精品解析：安徽亳州市部分校2026-2027学年度第一学期九年级学情自测一A卷数学(HK)试题

九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号判断二次函数图象的开口方向． 【详解】解：A选项二次项系数为，图象开口向上；B、C、D选项二次项系数均小于0，图象开口向下． 2. 下列二次函数图象的对称轴是轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可通过一次项系数是否为快速判断二次函数对称轴是否为轴． 【详解】解：设二次函数解析式为，其对称轴为直线， 若对称轴为轴，则， ， ，选项A、B、C的一次项系数均不为，不符合要求；选项D的一次项系数为，符合条件． 3. 已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了判断点是否在反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 、当时，，该反比例函数的图象不经过此点，不符合题意； 、当时，，该反比例函数的图象不经过此点，不符合题意； 、当时，，该反比例函数的图象经过此点，符合题意； 、当时，，该反比例函数的图象不经过此点，不符合题意； 故选：． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，随增大而减小 B. 当时，随增大而减小 C. 当时，随增大而减小 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；依题意求得，根据反比例函数的性质可得反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数图象经过一、三象限，在每个象限内，随增大而减小， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减小，当时，随增大而减小， 当，时，随增大而减小，故C不正确； 故选：C． 7. 已知抛物线与轴相交于，两点（点与点不重合），则（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线与x轴有两个不重合交点，对应一元二次方程有两个不等实根，通过判别式列不等式求解． 【详解】解：当时，得方程， ∵抛物线与轴有两个不重合的交点， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴的负半轴和轴的正半轴相交于，两点，且，抛物线的对称轴为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的图象开口方向、对称轴、特殊点（，，）的函数值的情况，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：选项A，由图象可知，抛物线开口向下，，抛物线的对称轴， ，当时，，∴，选项A结论正确； 选项B，由图象可知，当时，，选项B结论正确； 选项C，由图象可知，当时，，∴，当时，，解得，∵，∴，选项C结论正确； 选项D，由选项C可知，选项D结论错误． 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质以及中点的定义可得，即；再分、两种情况求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵为的中点， ∴，即， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由勾股定理得， ，即； 当时，如图，，， ，即， 观察选项可知选B符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象位于第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号确定图象的所有可能象限，再结合的限定判断最终位置． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 反比例函数的图象整体位于第一、三象限， 时，， 该函数的图象位于第三象限． 12. 二次函数的最大值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数有最大值，说明开口向下，可得，该函数的最大值在处取得，等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：二次函数有最大值， 抛物线开口向下，得， 对于，当时，取得最大值， 最大值为， 解得或， ， ． 13. 物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 【答案】240 【解析】 【详解】解：根据图象可知，压力不变，压强与受力面积S成反比例函数， 设， ∵在反比例函数图象上， ， 函数表达式为， 当，． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且． （1）若，则______； （2）若，，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，即可求解的值； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，可得，代入抛物线方程中可解得，从而进一步解得的值． 【详解】（1）解：， ； （2），， ， ， 将代入抛物线方程中，， ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，得到反比例函数的解析式，进而根据反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积等于，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴由题意得， ∴， 设点的坐标为， 矩形的面积． 16. 已知抛物线顶点的纵坐标为1，与轴交于点，，求该抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意设该抛物线的函数表达式为， 即， 抛物线顶点的纵坐标为， ， ∵， ∴ ， 该抛物线的函数表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线． （1）求，，的值； （2）当为何值时，函数随的增大而增大？ 【答案】（1），， （2）当时，函数随的增大而增大 【解析】 【分析】（1）先把原抛物线的解析式化为顶点式，根据平移规律得到新的解析式，再化成一般式即可得到答案； （2）根据新抛物线的顶点式的图象和性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：将配方得， 向左平移2个单位后，得到新抛物线，即， ，，． 【小问2详解】 解：新抛物线的顶点式为， 对称轴为直线， 二次项系数，说明抛物线开口向上， 当时，函数随的增大而增大． 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）若以上两个函数图象上有三个不同的点，，，求证：． 【答案】（1）， （2）证明：设，两点在二次函数的图象上， 在反比例函数的图象上， ∵，两点纵坐标相同，则，关于轴对称， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数表达式即可． （2）根据已知条件设，两点在二次函数的图象上，根据二次函数图象的对称性得到，再利用在反比例函数的图象上，代入坐标即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，二次函数图象与反比例函数的图象相交于点． ∴将点代入中， ∴， 可得， 将点代入中， ， 解得． 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在一次足球比赛中，足球运动员沿与地面成一定角度的方向将足球踢出，足球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． （1）足球飞行高度能否达到？ （2）求足球从飞出到落地需要的时间． 【答案】（1）足球飞行高度能达到 （2）足球从飞出到落地需要的时间为． 【解析】 【分析】（1）把代入函数关系式可得方程，解方程即可得到结论． （2）当时，代入函数关系式解方程即可解答． 【小问1详解】 当时，代入函数关系得： ， 整理得， 解得， ∴当时，足球的飞行高度达到． 【小问2详解】 当时，， 解得（不合题意，舍去），， ∴足球从飞出到落地需要的时间为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）若，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将代入反比例函数，求出点的坐标，再将点的坐标代入正比例函数，即可求出的值； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到；再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，得到，最后代入化简求值． 【小问1详解】 解：把代入，则，即的坐标为． 把的坐标代入，得，解得． 【小问2详解】 解：在反比例函数的图象上， ． 在正比例函数的图象上， 两点关于原点对称， ． ． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，以为一个顶点的正方形的另个顶点分别在边，边和边上． （1）若，求正方形的面积（已知：）； （2）设和的面积分别为，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，再利用勾股定理计算边长，根据正方形面积公式计算即可． （2）根据正方形性质得到，进而得到，再根据的关系表示出，然后求出的最大值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴，， 由勾股定理得， 设， ∵，， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 【小问2详解】 如图，过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ， ， 即， 抛物线开口向下，当时，函数取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 七、（本题满分12分） 22. 【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 （1）求，的函数表达式； （2）观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； （3）若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，种植种小麦获利较大； 当时，种植这两种小麦获利一样大； 当时，种植种小麦获利较大； （3）种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，使用待定系数法求解；将点，点分别代入二次函数，使用待定系数法求解； （2）根据图象进行比较，图象在上方的函数表示获利较大，交点处表示获利一样大； （3）设种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元，根据，两种小麦获得利润与投资金额的函数关系式，，列出总利润的函数关系式，化简后，使用配方法即可求出最大利润和资金分配方案． 【小问1详解】 解：由题意可设， 当时，， ， 解得， 即． 由题意可设， 当时，，当时，， ， 解得， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设李叔叔明年种植，两种小麦获取的总利润为万元，其中种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元， 由题意得， 整理得， 配方得， 答：种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，点在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且，，求的值； （3）过点作直线，交轴于点，当的面积等于时，求的值． 【答案】（1） （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，推出，据此求解即可； （3）求得直线的表达式为，设直线的表达式为，求得直线的表达式为，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：对称轴为，可得， 把点，，代入表达式得， 解得， 抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，由（1）得抛物线表达式为， ， 设直线的表达式为，把代入得， 直线的表达式为， ， 设直线的表达式为， ， ， 直线的表达式为， ， 由抛物线对称轴为，，得， 当点在点上方时， ， ， 的面积等于， ， 解得或； 当点在点下方时，， ， 的面积等于， ，此方程无实数根， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列二次函数图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次函数图象的对称轴是轴的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象还经过点（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（ ） A. B. 3 C. D. 9 6. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，随增大而减小 B. 当时，随增大而减小 C. 当时，随增大而减小 D. 当时，随增大而减小 7. 已知抛物线与轴相交于，两点（点与点不重合），则（ ） A. B. C. ，且 D. ，且 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别与轴的负半轴和轴的正半轴相交于，两点，且，抛物线的对称轴为，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，动点，，同时分别沿，，的方向匀速移动，且三个动点的移动速度相等，当点到达点时，，，均停止移动，设，的面积为，则关于的函数图像为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 反比例函数的图象位于第______象限． 12. 二次函数的最大值为，则的值为______． 13. 物理实验小组根据在压力不变的情况下测得某物体承受的压强（单位：）和它的受力面积（单位：）之间对应的数据画出与之间的函数关系图象（如图所示），当受力面积时，压强的值为______． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且． （1）若，则______； （2）若，，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 16. 已知抛物线顶点的纵坐标为1，与轴交于点，，求该抛物线的函数表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位后，得到新抛物线． （1）求，，的值； （2）当为何值时，函数随的增大而增大？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象相交于点． （1）求和的值； （2）若以上两个函数图象上有三个不同的点，，，求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 在一次足球比赛中，足球运动员沿与地面成一定角度的方向将足球踢出，足球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系． （1）足球飞行高度能否达到？ （2）求足球从飞出到落地需要的时间． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）若，求的值； （2）求的值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，，，以为一个顶点的正方形的另个顶点分别在边，边和边上． （1）若，求正方形的面积（已知：）； （2）设和的面积分别为，，求的最大值． 七、（本题满分12分） 22. 【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 （1）求，的函数表达式； （2）观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； （3）若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为，点在该抛物线上． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在抛物线上，且，，求的值； （3）过点作直线，交轴于点，当的面积等于时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $