精品解析：陕西西安市碑林区西安市工业大学附属中学2026-2027学年上学期八年级第一次月考数学试题

数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，据此结合有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，均为有理数； 是有理数， 开方开不尽，是无理数． 2. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减乘除运算法则，逐一判断选项即可得到答案. 【详解】解：对于A选项：∵二次根式乘法满足 ∴，计算正确； 对于B选项：∵和不是同类二次根式，无法合并， ∴计算错误； 对于C选项：∵二次根式除法满足 ∴，计算正确； 对于D选项：∵ ∴，计算正确 3. 如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：，， 为两个直角三角形的斜边， 故选：B． 4. 有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 【详解】解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质、两点的距离公式，熟记垂直于x轴(或平行于y轴)的直线上的点横坐标相等是解题关键． 根据题意可设，点B可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】轴，， 点A，B的横坐标相等，即点B的横坐标为， 设点， ， ， 解得∶或， 点 B的坐标是或， 故选：C． 6. 如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 7. 若是整数，且有意义，则的值是（ ） A. 1或3 B. 0或1 C. 2或 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽用“青朱出入图”的剪拼方法直观证明了勾股定理．这种“以盈补虚”的思路被称为出入相补法（“出”即为剪出，“入”即为补入），是中国古代数学的瑰宝．某学习小组受到启发，将如图放置的两个边长不等正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．（例：青出①为剪出部分，补入到青入①）若，正方形纸片边长为4，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可得，设，结合，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵正方形边长为4，正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，即， ∴. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 10. 比较大小：__________1．（填“”“”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再利用作差法比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 11. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了已知点的象限求点的坐标，求点到坐标轴的距离．根据第四象限点的坐标特征和点到x轴的距离定义，列出方程，进行求解，即可作答． 【详解】解：∵点在第四象限内，且到轴距离为2， ∴， 解得， 当时，，符合题意，故的值为2 故答案为：2 12. 如图，在矩形中，，有一点P从点B出发，按的顺序运动，若点P在线段上，设点P运动的距离为x，的面积为y，写出y关于x的函数表达式______．（不必写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，即． 13. 如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架的长度为，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是做出辅助线，将点B到的距离转化为点B到的距离． 做出辅助线，根据角平分线的性质可得，再根据勾股定理可得的长度，再由面积相等求解即可． 【详解】解：过点B作交于点E，过点B作交于点F，如图， ∵平分，且，， ∴， 在中，， 由勾股定理可得，， 在中，， 即，解得， ∴， ∴点B到的距离是． 故答案为： ． 14. 如图，，在中，，点分别为线段上的动点，且，请求出的最小值__________． 【答案】 【解析】 【分析】在直线上截取，过点B作交直线于点G，连接，证明，得到；求出的长，可推出当B、E、K三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在直线上截取，过点B作交直线于点G，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； ∵， ∴当B、E、K三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴的最小值为． 三、解答题（共7小题，计58分．解答应写出过程） 15. 计算 （1）． （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先利用负整数次幂、绝对值、二次根式的乘法运算法则计算，然后再合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （3）先利用完全平方公式、平方差公式计算，然后再合并同类二次根式即可； （4）先利用二次根式的性质、零次幂化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　 　，B　 　． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 解：如图，是所求作的三角形， （3）6 【解析】 【分析】（1）根据在坐标系内的位置直接写出的坐标即可； （2）分别确定关于轴的对称点 再顺次连接即可； （3）由长方形的面积减去周围三角形的面积即可得到答案. 【小问1详解】 解：根据在坐标系内的位置可得： 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 【点睛】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，坐标系内三角形面积的计算，掌握“画关于轴对称的图形及利用间接的方法求解坐标系内三角形的面积”是解本题的关键. 17. 一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． （1）写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； （2）若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 【答案】（1）与的关系式为，的取值范围是 （2）汽车已行驶了 【解析】 【分析】（1）用油箱中现有的油量减去行驶消耗的油量即可得到对应的关系式，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将剩余油量代入关系式，求解对应的行驶里程． 【小问1详解】 解：由题意得，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：汽车已行驶了． 18. 如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理即可求得； （2）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ 答：四边形的面积为18． 19. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2） 木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：略． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）连接，当为何值时，为等腰三角形； （3）当在线段上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得m，n的值，即可求解； （2）根据为等腰三角形且可得出，然后列出关于的方程求解即可； （3）根据全等三角形的性质，分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵ ∴A、C两点的坐标分别为，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动， ∴， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， 解得或， 即当或时，为等腰三角形； 【小问3详解】 解：当P在线段上运动时，在y轴上存在点Q，使与全等， 当时，，此时， ∴Q点的坐标为或； ②当时，，此时， ∴Q点的坐标为或． 综上所述：Q点的坐标为或或或． 21. 如图，在矩形中，将矩形折叠，使落在边（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或者边（含端点）交于，然后再展开铺平，则以为顶点的称为矩形的“折痕三角形”． （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是一个__________三角形； （2）如图，在矩形中，，当它的“折痕”的顶点位于的中点时，画出这个“折痕”，并求出点的坐标； （3）如图，在矩形中，，该矩形是否存在面积最大的“折痕”？若存在，说明理由，并求出此时点的坐标？若不存在，为什么？ 【答案】（1）等腰 （2），； （3）存在，面积最大的“折痕”；点的坐标或 【解析】 【分析】（1）由折叠得，即可得出是等腰三角形； （2）画出图形，证明四边形是正方形，即可得结论； （3）分两种情况：①当在上时，当点与点重合时“折痕”面积最大，作于，证明四边形是矩形进而求得点的坐标； ②当点在上时，结合图形求解． 【小问1详解】 解：由折叠得， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：如图， 矩形， ，， 是的中点， ， 点在的垂直平分线上， 点也在的垂直平分线上， 是对称轴， 由折叠的性质得， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ； 【小问3详解】 解：存在，面积最大的“折痕”； ①当在上时，如图， ，即， 当点与点重合时“折痕”面积最大， 作于， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 中，， ， ； ②当点在上时，如图， 过作交于点，交于， ， 当为中点时，“折痕”面积最大，此时点与点重合， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五根小棒的长度分别是，，，，．现要将它们摆成两个直角三角形，下列摆法中符合要求的是（ ） A. B. C. D. 4. 有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 在平面直角坐标系中， 轴，， 若点， 则点 B的坐标是（ ） A. ) B. C. 或 D. 或 6. 如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（ ） A. B. C. D. 7. 若是整数，且有意义，则的值是（ ） A. 1或3 B. 0或1 C. 2或 D. 0或 8. 我国魏晋时期数学家刘徽用“青朱出入图”的剪拼方法直观证明了勾股定理．这种“以盈补虚”的思路被称为出入相补法（“出”即为剪出，“入”即为补入），是中国古代数学的瑰宝．某学习小组受到启发，将如图放置的两个边长不等正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．（例：青出①为剪出部分，补入到青入①）若，正方形纸片边长为4，则（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 4的算术平方根是__________． 10. 比较大小：__________1．（填“”“”或“=”）． 11. 在平面直角坐标系中，点在第四象限内，且到轴距离为2，则的值为______． 12. 如图，在矩形中，，有一点P从点B出发，按的顺序运动，若点P在线段上，设点P运动的距离为x，的面积为y，写出y关于x的函数表达式______．（不必写出自变量的取值范围） 13. 如图1是一个可调节平板支架，其结构示意图如图2所示，已知平板宽度为，支架的长度为，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是___________． 14. 如图，，在中，，点分别为线段上的动点，且，请求出的最小值__________． 三、解答题（共7小题，计58分．解答应写出过程） 15. 计算 （1）． （2）； （3）； （4）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在网格的格点上． （1）写出点A，B的坐标：A　 　，B　 　． （2）在图中作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． （3）求△ABC的面积． 17. 一辆汽车的油箱中现有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：）随行驶里程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为． （1）写出y与x之间的关系式，并写出x的取值范围； （2）若油箱中的剩余油量为，则汽车已行驶了多少千米？ 18. 如图，我校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，给八年级的学生分别种“番茄”和“土豆”．经测量，，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 19. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、两点的坐标分别为，且，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）求两点的坐标； （2）连接，当为何值时，为等腰三角形； （3）当在线段上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，在矩形中，将矩形折叠，使落在边（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或者边（含端点）交于，然后再展开铺平，则以为顶点的称为矩形的“折痕三角形”． （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是一个__________三角形； （2）如图，在矩形中，，当它的“折痕”的顶点位于的中点时，画出这个“折痕”，并求出点的坐标； （3）如图，在矩形中，，该矩形是否存在面积最大的“折痕”？若存在，说明理由，并求出此时点的坐标？若不存在，为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $