精品解析：安徽省无为第三中学2026-2027学年度第一学期九年级第一次学情调研数学试题卷

无为三中2026-2027学年度九年级第一次学情调研 ·数学试题卷· 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 2. 若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 3. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 4. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 5. 若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 7. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不等的实数根则，并且二次项系数不可以为0． 【详解】解：且， 即， 解得，且． 8. 若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【详解】解：对移项，得， 整理得． ∵一元二次方程有一解为， ∴， 解得． 9. 若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 先根据图象经过、求出对称轴，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】∵图象经过、， ∴二次函数的对称轴为直线． ∴对应的对称点为． ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①④⑤ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 12. 已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 14. 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将二次函数整理为含和不含的两部分，令含的项系数为0，即可求出定点坐标； （2）二次函数开口向上，根据对称轴在区间的不同位置分三种情况讨论，计算最小值并求解符合条件的． 【详解】解：（1）整理二次函数得 令， 解得， 将代入得，结果与无关， 因此二次函数恒过定点； （2）∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： 当，即时，函数在上y随x的增大而增大，最小值在处取得，此时，不符合题意，舍去； 当，即时，最小值在对称轴处取得，代入得， 令， 整理得， 解得， ，，均不在范围内，舍去； 当，即时，函数在上y随x的增大而减小，最小值在处取得，代入得， 令， 解得，满足，符合题意． 综上，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 分解因式得：， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 16. 已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2） 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 18. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等实数根，则判别式，代入系数解不等式得到的范围； （2）先由一元二次方程根与系数关系写出两根和、两根积，展开进行代换，得到关于的一元二次方程，求出解后结合第（1）问的取值范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：∵该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 ，． ， ， 整理，得， 解得或． 又， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，中，．点P从点A出发，以的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． （1）则当t为何值时，的面积为 （2）的长度能等于吗?说明理由． 【答案】（1）或4时，的面积为 （2）不能，理由是： ∵ ∴， ∴ 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴的长度不能等于． 【解析】 【分析】（1）先表示出，，，再由三角形面积公式建立方程求解即可； （2）对运用勾股定理建立方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． 【小问2详解】 略 20. 实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， 对于（1），先表示出单件利润，销售量，再根据单件利润乘以销售量求出关系式即可； 对于（2），将二次函数配方得出顶点式，再讨论最大值． 【小问1详解】 解：销售单价为元时，每销售一个获利元，每天共销售个， ； 【小问2详解】 解： 当时，有最大值，最大值为 当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 六、（本题满分12分） 21. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2）或 （3），理由： 设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”， ， 两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ， ， 整理得， 化简得，即，满足的数量关系为． 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“美丽方程”的定义列方程求解； （3）设方程（）的两个根为，，利用两根差的条件结合根与系数的关系推导和的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义， ①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义， ②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义， ③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③． 【小问2详解】 解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”， ，即， ∴或， 解得或． 【小问3详解】 略． 七、（本题满分12分） 22. 某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】（1） ， （2） 能，此时步频的值为 （3） 第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． 【小问1详解】 解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； 【小问2详解】 解：由，，可得   令，得方程  整理得  解得 ，符合条件  步行速度能达到（米/秒），此时； 【小问3详解】 解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为  第二次步行速度为，行走时间为  由两次行走时间相等，得  整理得  解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求出点P的坐标； （3）设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）8，． 【解析】 【分析】（1）将两个已知交点代入抛物线方程，解二元一次方程组求即可； （2）由知到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，设，列方程求解并舍去不合题意的根即可； （3）设 ，作铅垂线交于，用表示三角形面积，得到二次函数后配方求最大值及对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， 这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图1，作轴于点D， ∵，， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∵点P在第四象限， ∴，， ∴，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图2，设点P的坐标为， 作轴于点F，交线段于点E， 当时，则， ∴， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且 ∴当时，， ∴S的最大值为8，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数解析式求解、坐标系内角度条件转化及面积最值的铅垂高法， 关键是将转化为到坐标轴距离相等，以及将面积用水平宽与铅垂高表示，最终通过解方程和二次函数配方求得最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为三中2026-2027学年度九年级第一次学情调研 ·数学试题卷· 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（ ） A. B. C. D. 7. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 8. 若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（ ） A. B. C. D. 9. 若一个二次函数的图象经过五个点、、、和，则下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（ ） A. ①④⑤ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 12. 已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 14. 已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1） （2） 16. 已知二次函数的表达式为：． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 二次函数图象与轴交于点，． （1）求该二次函数解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 18. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）已知方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，中，．点P从点A出发，以的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． （1）则当t为何值时，的面积为 （2）的长度能等于吗?说明理由． 20. 实验中学准备购进一批小工艺品，每件的成本是40元．经市场调查，销售单价为52元时，每天的销售量为80个；销售单价每降价1元，日销售量将增加10个． （1）求每天销售小工艺品的利润（元）和销售单价（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天销售小工艺品的利润最大？最大利润是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． （1）下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． （2）若是“美丽方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． （1）当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． （2）机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． （3）研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，与y轴的交点为点C，点P是抛物线在第四象限内一点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求出点P的坐标； （3）设的面积为S，试求S的最大值以及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $