3.1 课时3 整式 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

3.1 课时3 整式 22051 了解 “代数” 的由来与内涵，掌握单项式、多项式、整式的定义， 能准确辨析单项式的系数与次数、多项式的项与次数 能从实际情境（图形、生活问题）中列出代数式，并判断其类型。 通过数学史内容感受代数的文化价值，激发学习兴趣。 学习目标 22051 阅读·欣赏：“代数”的由来 “用字母表示数”是代数的基础。初等代数主要以引进符号和未知数为特征，它的基本内容是解方程。 新课导入 22051 3 “代数”一词最初来源于阿拉伯数学家花刺子米（MohammedMusaal-Khwarizmi，约780—约850）一本名为al-kitabal-mukhtasarfihisabal-jabrwa’l-muqabala的书，书名中的al-jabrwa’-muqabala意为还原与对消，亦即解方该书在12世纪被译成拉丁文传入欧洲，在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。 22051 4 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳（1833—1902）和英国人傅兰雅（JohnFryer，1839—1928）将英国瓦里斯（W.Wallace，1768—1843）所著的Algebra合译为《代数术》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法。 22051 5 一个组合柜如图3-2所示，内部用隔板纵向分隔成5个独立的小柜子（如图3-3），柜门由5个完全相同的长方形组成。 图3-2 图3-3 新知讲解 22051 6 （1）若要在5个柜门的周边都贴上装饰条，则所需装饰条的总长度是多少？ 单个柜门周长为，5个柜门总长度为。 （2）若要给柜门外表面喷漆，则需要喷漆的面积是多少（边框缝隙忽略不计）？ 单个柜门面积为，5个柜门总面积为。 22051 7 （3）设柜子的进深为 c （如图3-2），则整个柜子的容积是多少（柜门、隔板及背板的厚度忽略不计）？ 标注图形边长，借助几何公式逐步推导，建立“图形→公式→代数式”的思维链。 柜子长、宽、高，容积为。 22051 8 像5ab，5abc, ， 等，它们都是数与字母的乘积，这样的代数式叫作单项式（monomial）。 单独一个数或一个字母也是单项式。 几个单项式的和叫作多项式（polynomial），如 ， ， 等都是多项式。 单项式和多项式统称整式（integralexpression）。 22051 9 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数（coefficient），如 5ab 的系数是5, 3ν 的系数是3。 所有字母的指数和叫作这个单项式的次数 ①（degreeof monomial），如 5ab 是2次的， 3ν 是1次的。 注：①：作为单项式，单独一个非零数的次数是0. 22051 10 在多项式中，每个单项式叫作多项式的项（term），如多项式 是 与5y两项的和。 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。如 是1次的， 是3次的。 22051 11 1.指出下列单项式的系数和次数： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 分析：单项式的系数是数字因数（含符号、等常数），次数是所有字母的指数和；单独非零数的次数为。 （1）系数：，次数：； （2）系数：，次数：； （3）系数：，次数：； （4）系数：，次数：； （5）系数：，次数：。 巩固练习 22051 12 2.（1）已知单项式，求它的系数和次数； （2）已知多项式，求它的次数和项数。 答案：（1）单项式的系数是，次数是（的次数 + 的次数）。 （2）多项式的次数是（最高次项的次数为），项数是（含、、、四项）。 巩固练习 22051 13 3.判断正误并说明理由 （1）单项式的系数是，次数是； （2）多项式的次数是，项数是。 答案：（1）错误。理由：单项式的系数是（单独一个字母的系数为），次数是。 （2）正确。理由：多项式的最高次项是（次数为），且含、、三项，因此次数是，项数是。 巩固练习 22051 14 列出下列问题中的代数式，并指出其中： ①哪些是单项式？单项式的系数和次数分别是多少？ ② 哪些是多项式？多项式的次数是多少？ （1）如图，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草地面积是多少？ 新知讲解 22051 15 解答：代数式用“补形法”，大长方形面积 为，4个小正方形（边长为）的总面积为 ，因此草地面积为 。 判断：是多项式（由单项式和相加组成）。 次数为（的次数是，的次数是， 最高次项的次数为）。 22051 16 （2）当水结冰时，其体积大约会比原来增加 ， 的水结成冰后体积是多少？ 解答：体积 （水体积，增加，故冰的体积为）。 判断：是单项式，系数为，次数为。 22051 17 （3）如图，一个长方体的箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是 。 这个箱子露在外面的表面积是多少？ 解答：代数式： （露在外面的三个面：长×宽、长×高、宽×高）。 判断：多项式，次数为（每项次数都是）。 22051 18 （4）某件商品的成本价为 元，按成本价提高 标价，后又以八折（即按标价的 ）销售，这件商品的售价为多少元？ 解答：代数式：（成本，提价15%后标价，再打八折：）。 判断：是单项式，系数，次数 22051 19 代数式 定义：数与字母的乘积，单独的数或字母也是单项式 系数：单项式中的数字因数 次数：所有字母的指数和 单项式 多项式 整式 单项式和多项式统称为整式。 定义：几个单项式的和叫做多项式。 项：组成多项式的每个单项式 次数：多项式中次数最高的项的次数 课堂小结 22051 1.指出下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式，并说明： ①单项式的系数和次数； ②多项式的次数。 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 答案：（1）单项式；系数是，次数是（的次数 + 的次数）。 （2）单项式；系数是，次数是（单独一个非零数的次数为）。 （3）多项式；次数是（最高次项、的次数均为）。 （4）多项式；次数是（最高次项、的次数均为）。 （5）单项式；系数是 是常数，属于数字因数），次数是 的次数为）。 随堂小练 基础 22051 21 2.指出下列多项式的项和次数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）。 解：（1）项：、，次数：；（2）项：、、，次数：； （3）项：、、，次数：；（4）项：、，次数：； （5）项：、、、，次数：。 22051 22 3. 下列代数式中，单项式的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 解析：单项式是数与字母的积或单独的数、字母；⑤是分式，②是多项式。单项式为①③④，共个。答案：。 B 22051 23 4.多项式的次数和项数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5.下列说法正确的是（ ） A. 单项式的次数是所有字母的指数和 B. 多项式的次数是所有项的次数和 C. 整式包括单项式、多项式和分式 D. 单项式的系数是 A A 随堂小练 提升 22051 24 6. 已知与是同类项，求单项式的系数和次数。 答案： 同类项要求相同字母指数相同，故，。 单项式为，系数：，次数：。 22051 25 7.一个长方形的长为，宽为， （1）求它的面积的代数式； （2）判断该代数式是单项式还是多项式，并指出次数。 答案： （1）面积 = 长×宽，即； （2）是多项式，最高次项次数为，故次数为。 随堂小练 培优 22051 26 $