第2章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东昌府区校级开学）下列各方程是一元二次方程的是（　　） A． B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2+1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣5＝0 2．（2026•扶绥县校级开学）下列方程中，有实数根的是（　　） A．x2+3＝0 B．x2﹣5＝0 C．﹣x2＝3 D．x2＝﹣1 3．（2026春•海淀区校级期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝﹣7 4．（2026•南岗区校级一模）某商品经过连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元，则平均每次提价的百分率为（　　） A．25% B．40% C．18% D．36% 5．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 6．（2026•连南县模拟）若关于方程ax2+4x+a＝0有且只有一个实数根，则实数a的值是（　　） A．a＝0，a＝±2 B．a＝±2 C．a＝2 D．a＝0 7．（2026春•文登区期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为x元，可列方程为（　　） A． B．（x﹣40）[500﹣2（x﹣50）×10]＝9000 C． D．（50﹣40﹣x）（500﹣10×2x）＝9000 8．（2026春•荣成市期末）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 9．（2026春•东平县期末）如图，公园中有一块长为20m，宽为15m的矩形场地，场地中间有3块面积都是84m2的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3 B．（15﹣4x）（20﹣2x）＝84×3 C．4×15x+2×20x＝20×15﹣84×3 D．2×15x+4×20x＝20×15﹣84×3 10．（2026春•成武县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的（　　） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•碑林区校级月考）若（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_______ ． 12．（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为_______ ． 13．（2027•宽城区校级开学）某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为x，则可列方程为____________________ ． 14．（2026秋•丰南区校级月考）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k＝________ ． 15．（2025秋•沛县期末）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 ________________ ． 16．（2026秋•同步）如图，一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．当点P的坐标为____________________ 时，矩形OCPD的面积为2． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•玉门市校级月考）解方程： （1）x2﹣5x+1＝0； （2）25（x﹣1）2＝1； （3）3x（x﹣2）＝2x﹣4； （4）求方程2x2﹣4x+1＝0与x2+3x﹣1＝0所有实数根之和． 18．（2026秋•清水县校级月考）已知关于x的方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，求m的值及该方程的另一个根． 19．（2026秋•玉门市校级月考）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值； （2）若菱形的周长为20，AC与BD交于O，OA与OB的长分别是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两根．求m的值． 20．（2026春•天宁区校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为18m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为320m2．求停车场内车道的宽度？ 21．（2026秋•拱墅区校级月考）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，2024年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客近1000万人次，2026年“五一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗7元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗． （1）求出2024年至2026年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚6000元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 22．（2025秋•市中区期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为___________ ； （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点； ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值； （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 第2章一元二次方程精选题练习卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•东昌府区校级开学）下列各方程是一元二次方程的是（　　） A． B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2+1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣5＝0 【解答】解：A.，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故选项A不符合题意； B．（x﹣1）（x﹣2）＝x2+1，展开，整理，得﹣3x+1＝0，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C．ax2+bx+c＝0（a≠0）时，是一元二次方程，故选项C不符合题意； D．x2﹣5＝0，是一元二次方程，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（2026•扶绥县校级开学）下列方程中，有实数根的是（　　） A．x2+3＝0 B．x2﹣5＝0 C．﹣x2＝3 D．x2＝﹣1 【解答】解：将各选项方程整理为x2＝p的形式，再根据根的判别式逐项分析判断如下： A、x2+3＝0，移项，得x2＝﹣3， ∵﹣3＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、x2﹣5＝0，移项，得x2＝5， ∵5＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、﹣x2＝3，系数化为1，得x2＝﹣3， ∵﹣3＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、x2＝﹣1， ∵﹣1＜0， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．（2026春•海淀区校级期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝﹣7 【解答】解：由题意得，x2﹣6x＝﹣2， x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7． 故选：B． 4．（2026•南岗区校级一模）某商品经过连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元，则平均每次提价的百分率为（　　） A．25% B．40% C．18% D．36% 【解答】解：设提价的百分率为x，连续两次提价，售价由原来的每件16元提高到每件25元， 根据题意可列方程为16（1+x）2＝25， 解方程得x1＝0.25，x2＝﹣2.25（舍）． ∴每次降价得百分率为25%． 故选：A． 5．（2026春•陇南月考）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离h（米）与时间（t）的关系为g为重力加速度，g＝10m/s2）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（　　） A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【解答】解：由题意，h＝125m，g＝10m/s2，代入公式得， ， 化简得125＝5t2， 整理得t2＝25， ∵时间t为正数， ∴t＝5， 答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒， 故选：C． 6．（2026•连南县模拟）若关于方程ax2+4x+a＝0有且只有一个实数根，则实数a的值是（　　） A．a＝0，a＝±2 B．a＝±2 C．a＝2 D．a＝0 【解答】解：需对二次项系数a分类讨论如下： 当a＝0时，原方程化简为4x＝0，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当a≠0时，原方程是一元二次方程，即使根的判别式Δ＝0，方程也有一个实数根，符合题意， 故选：A． 7．（2026春•文登区期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为x元，可列方程为（　　） A． B．（x﹣40）[500﹣2（x﹣50）×10]＝9000 C． D．（50﹣40﹣x）（500﹣10×2x）＝9000 【解答】解：根据题意可列方程为． 故选：A． 8．（2026春•荣成市期末）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则该方程的根是（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣4，x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．无法确定 【解答】解：当x＝2时，代入方程左边得a•22+b•2+c＝4a+2b+c， 由题可知4a+2b+c＝0， ∴x＝2是方程的根， 当x＝﹣2时，代入方程左边得a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c＝4a﹣2b+c， 由题可知4a﹣2b+c＝0， ∴x＝﹣2是方程的根 ∴方程的根为x1＝2，x2＝﹣2． 故选：C． 9．（2026春•东平县期末）如图，公园中有一块长为20m，宽为15m的矩形场地，场地中间有3块面积都是84m2的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为xm，根据题意可列方程为（　　） A．（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3 B．（15﹣4x）（20﹣2x）＝84×3 C．4×15x+2×20x＝20×15﹣84×3 D．2×15x+4×20x＝20×15﹣84×3 【解答】解：根据题意得：（20﹣4x）（15﹣2x）＝84×3， 故选：A． 10．（2026春•成武县期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB边以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的（　　） A．1.5 B．2 C．3或1.5 D．3 【解答】解：∵AC＝8cm，BC＝4cm，∠C＝90°， ∴， 依题意，CP＝t，CQ＝AC﹣2t＝8﹣2t， ∴． ∵△PCQ的面积是△ABC面积的， ∴， 解得t1＝t2＝2． 答：当t＝2s时，△PCQ的面积是△ABC面积的． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•碑林区校级月考）若（m﹣2）x|m|+2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意可得： ， 由|m|＝2解得m＝2或m＝﹣2又由m﹣2≠0得m≠2， ∴m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．（2026秋•重庆校级同步）已知方程：x2﹣5x﹣36＝0的两根为m、n，则代数式m2﹣4m+n的值为　41　 ． 【解答】解：由条件可知m2﹣5m﹣36＝0， 即 m2﹣5m＝36， 由根与系数的关系可知m+n＝5， ∴m2﹣4m+n＝（m2﹣5m）+（m+n）＝36+5＝41． 故答案为：41． 13．（2027•宽城区校级开学）某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为x，则可列方程为　1000（1+x）2＝1640　 ． 【解答】解：由题意得：1000（1+x）2＝1640， 故答案为：1000（1+x）2＝1640． 14．（2026秋•丰南区校级月考）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k＝　6或7　 ． 【解答】解：∵a、b、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当a＝4或b＝4时，即x＝4， ∴方程为42﹣6×4+k+2＝0， 解得：k＝6， 当a＝b时，即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0， 解得：k＝7， 综上所述，k的值等于6或7， 故答案为：6或7． 15．（2025秋•沛县期末）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 x（x+12）＝864　 ． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 16．（2026秋•同步）如图，一次函数y＝﹣2x+5的图象交x轴于点A，交y轴于点B，在线段AB上有一动点P（不与点A，B重合），过点P分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．当点P的坐标为　（2，1）或　 时，矩形OCPD的面积为2． 【解答】解：∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y＝﹣2x+5， ∴设点P的坐标为（m，﹣2m+5）（0＜m＜2.5）， ∴OC＝m，OD＝﹣2m+5． ∵矩形OCPD的面积为2， ∴m（﹣2m+5）＝2， ∴2m2﹣5m+2＝0， ∴m1＝2，， ∴点P的坐标为（2，1）或， 故答案为：（2，1）或． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•玉门市校级月考）解方程： （1）x2﹣5x+1＝0； （2）25（x﹣1）2＝1； （3）3x（x﹣2）＝2x﹣4； （4）求方程2x2﹣4x+1＝0与x2+3x﹣1＝0所有实数根之和． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝25﹣4＝21＞0， ∴， ∴，； （2）原方程整理得： ， 则， ∴，； （3）原方程移项可得： 3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）（3x﹣2）＝0， ∴x﹣2＝0或3x﹣2＝0， ∴x1＝2，； （4）对于2x2﹣4x+1＝0，Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝16﹣8＝8＞0，则方程的两个实数根x1、x2满足； 对于x2+3x﹣1＝0，Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，则方程的两个实数根x3、x4满足； ∴方程2x2﹣4x+1＝0与x2+3x﹣1＝0所有实数根之和为： x1+x2+x3+x4＝2+（﹣3）＝﹣1． 18．（2026秋•清水县校级月考）已知关于x的方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）求证：不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为x＝0，求m的值及该方程的另一个根． 【解答】（1）证明：∵x2﹣2mx+2m﹣2＝0， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣2）＝4（m﹣1）2+4， ∵无论m取何实数，4（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2+4≥4＞0，即Δ＞0， ∴不论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将x＝0代入方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0，得： 02﹣2m×0+2m﹣2＝0， 解得m＝1， 将m＝1代入方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0，得： x2﹣2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， ∴m的值为1，方程的另一个根为2． 19．（2026秋•玉门市校级月考）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根． （1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值； （2）若菱形的周长为20，AC与BD交于O，OA与OB的长分别是关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两根．求m的值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2+5）＝8m﹣16≥0， ∴m≥2， 由根与系数的关系得x1+x2＝2（m+1），， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝28， ∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28， ∴m2﹣2m﹣24＝0， ∴（m﹣6）（m+4）＝0， ∴m1＝6，m2＝﹣4， ∵m≥2， m＝6， （2）如图： ∵菱形ABCD周长为20， ∴菱形边长＝20÷4＝5， ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴OA⊥OB， ∴OA2+OB2＝52＝25， 由条件可知OA+OB＝2（m+1），OA•OB＝m2+5， ∵OA2+OB2＝（OA+OB）2﹣2•OA•OB， ∴[2（m+1）]2﹣2（m2+5）＝25， ∴4（m2+2m+1）﹣2m2﹣10＝25， ∴2m2+8m﹣31＝0， ∴， ∵m≥2， ∴． 20．（2026春•天宁区校级期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为18m，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为320m2．求停车场内车道的宽度？ 【解答】解：设停车场内车道的宽度为xm， 根据题意列一元二次方程可得：（40﹣x）（18﹣x）＝320， 解得x1＝8，x2＝50（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为8m． 21．（2026秋•拱墅区校级月考）因各大社交媒体的传播，景德镇已成为最著名的网红旅游城市之一，2024年“五一”黄金周期间，景德镇接待游客近1000万人次，2026年“五一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，千年瓷都景德镇美食无数，一家特色冷粉店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该冷粉的成本价为每碗7元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗． （1）求出2024年至2026年“五一”长假期间游客人次的年平均增长率； （2）店员小瓷认为，按照薄利多销的原则，如果多降点价，那店里每天至少能赚6000元；你认为小瓷的想法对吗？如果不对，那么店家每天最多能赚多少元． 【解答】解：（1）设2024年至2026年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为x，由题意可得： 1000（1+x）2＝1690， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）， 答：2024年至2026年“五一”黄金周期间游客人次的年平均增长率为30%； （2）设每碗冷粉降价x元，店家每天的总利润为y元，由题意可得： 单碗利润为（18﹣x）元，销售量为（300+30x）碗，自变量x的取值范围为0≤x≤18， ∴y＝（18﹣x）（300+30x） ＝﹣30x2+240x+5400 ＝﹣30（x﹣4）2+5880， ∵﹣30＜0，且x＝4满足0≤x≤18， ∴当x＝4时，y取得最大值，最大值为5880， ∵5880＜6000， ∴小瓷的想法不对，店家每天最多能赚5880元． 答：小瓷的想法不对，店家每天最多能赚5880元． 22．（2025秋•市中区期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为　（﹣2，0）　 ； （2）若关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0有衍生点； ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差2，求q的值； （3）已知不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点G始终在直线y＝kx+3（2﹣k）上，求b，c的值． 【解答】解：（1）方程左边分解因式，得x（x+2）＝0， ∴x+2＝0或x＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0， ∴方程x2+2x＝0的衍生点P的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0）； （2）①根据题意可得： ， 即， 解得且q≠0； ②设关于x的一元二次方程qx2﹣x+1＝0的两个实数根分别为m，m+2， 则， ∴2m+2＝m2+2m， 解得， 当时，， 当时，， 综合，q的值为或； （3）∵y＝kx+3（2﹣k）＝k（x﹣3）+6， ∴直线过定点M（3，6）， ∴方程x2+bx+c＝0的两个实数根为x1＝3，x2＝6， ∴， ， ∴b＝﹣9，c＝18． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $