24.1认识一元二次方程 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册24.1认识一元二次方程专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做**一元二次方程**。一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，分母不含未知数，根号内不含未知数；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2。 一元二次方程的一般形式：$\boldsymbol{ax^2+\(bx+\(c=0\)\)}$（$a、b、c$为常数，$\boldsymbol{a≠0}$）。其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数；$bx$是一次项，$b$是一次项系数；$c$是常数项。注意：$a$不能等于0，若$\(a=0\)$，方程变为$\(bx+\(c=0\)\)$，就成一元一次方程；$b$或$c$可以等于0。例如$x^2=0$，$2x^2-5\(x=0\)$都是一元二次方程。 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的**根**。判断一个数是不是方程的根，只需把这个数代入方程左右两边，看两边数值是否相等。列一元二次方程解决实际问题时，先设未知数，再根据题目等量关系列出方程，最后整理成一般形式。 解题易错点：整理方程化为一般形式时，容易漏掉移项变号；确定二次项系数、一次项系数时，忘记带上前面的正负号；忽略$a≠0$这个限制条件；混淆整式方程与分式方程，分母带有未知数的方程不是一元二次方程。 ## 二、基础专项练习 1. 判断下列方程是不是一元二次方程： （1）$3x^2-2\(x=1\)$；（2）$\(2x+5=0\)$；（3）$x^2+\dfrac{1}{x}=3$；（4）$x^2-4=0$；（5）$(x+1)^2=x^2$。 2. 写出方程$2x^2-7x+3=0$的二次项、一次项、常数项及对应系数。 3. 将方程$(x-2)(x+3)=1$化为一元二次方程的一般形式。 4. 判断$\(x=2\)$是不是一元二次方程$x^2+x-6=0$的根。 ## 三、能力提升练习 1. 方程$(m-2)x^{|m|}+3x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，求$m$的值。 2. 已知$\(x=1\)$是方程$ax^2+bx-2=0$的一个根，求代数式$\(a+b\)$的值。 3. 把方程$3x(x-1)=2(\(x+2\))-4$整理为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 一个矩形面积为24，长比宽多2，设矩形宽为$x$，列出关于$x$的一元二次方程，并化为一般形式。 ## 四、拓展应用题 1. 用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，矩形面积为96$\mathrm{cm^2}$。设矩形的长为$x\ \mathrm{cm}$，列出一元二次方程并整理成一般形式。 2. 已知一元二次方程$ax^2+\(bx+\(c=0\)\)$有一个根为0，求$c$的值；若方程有一个根是$-1$，试写出$a、b、c$之间的关系式。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. （1）是；（2）未知数最高次数为1，不是；（3）分母含未知数，是分式方程，不是；（4）是；（5）化简后$\(2x+1=0\)$，是一元一次方程，不是。 2. 二次项：$2x^2$，二次项系数2；一次项：$-7x$，一次项系数$-7$；常数项：3。 3. 展开：$x^2+3x-2x-6=1$，整理得一般形式：$x^2+x-7=0$。 4. 将$\(x=2\)$代入左边：$2^2+2-6=0$，左边=右边，所以$\(x=2\)$是方程的根。 ### 提升题 1. 是一元二次方程，满足$|m|=2$且$m-2≠0$。由$|m|=2$得$\(m=2\)$或$m=-2$；$m≠2$，故$m=-2$。 2. 将$\(x=1\)$代入方程：$a\times1^2+b\times1-2=0$，$\(a+b\)-2=0$，得$\(a+b\)=2$。 3. 展开：$3x^2-3\(x=2\)x+4-4$，移项合并：$3x^2-5\(x=0\)$。二次项系数3，一次项系数$-5$，常数项0。 4. 宽为$x$，长为$\(x+2\)$，面积$x(\(x+2\))=24$，整理：$x^2+2x-24=0$。 ### 拓展题 1. 铁丝总长40cm，矩形长$x$，则宽为$(20-x)$。面积：$x(20-x)=96$，展开移项：$x^2-20x+96=0$。 2. 把$\(x=0\)$代入方程，$a\cdot0+b\cdot0+\(c=0\)$，得$\(c=0\)$；把$x=-1$代入方程：$a(-1)^2+b(-1)+\(c=0\)$，化简得$a-b+\(c=0\)$。 ## 六、易错点总结 1. 判断一元二次方程，先看是不是整式方程。方程里未知数在分母、根号内，直接排除；其次化简后再判断次数，不能只看原始形式。 2. 写各项系数时，一定要带上符号。例如$-3x^2+2x-1=0$，二次项系数是$-3$，不是3。 3. 含参数的一元二次方程，千万不要忘记**二次项系数不等于0**这个条件，很多同学只看未知数次数，漏掉$a≠0$，导致求出错误参数。 4. 方程的根的定义：只需要代入验证左右相等，不需要解方程。 5. 列方程应用题时，根据周长、面积等公式找等量关系，设未知数后列出方程，最后移项整理为$ax^2+\(bx+\(c=0\)\)$的标准形式。本节是一元二次方程整章的入门，是后续直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程的基础，中考常以选择题、填空题考查一元二次方程概念、参数取值、根的定义，也会结合几何面积列出一元二次方程。学习时要区分一元一次方程与一元二次方程，熟练整理方程，准确识别各项系数，夯实基础。 （全文：1333字） 下一节：**24.2 解一元二次方程**，继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 24.1认识一元二次方程 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十四章 一元二次方程 学习目标 复习回顾 在七年级上册第5章，我们学习了一元一次方程。什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 它的一般形式是：(为常数，). 回顾训练 下列哪些是一元一次方程？ 一元一次方程 二元一次方程 一元一次不等式 分式方程 新知探究 某景区内有一棵古槐树，景区管理处准备用护栏将古槐树保护起来.如图，其中古槐树在点处，与院墙的距离约为2.5 m.四边形为矩形，为院墙的一部分，其他三边用总长为16 m的护栏围成．已知矩形的面积为24 ㎡，求的长. 认识一元二次方程 分析：我们可以通过列方程解决这类实际问题。 回顾：列方程的一般步骤？ 1.审； 2.设； 3.列； 4.解； 5.验； 6.答. 新知探究 某景区内有一棵古槐树，景区管理处准备用护栏将古槐树保护起来.如图，其中古槐树在点处，与院墙的距离约为2.5 m.四边形为矩形，为院墙的一部分，其他三边用总长为16 m的护栏围成．已知矩形的面积为24 ㎡，求的长. 认识一元二次方程 如图，设的长为 m，则的长为 . 由于矩形面积为24㎡.你能根据题意，列出方程吗？ 整理得： ，是方程的解， 但 不符合实际意义，所以的长为6 m. 下节课会学习如何解哦！ 新知探究 1.已知甲、乙两数的积为35，其中甲数比乙数的2倍少3． 设乙数为，请列出方程. 认识一元二次方程 2. 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端从沿墙面下滑1 m，到那么梯子的底端从在地面上滑动到.设的长为 m，请列出方程. 甲数： 解：根据题意得，m，m 做一做 列方程： 由勾股定理得， 得， 整理得， 整理得： 新知探究 认识一元二次方程 观察与思考 ；； .这三个方程是一元一次方程吗？ 显然不是 这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 未知数的最高次数是2 这三个方程有什么共同特点呢？ 1. 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 未知数的最高次数是 2 称为一元二次方程 特点 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程，叫作一元二次方程 . 归纳总结 认识一元二次方程 归纳总结 一元二次方程的一般形式： () 典例分析 认识一元二次方程 例1 判断下列式子，哪些是一元二次方程？ ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥; ②中“含有两个未知数； ⑤整理后，二次项被抵消，未知数的最高次数是 1. ④中分母含有未知数，是分式方程； ⑥根号内含有未知数，不是整式方程。 ③中的值有可能为 0 ； 判断是否是一元二次方程的步骤： 首先看是不是整式方程，再化为一般形式。 必须满足三个条件： ①只含有一个未知数 ②未知数最高次数是2 ③等号两边都是整式（分母或根号内不含未知数） 注意：二次项系数是否限定范围，不要漏掉取0的情况。 方法技巧 新知探究 一元二次方程的一般形式： () 一元二次方程的一般形式 二次项 一次项 常数项 叫作二次项系数 叫作一次项系数 叫作常数项系数 你能指出前面三个方程的二次项系数、一次项系数和常数项吗？试一试吧！ 为什么? 可以为0吗？ 新知探究 一元二次方程的一般形式： () 一元二次方程的一般形式 当时， ， 当时， ， 当时， 当时， ， 总结：只要满足即可，可以为任意实数.即一元二次方程可以没有一次项和常数项。 一元一次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程； 一元二次方程的特殊形式 知识点1 一元二次方程的定义 1. 下列方程中，关于 的一元二次方程有( ) ①；②；③ ； ④；⑤ . A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 举一反三 11 2. 已知关于 的方程 是一元二次方程，则 的值 应为( ) C A. B. 3 C. D. 不能确定 【点拨】注意一元二次方程中二次项系数不为0. 解题支架 返回 举一反三 12 典例分析 一元二次方程的相关概念 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项、一次项和常数项。（P49） （1）; （2） （3）; （4） 做一做 解：(1)一般形式： 二次项、一次项和常数项； (2)一般形式： 二次项、一次项和常数项； 注意：二次项、一次项和常数项都需要包含前面的符号！ 典例分析 一元二次方程的相关概念 将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项、一次项和常数项。（P49） （1）; （2） （3）; （4） 做一做 解：(3)一般形式： 二次项、一次项和常数项； (4)一般形式： 二次项、一次项和常数项； 要确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程转化为方程的一般形式，同时包含系数前面的符号。 方法总结 新知探究 一元二次方程的根 把未知数的值分别代入方程的左右两边，如果能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的解，也叫这个方程的根. 例：下面哪些数是方程的解? 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 典例分析 例2 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 。 一元二次方程的根 分析：见根就代，得到关于未知数的方程，是解决类似问题的常用方法. 解：因为是一元二次方程的一个根， 将代入方程，得 所以. 随堂练习 1.下列方程，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）; （2）; （3）; （4） 基础过关(P49) 解：（1）化为一般形式： ; 二次项系数2、一次项系数1、常数项。 解：（2）化为一般形式： ;不是一元二次方程。 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. [沧州期中] 把方程 化成一般形式，若 二次项系数为1，则 的值是( ) B A. B. 7 C. D. 1 4.关于的方程 化为一般形式后不 含一次项，则 的值为____. 返回 举一反三 18 知识点3 一元二次方程的解 5. [承德期末] 若关于 的一元二次方程 有一个根为0，则 的值是 ( ) A A. B. 0 C. 1 D. 1或 返回 举一反三 19 6. 若是关于的方程 的解，则 代数式 的值是____. 【点拨】先求出的值再代入 比较困难，本题 根据方程的解的定义将代入方程 ,得 ,变形为 ,最后将待求式子变形 为后，将 整体代入求解. 返回 举一反三 20 7. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的 一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. （答案不唯一） 【点拨】由题意可设方程为，将 代入 ，得， 该方程 可为 . 返回 举一反三 21 知识点4 根据题意列一元二次方程 8. 根据下列问题，列出关于 的一元二次方程， 并将其化成一般形式. 举一反三 22 （1）深度求索 是一家专注人工智能领域的中国 科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式 技术.据 统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第 三天下载量连续增长，第三天为150万次.求下载量的日平均 增长率 ； 【解】,化成一般形式为 . 举一反三 23 （2）某学校为落实活动育人的教育理念， 计划将一块长为、宽为 的矩形空 地改建成一个菜园，供学生使用.如图,为了 ,化成一般形式为 . 方便打理菜园，计划在矩形空地上修筑同样宽的两条互相垂 直的小路，阴影部分为种菜区域，已知种菜区域的面积为 ，求小路的宽（单位： ）. 返回 举一反三 24 9. 如下表是某同学求代数式（， 为常数）的值的 情况.根据表格中数据，可知关于的方程 的 两个根的平方和为( ) … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … B A. 13 B. 5 C. 1 D. 8 返回 举一反三 25 10. 若一元二次方程 化为一般形 式后为，则一次函数 的图象不经 过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 举一反三 26 【点拨】一元二次方程 化为一 般形式后为 一元二次方 程 化为一般形式后为 ， 解得 ， 一次函数 的图 象经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选D. 返回 举一反三 27 课堂小结 概念 一元一次方程的区别和联系 找准项及系数 （≠0） 区别：字母指数, 联系：系数不能为0 确定一元二次方程的系数和常数项，必须要将方程化为一般形式，同时包含前面的符号. 一元二次方程 形式 根 能使方程的左右两边相等，则这个值是一元二次方程的根. ①含有一个未知数 ②未知数的最高次数是2 ③等号两边都是整式. 谢谢观看 THANKS $