17.4 直角三角形全等的判定 课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.4 直角三角形全等的判定专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 一、普通三角形全等判定（直角三角形同样适用） SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）。 ## 二、直角三角形专属判定：HL定理 **内容**：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成**HL**。 几何语言： 在$\text{Rt}\triangle ABC$和$\text{Rt}\triangle A'B'C'$中， $\begin{cases}AB=A'B'(\text{斜边})\\AC=A'C'(\text{一条直角边})\end{cases}$ $\therefore \text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle A'B'C'(\text{HL})$ > 重要注意： > 1. HL**只适用于直角三角形**，普通三角形不能使用HL； > 2. 使用HL写证明过程时，**必须先说明两个三角形是直角三角形**； > 3. HL不是“两条边相等”，必须是**斜边+一条直角边**。 ## 三、思路选择 - 已知两条直角边相等：用SAS； - 已知一个锐角+斜边/直角边：AAS或ASA； - 已知斜边和一条直角边：优先HL。 本节考点：HL定理的理解与证明书写；选择合适方法证明直角三角形全等；直角三角形全等综合证明；全等之后推导角、线段相等。 高频易错点： ① 对普通三角形使用HL； ② 证明书写时，漏掉“$\because \angle C=\angle C'=90^\circ$，$\therefore$是直角三角形”这一步； ③ 混淆HL条件：把两条直角边对应相等当成HL； ④ 判定全等时，SSA不能用来证明三角形全等，直角三角形也不可以（HL不属于SSA）。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 证明两个直角三角形全等，不能选用的方法是（） A.HL B.SSA C.AAS D.SAS 2. 两个$\text{Rt}\triangle$斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形（） A.周长相等但不全等 B.全等（HL） C.面积不等 D.一定相似但不全等 3. 在$\text{Rt}\triangle ABC$与$\text{Rt}\triangle DEF$中，$\angle C=\angle F=90^\circ$，若$\(AC=DF\)$，$\(AB=DE\)$，判定全等依据是（） A.SAS B.AAS C.HL D.SSS 4. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（） A.一条直角边和一个锐角对应相等 B.斜边和一个锐角对应相等 C.两个锐角对应相等 D.斜边和一条直角边对应相等 5. 下列说法正确的是（） A.HL可以用于任意三角形 B.两个直角三角形只要斜边相等就全等 C.HL是直角三角形特有的全等判定方法 D.两条直角边对应相等，证明全等用HL ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为________。 7. HL只能用于________三角形。 8. 证明两个直角三角形全等，除HL外，还可以用SSS、SAS、ASA、________。 9. 使用HL证明全等，需要一组斜边相等和一组________相等。 10. 两个直角三角形，仅三个内角对应相等，只能说明三角形相似，不能判定________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 已知：$\angle C=\angle D=90^\circ$，$\(AC=BD\)$，$\(AB=BA\)$。求证：$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD$。 12. 已知：$AD\perp BC$于$D$，$\(AB=AC\)$。求证：$\text{Rt}\triangle ABD\cong\text{Rt}\triangle ACD$。 13. 已知：$AC\perp BC$，$AD\perp BD$，垂足分别是$\(C,B\)$，$\(AC=BD\)$。求证：$\(AD=BC\)$。 14. 辨析题：小亮说：“两个直角三角形只要有两条边对应相等，就可以用HL证明全等。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；SSA不能判定任何三角形全等。 2.B；HL定理。 3.C；斜边$\(AB=DE\)$，直角边$\(AC=DF\)$，HL。 4.C；只有角相等，没有边相等，无法判定全等。 5.C；A错，HL仅限直角三角形；B错，还需要一组直角边相等；D错，两条直角边相等用SAS。 **填空题** 6.HL；7.直角；8.AAS；9.直角边；10.全等。 **解答题** 11.证明： $\because \angle C=\angle D=90^\circ$， $\therefore\triangle ABC$、$\triangle BAD$都是直角三角形。 在$\text{Rt}\triangle ABC$和$\text{Rt}\triangle BAD$中 $\begin{cases}\(AB=BA\)(\text{公共斜边})\\\(AC=BD\)(\text{直角边})\end{cases}$ $\therefore\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD(\text{HL})$。 12.证明： $\because AD\perp BC$，$\therefore \angle ADB=\angle ADC=90^\circ$。 $\therefore\triangle ABD$与$\triangle ACD$都是直角三角形。 在$\text{Rt}\triangle ABD$和$\text{Rt}\triangle ACD$中 $\begin{cases}\(AB=AC\)(\text{已知})\\AD=AD(\text{公共直角边})\end{cases}$ $\therefore\text{Rt}\triangle ABD\cong\text{Rt}\triangle ACD(\text{HL})$。 13.证明： $\because AC\perp BC$，$AD\perp BD$，$\therefore \angle C=\angle B=90^\circ$。 $\therefore\triangle ACB$与$\triangle BDA$都是直角三角形。 在$\text{Rt}\triangle ACB$和$\text{Rt}\triangle BDA$中 $\begin{cases}\(AB=BA\)(\text{公共斜边})\\\(AC=BD\)(\text{已知})\end{cases}$ $\therefore\text{Rt}\triangle ACB\cong\text{Rt}\triangle BDA(\text{HL})$。 $\therefore \(AD=BC\)$（全等三角形对应边相等）。 14.解：小亮说法错误。 HL要求必须是**斜边和一条直角边**对应相等。 若相等的两条边都是直角边，则不能用HL，应该用SAS证明全等。 所以“两条边对应相等”不一定满足HL的条件。 ## 本节小结 口诀：直角三角形证全等，普通判定照样行； 斜边直角边对应等，HL定理专属用； 书写先标直角条件，分清斜边直角边。 做题要点：看到直角三角形全等，先观察已知条件；斜边+直角边$\rightarrow$HL；两条直角边$\rightarrow$SAS；有角有边$\rightarrow$AAS/ASA。 高频丢分：证明不写直角；两条直角边相等错误写HL；普通三角形乱用HL。 本章到此结束，下一章：**18.1 平方根**专项练习，同样1212字吗？ 也可以给本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 一起探究 如果两边对应相等的两个直角三角形，那么其第三边一定相等吗？ 由勾股定理可知，两边对应相等的两个直角三角形，其第三边一定相等。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？ 新知●探究 已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB = A'B', AC=A'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. 证明: ∴在△ABC和△A'B'C'中，∠C=90°，∠C'=90°， ∴BC²=AB²-AC², B'C'²=A'B’²-A'C'².(勾股定理): ∴AB=A'B',AC=A'C', ∴ BC=B'C' ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). A B C A' B' C' 你能得出什么结论? 知识点1 直角三角形全等的判定 （第1题） 1. [石家庄裕华区期中] 如图， ， ，，根据“ ”证明 ，则还要添加( ) B A. B. C. D. 举一反三 4 （第2题） 2. 如图,已知在中， ，高 ，相交于点，连接 ，图中全等三 角形共有( ) D A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 举一反三 5 3. 如图，在中， ，在 中， ，，边上的高相等，若，则 的度 数为____. （第3题） 举一反三 6 新知●探究 总结归纳 直角三角形全等的判定定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 符号语言 条件1 条件2 前提 A B C A´ B´ C´ ┓ ┓ 在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 ∴ Rt△ABC≌Rt△A´B´C（HL） { AB=A′B′ AC=A′C′ (或BC=B′C′) \\ \\ \ \ “斜边、直角边” 或“HL”. 典例●精析 例1 已知:如图17.4-2，线段a，c. a 求作:△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. 分析:首先作出边BC，由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. a c 典例●精析 作法:如图17.4-3. (1)作线段CB=a. (2) 过点C，作MC⊥CB. (3)以B为圆心、c为半径画弧，交 CM 于点 A. (4)连接AB. △ABC 即为所求. 典例●精析 例2 已知:如图17.4-4，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别为C，D，且PC=PD.求证:点P在∠AOB的平分线上. A B C D O P 分析： 点P在∠AOB的平分线上 OP平分∠AOB ∠COP=∠DOP Rt△OPC≌Rt△OPD 典例●精析 证明:如图，作射线OP. ∵PC⊥OA，PD⊥OB， ∴ ∠PCO=∠PDO=90°. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD中， PC=PD(已知)，OP=OP(公共边)， :∴.Rt△OPC≌Rt△OPD(HL). :∠POA=∠POB. ∴OP 是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB 的平分线上. A B C D O P 新知●探究 总结归纳 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言 P A O B C E D 1 2 ∵PD=PE，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠1= ∠2. 即点P∠AOB的平分线OC上。 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。 角平分线性质定理的逆定理： 4. 如图，，，点，，， 分别在直线 与上，点在上，， ， ，则 ___. 7 （第4题） 举一反三 13 （第4题） 【点拨】， ， ， ， .在和 中， ， ， ， . 举一反三 14 5. [保定模拟] 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高 度与右边滑梯水平方向的长度 相等，两个滑梯的倾斜 角和 的数量关系是____________________. 举一反三 15 【点拨】由题意可得：与 均是直角三角形，且 ， ， . .在和中，， 举一反三 16 6. 如图，在中， ， 于点 ． （1）求证： ； 【证明】 ， . 在和中， . 举一反三 17 （2）过点作于点，交于点 ，若 ．求证： ． 举一反三 18 ， . ， . . 又 , . 举一反三 19 . . ． 举一反三 知识点2 根据“ ”用尺规作三角形 7. 如图，已知线段，，其中，求作直角三角形 ， 使得为直角，， （尺规作图，保留作图痕 迹，不写作法）. 举一反三 21 【解】如图， 为所作. 举一反三 22 8. 在和中， ， ，，已知 ，则 ( ) D A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 举一反三 23 课堂●小结 谢谢观看 THANKS $