第13章 三角形 单元测试卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B． （来源：2025春•九台区期末） 2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D． （来源：2024春•邓州市期末） 3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D． （来源：2024春•农安县期末） 4．（3分）已知∠A＝20°50′，∠B＝20.5°，∠C＝19°58′，那么（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＝∠B＞∠C C．∠C＞∠A＝∠B D．∠B＞∠A＞∠C 【答案】A 【解答】解： ∵∠A＝20°50′，∠B＝20.5°＝20°30′，∠C＝19°58′， ∴∠A＞∠B＞∠C，故选：A． （来源：2025秋•哈尔滨期末） 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C． （来源：2024秋•石狮市期末） 6．（3分）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△ABC的面积为12，则四边形AEFD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：连接AF，如图： ∵△ABC的中线BD、CE相交于点F， ∴S△BEC=S△ACE=S△BCD=S△ABD=S△ACB=6，S△AEF＝S△BEF，S△AFD＝S△CFD， ∵S△BEF＝S△BEC﹣S△BFC，S△DFC＝S△BDC﹣S△BFC， ∴S△DFC＝S△BEF＝S△AEF＝S△AFD， ∴S四边形AEFD＝S△AEF+S△AFD＝2S△AEF， ∵S四边形AEFD＝S△ABD﹣S△BEF，S△BFC＝S△BCE﹣S△BEF， ∴S四边形AEFD＝S△BFC＝2S△AEF， ∵△ABC的面积为12， ∴S四边形AEFD+S△BFC+S△DFC+S△BEF＝2S△AEF+2S△AEF+S△AEF+S△AEF＝12，解得S△AFE＝2， ∴S四边形AEFD＝2S△AEF＝4．故选：C． （来源：2024春•高港区校级月考） 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB的中点，连接DE、AD、CE，AD与CE相交于点F，若CE＝5，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解答】解： ∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴AD和CE为△ABC的两条中线， ∴点F为△ABC的重心， ∴CF＝2EF．又 ∵CE＝5， ∴CF=CE=．故选：D． （来源：2025•雁塔区校级四模） 8．（3分）已知△ABC的中线AD与BE交于点G，连接CG，若BG⊥CG，BC＝2，下列结论中：①GD＝1；②AG＝3；③AC2+AB2＝10；④AB+AC的最大值是2．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【解答】解： ∵△ABC的中线AD与BE交于点G，则G点为△ABC的重心， ∴D为BC的中点，2DG＝AG， ∵BG⊥CG，则△BCG为直角三角形， ∴DG＝BD=BC=×2＝1， ∴AG＝2DG＝2×1＝2，AD＝DG+AG＝3，故结论①正确，结论②错误； ∵AD为△ABC的中线， ∴AB2+AC2＝2（BD2+AD2）， ∴AB2+AC2＝2（12+32）＝2×10＝20，故结论③错误；设AB＝m，AC＝n，则有m2+n2＝20， ∵≥（）2， ∴（）2≤=10， ∴≤， ∴m+n≤2，即AB+AC的最大值是2，故结论④正确．综上，正确的结论为①④，故选：C． （来源：2025•西城区校级模拟） 9．（3分）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ． 【答案】90°或70° 【解答】解：当∠A为直角时，∠A＝90°，当∠C为直角时，∠A+∠B＝90°， ∵∠A比∠B的3倍还多10°， ∴∠A＝3∠B+10°， ∴3∠B+10°+∠B＝90°， ∴∠B＝20°， ∴∠A＝70°，故答案为：90°或70°． （来源：2024春•二七区校级期中） 10．（3分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝ °． 【答案】40 【解答】解： ∵∠CBD＝∠A+∠C， ∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°，故答案为：40． （来源：2025春•仓山区期末） 11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性． （来源：2024春•偃师区期末） 12．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ ． 【答案】90° 【解答】解： ∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，又 ∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°，故答案为：90°． （来源：2024秋•江油市期末） 13．（3分）有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【答案】3 【解答】解：（1）当取4cm、7cm，8cm三条线段时， ∵4+7＝11＞8，8﹣4＝4＜8，故能构成三角形；（2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时， ∵4+7＝11＝11，故不能构成三角形；（3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时， ∵4+8＝12＞11，11﹣4＝7＜8，故能构成三角形；（4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时， ∵7+8＝15＞11，11﹣7＝4＜8，故能构成三角形．故答案为：3． （来源：2025春•崇明区期末） 14．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝ cm． 【答案】3或7 【解答】解：如图， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3．故答案为：3或7． （来源：2025春•宝山区校级期末） 15．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为 ． 【答案】 【解答】解：如图所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，三角形的面积为2， ∴AD＝BC＝2， ∴BD＝1， ∴AB===．故答案为：． （来源：2024•姑苏区一模） 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 ． 【答案】10 【解答】解：作点E关于AC对称点E1，作点D关于BC的对称点D1，连接E1D1，AE1，把△ABE1沿AC方向向右平移至D1B1E2，使点A与D1重合，连接E1E2，BE2，如图所示：由轴对称可知：AE＝AE1，BD＝BD1，CD＝CD1，CE＝CE1， ∵BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8， ∴BC+CE＝CD+AC＝10， ∴BC+CE＝BC+CE1＝10，AC+CD＝AC+CD1＝10， ∴E1E2＝AD1＝AC+CD1＝10，BE1＝BC+CE1＝10．由图形变化可知：AE+BD＝AE1+BD1＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，D1E2+BD1最小，由平移可知：∠BE1E2＝90°，故在Rt△BE1E2中，BE2==10，即AE+BD的最小值为10．故答案为：10． （来源：2024秋•玄武区校级期中） 17．（6分）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣c+a+b＝2a+2b﹣2c． （来源：2024秋•曲阜市期中） 18．（6分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 ． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】5＜x＜11 【解答】解：（1）根据题意，得8﹣3＜x＜8+3． ∴5＜x＜11．故答案为：5＜x＜11； （2）当x＝3时，3+3＜8，不构成三角形；当x＝8时，周长为3+8+8＝19． （来源：2024春•二道区期末） 19．（6分）如图，如图，AD是△ABC的一条中线，P为△ABC的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P． （1）求AE与AB的比值． （2）若BC＝6，求EP的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵P为△ABC的重心， ∴=， ∵EF∥BC， ∴==； （2） ∵AD是中线， ∴BD=BC=3， ∵EF∥BC，=， ∴△AEP∽△ABD， ∴==， ∴=， ∴EP＝2． （来源：2024秋•鹿城区校级月考） 20．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． （来源：2025春•桓台县期末） 21．（6分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 度，∠P＝ 度． （2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ． 【答案】50，115 【解答】【探究】解：（1） ∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：50，115； （2）∠P-∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°， ∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P-∠A＝90°；故答案为：∠P-∠A＝90°；【应用】解：∠Q＝90°-∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）＝90°-∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）＝90°-∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°-∠ABC+90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又 ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q=（180°﹣∠A）＝90°-∠A；故答案为：∠Q＝90°-∠A． （来源：2025春•洛宁县期末） 22．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，∠CBD=∠ABC=30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解： ∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． （来源：2024秋•临泉县期末） 23．（8分）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵BD和CE是△ABC的中线， ∴点E和点D分别为AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC．同理可得，FG∥BC，FG=BC， ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴四边形DEFG是平行四边形． （2）证明： ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴OE＝OG，OD＝OF． ∵F，G分别为OB，OC的中点， ∴OF＝BF，OG＝GC， ∴OE＝OG＝GC，OD＝OF，＝BF， ∴EG=CE，DF=BD． ∵BD＝CE， ∴DF＝EG．又 ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴平行四边形DEFG是矩形． （来源：2024•新疆） 24．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【答案】见解析 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC（2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35° ∴∠B＝35° （来源：2024秋•方城县期末） 25．（10分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【答案】见解析 【解答】解：①在△ABC中， ∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE是的角平分线， ∴∠EAC=∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．② ∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC=∠ABC＝20°，又 ∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． （来源：2024秋•五华区期中） 26．（10分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等 【解答】解：（1） ∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK=∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． （来源：2025春•山亭区期末） 27．（10分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ． （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】①20° 【解答】解：（1）① ∵∠MON＝40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB＝∠BON＝20°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO＝20°，② ∵∠BAD＝∠ABD， ∴∠BAD＝20°， ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°， ∴∠OAC＝120°， ∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°， ∴∠BAD＝80°， ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°， ∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°； ②120，60； （2）①当点D在线段OB上时， ∵OE是∠MON的角平分线， ∴∠AOB=∠MON＝20°， ∵AB⊥OM， ∴∠AOB+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA=（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°， ∴x＝50②当点D在射线BE上时， ∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125． （来源：2024秋•辛集市期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知∠A＝20°50′，∠B＝20.5°，∠C＝19°58′，那么（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＝∠B＞∠C C．∠C＞∠A＝∠B D．∠B＞∠A＞∠C 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 6．（3分）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△ABC的面积为12，则四边形AEFD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB的中点，连接DE、AD、CE，AD与CE相交于点F，若CE＝5，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．（3分）已知△ABC的中线AD与BE交于点G，连接CG，若BG⊥CG，BC＝2，下列结论中：①GD＝1；②AG＝3；③AC2+AB2＝10；④AB+AC的最大值是2．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 　　　　 ． 10．（3分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　　　　 °． 11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　　　　 ． 12．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　　　　 ． 13．（3分）有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 　　　　 个不同的三角形． 14．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　　　　 cm． 15．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为 　　　　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 18．（6分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 　　　　 ． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 19．（6分）如图，如图，AD是△ABC的一条中线，P为△ABC的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P． （1）求AE与AB的比值． （2）若BC＝6，求EP的长． 20．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 21．（6分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　　　　 度，∠P＝　　　　 度． （2）∠A与∠P的数量关系为 　　　　 ，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 　　　　 ． 22．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 23．（8分）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 25．（10分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 26．（10分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　　　　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 27．（10分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 　　　　 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 　　　　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 　　　　 ． （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知∠A＝20°50′，∠B＝20.5°，∠C＝19°58′，那么（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＝∠B＞∠C C．∠C＞∠A＝∠B D．∠B＞∠A＞∠C 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 6．（3分）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△ABC的面积为12，则四边形AEFD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB的中点，连接DE、AD、CE，AD与CE相交于点F，若CE＝5，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 8．（3分）已知△ABC的中线AD与BE交于点G，连接CG，若BG⊥CG，BC＝2，下列结论中：①GD＝1；②AG＝3；③AC2+AB2＝10；④AB+AC的最大值是2．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 　　　　 ． 10．（3分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝　　　　 °． 11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 　　　　 ． 12．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　　　　 ． 13．（3分）有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 　　　　 个不同的三角形． 14．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　　　　 cm． 15．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为 　　　　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 18．（6分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 　　　　 ． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 19．（6分）如图，如图，AD是△ABC的一条中线，P为△ABC的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P． （1）求AE与AB的比值． （2）若BC＝6，求EP的长． 20．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 21．（6分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　　　　 度，∠P＝　　　　 度． （2）∠A与∠P的数量关系为 　　　　 ，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 　　　　 ． 22．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 23．（8分）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形． 24．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 25．（10分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 26．（10分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　　　　 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 27．（10分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 　　　　 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ 　　　　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ 　　　　 ． （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B． （来源：2025春•九台区期末） 2．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D． （来源：2024春•邓州市期末） 3．（3分）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．故选：D． （来源：2024春•农安县期末） 4．（3分）已知∠A＝20°50′，∠B＝20.5°，∠C＝19°58′，那么（　　） A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＝∠B＞∠C C．∠C＞∠A＝∠B D．∠B＞∠A＞∠C 【答案】A 【解答】解： ∵∠A＝20°50′，∠B＝20.5°＝20°30′，∠C＝19°58′， ∴∠A＞∠B＞∠C，故选：A． （来源：2025秋•哈尔滨期末） 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C． （来源：2024秋•石狮市期末） 6．（3分）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若△ABC的面积为12，则四边形AEFD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：连接AF，如图： ∵△ABC的中线BD、CE相交于点F， ∴S△BEC=S△ACE=S△BCD=S△ABD=S△ACB=6，S△AEF＝S△BEF，S△AFD＝S△CFD， ∵S△BEF＝S△BEC﹣S△BFC，S△DFC＝S△BDC﹣S△BFC， ∴S△DFC＝S△BEF＝S△AEF＝S△AFD， ∴S四边形AEFD＝S△AEF+S△AFD＝2S△AEF， ∵S四边形AEFD＝S△ABD﹣S△BEF，S△BFC＝S△BCE﹣S△BEF， ∴S四边形AEFD＝S△BFC＝2S△AEF， ∵△ABC的面积为12， ∴S四边形AEFD+S△BFC+S△DFC+S△BEF＝2S△AEF+2S△AEF+S△AEF+S△AEF＝12，解得S△AFE＝2， ∴S四边形AEFD＝2S△AEF＝4．故选：C． （来源：2024春•高港区校级月考） 7．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB的中点，连接DE、AD、CE，AD与CE相交于点F，若CE＝5，则CF的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解答】解： ∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴AD和CE为△ABC的两条中线， ∴点F为△ABC的重心， ∴CF＝2EF．又 ∵CE＝5， ∴CF=CE=．故选：D． （来源：2025•雁塔区校级四模） 8．（3分）已知△ABC的中线AD与BE交于点G，连接CG，若BG⊥CG，BC＝2，下列结论中：①GD＝1；②AG＝3；③AC2+AB2＝10；④AB+AC的最大值是2．其中正确的有（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【解答】解： ∵△ABC的中线AD与BE交于点G，则G点为△ABC的重心， ∴D为BC的中点，2DG＝AG， ∵BG⊥CG，则△BCG为直角三角形， ∴DG＝BD=BC=×2＝1， ∴AG＝2DG＝2×1＝2，AD＝DG+AG＝3，故结论①正确，结论②错误； ∵AD为△ABC的中线， ∴AB2+AC2＝2（BD2+AD2）， ∴AB2+AC2＝2（12+32）＝2×10＝20，故结论③错误；设AB＝m，AC＝n，则有m2+n2＝20， ∵≥（）2， ∴（）2≤=10， ∴≤， ∴m+n≤2，即AB+AC的最大值是2，故结论④正确．综上，正确的结论为①④，故选：C． （来源：2025•西城区校级模拟） 9．（3分）在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 ． 【答案】90°或70° 【解答】解：当∠A为直角时，∠A＝90°，当∠C为直角时，∠A+∠B＝90°， ∵∠A比∠B的3倍还多10°， ∴∠A＝3∠B+10°， ∴3∠B+10°+∠B＝90°， ∴∠B＝20°， ∴∠A＝70°，故答案为：90°或70°． （来源：2024春•二七区校级期中） 10．（3分）如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，当轮船从A点行驶到B点时，∠ACB＝ °． 【答案】40 【解答】解： ∵∠CBD＝∠A+∠C， ∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝70°﹣30°＝40°，故答案为：40． （来源：2025春•仓山区期末） 11．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，故答案为：三角形具有稳定性． （来源：2024春•偃师区期末） 12．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ ． 【答案】90° 【解答】解： ∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，又 ∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°， ∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°， ∵∠PBC＝20°， ∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°， ∴∠A+∠P＝90°，故答案为：90°． （来源：2024秋•江油市期末） 13．（3分）有4条线段的长度分别是4cm，7cm，8cm和11cm，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【答案】3 【解答】解：（1）当取4cm、7cm，8cm三条线段时， ∵4+7＝11＞8，8﹣4＝4＜8，故能构成三角形；（2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时， ∵4+7＝11＝11，故不能构成三角形；（3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时， ∵4+8＝12＞11，11﹣4＝7＜8，故能构成三角形；（4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时， ∵7+8＝15＞11，11﹣7＝4＜8，故能构成三角形．故答案为：3． （来源：2025春•崇明区期末） 14．（3分）在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝ cm． 【答案】3或7 【解答】解：如图， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3．故答案为：3或7． （来源：2025春•宝山区校级期末） 15．（3分）定义：底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形．若“和谐”三角形的面积为2，则其腰长为 ． 【答案】 【解答】解：如图所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，三角形的面积为2， ∴AD＝BC＝2， ∴BD＝1， ∴AB===．故答案为：． （来源：2024•姑苏区一模） 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC和BC上的动点，连接DE、AE、BD．若BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8，则AE+BD的最小值是 ． 【答案】10 【解答】解：作点E关于AC对称点E1，作点D关于BC的对称点D1，连接E1D1，AE1，把△ABE1沿AC方向向右平移至D1B1E2，使点A与D1重合，连接E1E2，BE2，如图所示：由轴对称可知：AE＝AE1，BD＝BD1，CD＝CD1，CE＝CE1， ∵BC﹣AC＝CD﹣EC＝2，AC+CE＝8， ∴BC+CE＝CD+AC＝10， ∴BC+CE＝BC+CE1＝10，AC+CD＝AC+CD1＝10， ∴E1E2＝AD1＝AC+CD1＝10，BE1＝BC+CE1＝10．由图形变化可知：AE+BD＝AE1+BD1＝D1E2+BD1， ∴当E2，D1，B三点共线时，D1E2+BD1最小，由平移可知：∠BE1E2＝90°，故在Rt△BE1E2中，BE2==10，即AE+BD的最小值为10．故答案为：10． （来源：2024秋•玄武区校级期中） 17．（6分）已知△ABC的三边长是a，b，c． （1）若a＝6，b＝8，且三角形的周长是小于22的偶数，求c的值； （2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵a，b，c是△ABC的三边，a＝6，b＝8， ∴2＜c＜14， ∵三角形的周长是小于22的偶数， ∴2＜c＜8， ∴c＝4或6； （2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣c+a+b＝2a+2b﹣2c． （来源：2024秋•曲阜市期中） 18．（6分）已知三角形的三条边长分别为3，8和x． （1）x的取值范围为 ． （2）当该三角形为等腰三角形时，求它的周长． 【答案】5＜x＜11 【解答】解：（1）根据题意，得8﹣3＜x＜8+3． ∴5＜x＜11．故答案为：5＜x＜11； （2）当x＝3时，3+3＜8，不构成三角形；当x＝8时，周长为3+8+8＝19． （来源：2024春•二道区期末） 19．（6分）如图，如图，AD是△ABC的一条中线，P为△ABC的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P． （1）求AE与AB的比值． （2）若BC＝6，求EP的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵P为△ABC的重心， ∴=， ∵EF∥BC， ∴==； （2） ∵AD是中线， ∴BD=BC=3， ∵EF∥BC，=， ∴△AEP∽△ABD， ∴==， ∴=， ∴EP＝2． （来源：2024秋•鹿城区校级月考） 20．（6分）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】解：（1） ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． （来源：2025春•桓台县期末） 21．（6分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝ 度，∠P＝ 度． （2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 ． 【答案】50，115 【解答】【探究】解：（1） ∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°，故答案为：50，115； （2）∠P-∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°， ∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P-∠A＝90°；故答案为：∠P-∠A＝90°；【应用】解：∠Q＝90°-∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）＝90°-∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）＝90°-∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°-∠ABC+90°-∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又 ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q=（180°﹣∠A）＝90°-∠A；故答案为：∠Q＝90°-∠A． （来源：2025春•洛宁县期末） 22．（6分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，∠CBD=∠ABC=30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解： ∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． （来源：2024秋•临泉县期末） 23．（8分）如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵BD和CE是△ABC的中线， ∴点E和点D分别为AB和AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC．同理可得，FG∥BC，FG=BC， ∴DE∥FG，DE＝FG， ∴四边形DEFG是平行四边形． （2）证明： ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴OE＝OG，OD＝OF． ∵F，G分别为OB，OC的中点， ∴OF＝BF，OG＝GC， ∴OE＝OG＝GC，OD＝OF，＝BF， ∴EG=CE，DF=BD． ∵BD＝CE， ∴DF＝EG．又 ∵四边形DEFG是平行四边形， ∴平行四边形DEFG是矩形． （来源：2024•新疆） 24．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC． （2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数． 【答案】见解析 【解答】解：（1）连接AE， ∵EF垂直平分AB ∴AE＝BE ∵BE＝AC ∴AE＝AC ∵D是EC的中点 ∴AD⊥BC（2）设∠B＝x° ∵AE＝BE ∴∠BAE＝∠B＝x° ∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x° ∵AE＝AC ∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35° ∴∠B＝35° （来源：2024秋•方城县期末） 25．（10分）已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE、∠BOE的度数． 【答案】见解析 【解答】解：①在△ABC中， ∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°． ∵AE是的角平分线， ∴∠EAC=∠BAC＝40°． ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90° ∴在△ADC中，∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣90°﹣60°＝30° ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣30°＝10°．② ∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°， ∴∠FBC=∠ABC＝20°，又 ∵∠C＝60°， ∴∠AFO＝80°， ∴∠AOF＝180°﹣80°﹣40°＝60°， ∴∠BOE＝∠AOF＝60°． （来源：2024秋•五华区期中） 26．（10分）如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC． （1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 （2）问题解决：如图2，求证AD＝CD； （3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC． 【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等 【解答】解：（1） ∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°， ∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等； （2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF， ∴DE＝DF， ∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中， ∴△DEA≌△DFC（AAS）， ∴DA＝DC； （3）如图，在BC上截取BK＝BD，连接DK， ∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBK=∠ABC＝20°， ∵BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK， ∵∠BKD＝∠C+∠KDC， ∴∠KDC＝∠C＝40°， ∴DK＝CK， ∴AD＝DK＝CK， ∴BD+AD＝BK+CK＝BC． （来源：2025春•山亭区期末） 27．（10分）已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是 ；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝ ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝ ． （2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】①20° 【解答】解：（1）① ∵∠MON＝40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB＝∠BON＝20°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO＝20°，② ∵∠BAD＝∠ABD， ∴∠BAD＝20°， ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°， ∴∠OAC＝120°， ∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°， ∴∠BAD＝80°， ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°， ∴∠OAC＝60°；故答案为：①20°； ②120，60； （2）①当点D在线段OB上时， ∵OE是∠MON的角平分线， ∴∠AOB=∠MON＝20°， ∵AB⊥OM， ∴∠AOB+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA=（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°， ∴x＝50②当点D在射线BE上时， ∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125． （来源：2024秋•辛集市期末） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $第13章 三角形 单元测试卷（2026~2027学年） 第13章 三角形 单元测试卷 人教版（2024）八上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $