理数互为倒数（如：2与，与，与）． 【注】0没有倒数；倒数是它的本身的数有1或． 【题型1 两个有理数的乘法运算】 1．（25-26七上·广西崇左·月考）下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026九下·广西南宁·素质测试）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2026九下·天津·学业考试）计算的结果等于（     ） A．0 B．1 C． D． 4．（25-26七上·山西吕梁·月考）如果两个有理数x，y满足，且，那么下列说法正确的是（   ） A．x，y都是正数 B．x，y都是负数 C．x，y中一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．x，y中一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【题型2 多个有理数的乘法运算】 1．（25-26七上·湖南娄底·阶段练习）下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七上·广西梧州·学情自测）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·云南昆明·阶段练习）如果四个数的积为负数，其中有两个数异号，则另外两个数（　　） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定也异号 D．一定同号 4．（25-26七上·河北衡水·期末考试）四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【题型3 有理数乘法运算的实际应用】 1．（25-26七上·广西南宁·月考）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负．登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，则攀登后，气温（   ） A．下降 B．下降 C．上升 D．上升 2．（25-26七上·河南平顶山·期末考试）人体的血液的质量约占人体的至之间．已知小红的体重为，则她体内的血液质量可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·云南昆明·期末考试）居民生活用水通常按户计费．某城市居民生活用水的收费标准实行年度阶梯水价，计费标准如下表： 收费方式 年用水量 费用（元） 第一阶梯 第二阶梯 6 第三阶梯 240以上 8 若某用户居民当年用水量为，则该用户居民需缴纳水费（　　） A．1580元 B．1420元 C．1330元 D．1250元 4．（25-26七上·湖北武汉·月考）一件商品进价为100元，商家先在进价的基础上增加定为售价，后来由于库存积压商家决定每件商品打八折出售，则每件商品还能盈利（    ） A．130 B．104 C．4 D．30 【题型4 倒数】 1．（26-27七上·甘肃·阶段练习）若m的倒数是，则m是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七上·广东东莞·质量检测）下列各组数中，互为倒数的是（     ） A．3和 B．和 C．3和 D．和 3．（25-26七上·四川达州·质量检测）的倒数是（     ） A．2027 B． C． D．2026 4．（26-27七上·浙江杭州·月考）（浙江省杭州市余杭区2026-2027学年七年级上学期月考数学试题）如图，在数轴上有a、b、c、d四个数，有可能互为倒数的两个数是（     ） A．a和b B．b和c C．a和d D．b和d 【题型5 有理数乘法运算律】 1．（2026年·河北邢台市·中考二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 2．（26-27七上·陕西西安·阶段检测）（陕西省西安市航天菁英学校2025-2026学年上学期第一次诊断定心卷七年级数学）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七上·广西百色·阶段检测）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 4．（25-26七上·广西百色·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二 有理数的除法运算 1．有理数除法运算法则： （1）运算法则：一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．，． （2）运算转化要点：除号变为乘号，把除数变为它的倒数，把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 例： （3）特别的：0除以任何不为0的数，结果为0；0不能作为除数。 例：=0 2．有理数的四则混合运算法则： 1. 先算乘除，后算加减； 2. 有括号先算括号内的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）； 3. 同级运算（只有加减或只有乘除），从左到右依次计算； 4. 可灵活运用运算律调整计算顺序，简化运算。 【题型6 有理数的除法运算】 1．（25-26七上·湖南长沙·阶段练习）计算：（     ） A．4 B． C． D． 2．（25-26七上·河北邯郸·学情检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 3．（25-26七上·吉林辽源·期中考试）若□的运算结果为负数，则□内的数字可以为（     ） A． B．3 C．0 D． 4．（25-26八下·江西吉安·期中考试）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0 【题型7 有理数的除法的应用】 1．（25-26八下·四川成都·分班考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（25-26七上·山西晋城·阶段测评）一次数学达标检测的成绩以80分为标准，“腾飞”小组4名学生的成绩与标准成绩的差（单位：分）如下：，，，．则他们的平均成绩为（    ） A．79分 B．80分 C．81分 D．84分 3．（25-26七上·山东东营·期中考试）已知酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里（平均每分钟温度可降低），则要使这杯酒精刚好冻结，需要（   ） A．88分钟 B．78分钟 C．70分钟 D．68分钟 4．（25-26七上·广东汕尾·阶段检测）如题图，在一张日历表中，任意涂出一个竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【题型8 有理数乘除混合运算】 1．（25-26七上·广东惠州·阶段检测）（    ） A．2 B． C．1 D．4 2．（26-27七上·湖北武汉·阶段检测）已知，，，都是非的自然数，设，那么与不相等的算式是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七上·山东聊城·学情自测）计算 (1)． (2)． 4．（26-27七上·黑龙江哈尔滨·学情自测）计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【题型9 有理数四则混合运算】 1．（课本原题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型10 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（25-26七上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 2．（2026年·江苏镇江·中考一模）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 3．（25-26七上·安徽六安·期末考试）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断2026年为农历（     ）年． A．乙巳 B．丙午 C．乙午 D．丙巳 4．（25-26七上·山西临汾·期末考试）《九章算术》中记载“今有上八人，下六人，上每人得钱五，下每人出钱三，问余钱几何？”（注：“上”指收入，“下”指支出，收入为正，支出为负）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型11 有理数乘除中的简便运算】 1．（25-26七上·江苏苏州·期中考试）计算 (1) (2) (3) (4) 能力提升 一、单选题 1．在算式6－|3□5|中的“□”里，填入运算符号，可使算式的值最大，这个符号是（     ） A．+ B．－ C．× D．÷ 2．一般情况下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某时景区山顶的气温为，则当时山脚的气温约为（     ） A． B． C． D． 3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 4．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 7．数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．某校园餐厅把密码做成了数学题，小聪在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了学子餐厅的网络，那么他输入的密码是__________． 账号： 密码 9．定义的运算为，则________． 10．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 11．算式 的计算结果的整数部分为_____． 三、解答题 12．简便运算： (1)； (2)． 13．【阅读理解】观察下列各式：；；； 我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似地，对于，可以用裂项的方法变形为． 【初步应用】 类比上述方法，解答下列各题： (1)计算：； (2)计算： (3)直接写出结果：= 14．规定一种运算“*”的运算法则：． (1)计算：与，此运算满足交换律吗？ (2)计算：与，此运算满足结合律吗？ 15．已知有理数a，b在数轴上的位置，a在原点左侧，b在原点右侧，且． (1)求a和b的值； (2)比较和的大小； (3)计算的值． 课后检测 一、单选题 1．有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 2．如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，并且，则的值是（     ） A． B．2 C．或8 D．或2 4．下列计算结果错误的是（     ） A． B． C． D． 5．计算：（     ） A．4 B． C． D． 6．《黑神话：悟空》的角色属性面板中，“披挂”等级每提升1级，防御力增加8点．若角色初始防御力为点（中毒状态下的减益值），等级提升5级后的防御力为（     ） A．点 B．16点 C．点 D．64点 7．下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 8．（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．绝对值小于的所有整数的积是_____． 10．定义一种新运算，，则算式______． 11．如图，现有5张写着不同数字的卡片，若从中取出2张卡片，乘积的最大值是________． 12．已知A和B的乘积为1，那么________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)． 14．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产，一款哈尔滨红肠的市场指导价为50元，在实际销售过程中，由于生产经营成本和市场供求状况的影响，价格允许在元之间浮动．某商场计划在国庆节期间对该款红肠推出两种优惠方案（两种方案只能选择一种）． 方案一：每盒按九折销售； 方案二：每买5盒，送1盒． (1)该款红肠的售价最高是________元，最低是________元； (2)当该商场按最低价销售该款红肠时． ①王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ ②刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 15．对于有理数a，b定义运算：．例． (1)_________． (2)计算：． (3)定义的新运算“”交换律是否还成立？请判断并说明理由． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $