精品解析：河南郑州市惠济区郑州四中迎宾中学2026-2027学年八年级上学期数学第一次课后练习

八年级上期数学第一次课后练习 一．选择题（每题3分、共30分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标和，下列结论正确的是（ ） A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到y轴距离相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于平面直角坐标系及位置的确定的基本概念，准确理解相关知识点是解题的关键． 根据点的横纵坐标，所象限和点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】A．坐标的横坐标为，的横坐标为2，故选项错误； B．坐标的纵坐标为4，的纵坐标为，故选项错误； C．坐标在第二象限，在第四象限，故选项错误； D．坐标和到y轴的距离相同，都等于2，故选项正确． 故选：D． 3. 已知a，b，c为的三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形的判定方法，包括勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．选项A、B、C均能判定直角三角形，而选项D的边长比不满足三角形存在条件，故不能判定． 【详解】∵ 三角形内角和为， 选项A：，代入，得， ∴，能判定直角三角形； 选项B：设，则，， ∴，能判定直角三角形； 选项C：即，符合勾股定理逆定理， ∴为直角，能判定直角三角形； 选项D：设，则，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形，故不能判定直角三角形． ∴ 故选：D． 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题只要根据算术平方根、平方根以及立方根的计算法则即可得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的就是立方根、平方根、算术平方根的计算，属于基础题型．一个非负数的平方根有两个，他们互为相反数；表示a的算术平方根，表示a的平方根． 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 本题考查了一次函数、正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数图象与系数的关系是关键． 【详解】解：当，正比例函数图象经过第二、四象限，则一次函数图象经过第一、二、三象限，故D选项正确，A选项错误； 当，正比例函数图象经过第一、三象限，则一次函数图象经过第一、三、四象限，B、C选项错误； 故选：D 6. 如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 7. 是正比例函数图象上的两个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由正比例函数比例系数的正负判断增减性，进而比较与的大小． 【详解】解：∵， ∴， 对于正比例函数，随的增大而增大， ∵是正比例函数图象上的两个点，， ∴． 8. 如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，数轴与实数，掌握无理数的估算方法是解题关键．先估算出，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 表示数的点应落在线段上， 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，理解友好点的定义是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前5个点的坐标，发现点的坐标每4个点为一个循环，进而确定的坐标，再根据友好点的定义得到的友好点为，即可得出答案． 【详解】解：∵点的友好点为，的坐标为 ∴的坐标为，即， 同理可得，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， …… ∴点的坐标每4次为循环， ∵，， ∴的坐标为，的坐标为， ∵，， ∴的友好点为， ∴点的友好点为， 故选：B． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图像获取信息．根据图象信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得各段的函数解析式，结合函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A、结合图象可知，小数比小文早出发秒，故选项A正确，不符合题意； B、∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故选项B正确，不符合题意； C、∵小文提速后行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小数的速度为， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、设段对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴， ①当时，小数和小文之间的距离最大值为； ②当时，设， 将、代入，得，解得， ∴， ∴小数和小文之间的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ③设段对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴， 故当时， 小数和小文相遇前的距离为， 当时，取最大值，最大值为； 小数和小文相遇后的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ④当时，小数和小文之间距离最大值为． 综上所述，从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距，故选项D错误，符合题意． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】没有变形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 12. 平面直角坐标系内一点，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征、二次根式的加减，根据轴对称的性质得到点B的坐标，再根据两点间距离公式计算A、B之间的距离即可． 【详解】解：∵点B与点A关于y轴对称，， ∴点B的坐标为， ∴A、B两点之间的距离是． 故答案为：． 13. 已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 【答案】 或##或 【解析】 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论函数在给定区间内的最大值，列方程求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ①当时，一次函数随增大而增大， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得； ②当时，一次函数随增大而减小， 当时，的最大值在处取得， 代入得， 解得 则的值为或 14. 实数，在数轴上的位置如图，则化简________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式和立方根的性质，准确识图判断出、的正负情况是解题的关键．根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后利用二次根式和立方根的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，，， ，， ． 故答案为： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段、上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是___． 【答案】或 【解析】 【分析】把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：①，②，③，分别求解即可． 【详解】解：， 当时，， 当时，， 即点的坐标是，点的坐标是， 点与点关于轴对称， 的坐标是， 分为三种情况： ①当时， 和关于轴对称， ， ，，， ， 和关于轴对称， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 点的坐标是； ②当时，则， ， ， 而根据三角形的外角性质得：， 此种情况不存在； ③当时，则， 即， 设此时的坐标是， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即此时的坐标是，． 当为等腰三角形时，点的坐标是或，． 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用． 三．解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、算术平方根与立方根，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为 ； （4）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 【答案】（1）． （2）如图：即为所求． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接根据坐标系确定点B的坐标即可； （2）先根据轴对称的性质确定点A、B、C关于y轴对称的对称点，然后再顺次连接即可； （3）直接运用割补法求解即可； （4）连接,交y轴于点P，连接，此时最小，周长最小值为，再根据三角形周长公式以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系中，的顶点的位置可得：点B的坐标为． 【小问2详解】 作图：略 【小问3详解】 解：的面积为 【小问4详解】 解：解：∵的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴当最小时，的周长最小， 连接，交y轴于点P，连接, ∵点A与关于y轴对称， ∴, ∴, 此时的值最小，则的周长最小， ∴周长最小值为． 18. 我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例． （1）分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____． （2）利用以上知识计算：． 【答案】（1） （2）44 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式， （1）先分子和分母都乘以，再计算；然后分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）先结合题意分母有理化，再计算即可 【小问1详解】 解：；； 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式， ， . . 19. 近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验．有数据显示，3月以来，西安汉服体验订单量排全国第一，比去年同期增长了13倍．某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是75元/件、80元/件，五一期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行团需要租用x件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 【答案】（1）关于x的函数关系式为，关于x的函数关系式为 （2）选择乙汉服体验店 【解析】 【分析】（1）根据甲、乙两店的租用方式即可用式表示和的函数解析式； （2）分别计算出租用30件汉服时，甲、乙两店的租金，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得:． 当时，， 当时，． ∴关于x的函数关系式为，关于x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，； ． ∵， ∴该旅行团选择乙汉服体验店总租金更便宜． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 （1）的值为______，的解析式为______； （2）直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）存在，点或 （3）或或 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，设，则，即得，解方程求出的值即可求解； （）由题意可得或或直线经过点，再分三种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，一次函数的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴， 设正比例函数的图象的解析式为，把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：存在． 由（）可得，的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵的面积是面积的倍， ∴， 即， 解得或， ∴存在点或，使得的面积是面积的倍； 【小问3详解】 解：∵直线，，不能围成三角形， ∴或或直线经过点， 当时，； 当时，； 当直线经过点时，把代入，得， ∴； 综上，当直线，，不能围成三角形时，的值为或或． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 0 －1 －2 －1 1 … （2）描点、连线：根据表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）结合图象，写出两条函数的性质1： 性质2： （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ； ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的取值范围 ． 【答案】（1）， （2）根据表格描点、连线，如图所示： （3）函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （4）①2；②；③ 【解析】 【分析】（1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【小问1详解】 解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 【小问2详解】 作图：略； 【小问3详解】 解：观察图象，可知：函数图象关于轴对称， ∴函数的图象关于轴对称； 可知当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故性质1：函数的图象关于轴对称； 性质2：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 22. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，的代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 【答案】（1）① ② ③勾股定理 （2）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． 设与交于点． ∵， ∴． ∴． ∴四边形是垂等四边形． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理等： （1）①证明，即可求得，和；②利用结论二即可求得答案；结合①②即可求得答案； （2）证得即可求得答案； （3）求得和，利用结论一即可求得答案； 【详解】（1）①∵，， ∴，． ∴． 在和中 ∴． ∴，． ∴，，． ∴． 故答案为：；； ②∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为： ③∵， ∴． ∴． ∴根据①②得出的结论为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理． （2）略 （3）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上期数学第一次课后练习 一．选择题（每题3分、共30分） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标和，下列结论正确的是（ ） A. 横坐标相同 B. 纵坐标相同 C. 所在象限相同 D. 到y轴距离相同 3. 已知a，b，c为的三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 是正比例函数图象上的两个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（ ） A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 9. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（ ） A. B. C. D. 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门______（填“已变形”或“没有变形”）． 12. 平面直角坐标系内一点，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是________． 13. 已知一次函数，当时，的最大值为，则的值为______． 14. 实数，在数轴上的位置如图，则化简________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，动点P、Q分别在线段、上（点P不与点A、C重合），满足．当为等腰三角形时，点P的坐标是___． 三．解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标是． （1）点的坐标为 ； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为 ； （4）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为 ． 18. 我们知道，，，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如与互为有理化因式，与互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，例． （1）分母有理化的结果是_____，分母有理化的结果是_____． （2）利用以上知识计算：． 19. 近日，“盛唐密盒”爆火出圈，一举将西安再次推入文旅热门打卡城市，也带火了汉服体验．有数据显示，3月以来，西安汉服体验订单量排全国第一，比去年同期增长了13倍．某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是75元/件、80元/件，五一期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行团需要租用x件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该旅行团租用30件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 （1）的值为______，的解析式为______； （2）直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表，则 ， ． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 0 －1 －2 －1 1 … （2）描点、连线：根据表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）结合图象，写出两条函数的性质1： 性质2： （4）根据函数图象填空： ①方程有 个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是 ； ③若关于的方程有两个不相等的实数解，则实数的取值范围 ． 22. 某兴趣小组利用勾股定理和三角形的面积公式探究对角线互相垂直的四边形得出下面两个结论 【性质呈现】： 结论一：对角线互相垂直的四边形两组对边的平方和相等． 结论二：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半． 【概念呈现】：对角线互相垂直且相等的四边形叫垂等四边形． 【性质应用】： （1）如图1，中，，，，，过点作，垂足为点，并截取，连接，，过点作垂足为． ①请用含，的代数式表示图中的面积＝______；的面积＝______； ②请用含的代数式表示图中四边形的面积＝______； ③根据①②得出什么结论； 【拓展提高】： （2）如图2，中，，分别以、为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接、、，且与交于点．求证：四边形是垂等四边形； （3）在（2）条件下，若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $