2.3.2 两点间的距离公式（5个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.2 两点间的距离公式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 两点间的距离 （1）公式：点，间的距离公式__________________. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求平面两点间的距离 基础知识 核心知识 平面内两点两点间距离公式 若两点横坐标相同距离等于纵坐标差的绝对值 若两点纵坐标相同距离等于横坐标差的绝对值 方法技巧 1找准两点横纵坐标代入公式直接计算 2优先观察两点是否横或纵坐标相等简化运算 3计算平方部分注意符号最后再开方 4结果化简根式保留最简二次根式形式 典型例题 【例题 1】（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线、的方程，联立求解得到点坐标，根据两点间的距离公式即可求出. 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 【例题2】（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 【巩固练习2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 【巩固练习3】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 【题型2】 由顶点坐标判定三角形的形状 基础知识 核心知识 利用两点距离公式求出三角形三边长度 通过边长关系判断三角形类型 两边相等为等腰三角形 三边相等为等边三角形 满足勾股定理为直角三角形 满足勾股不等式可判断锐角或钝角三角形 方法技巧 1求出三个顶点两两之间距离得到三边长 2先比较边长判定是否为等腰等边三角形 3计算边长平方用勾股定理检验是否存在直角 4综合结论准确描述三角形形状 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. 【例题2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 【巩固练习2】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 【巩固练习3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 【题型3】 由距离求点的坐标 基础知识 核心知识 已知一点坐标与两点距离设未知点坐标代入距离公式列方程 方程一般为根式方程平方后转化为一元二次方程求解 方法技巧 1设待求点坐标根据距离条件列出等式 2等式两边同时平方去掉根号转化整式方程 3解一元二次方程得到多组解必须回代检验排除增根 4结合题目限制条件舍去不符合题意的解 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 【例题2】（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 【巩固练习2】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 【巩固练习3】已知直线和点． (1)过点作直线与已知直线平行，求直线的方程； (2)过点作直线与已知直线相交于点，且使，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出直线的方程，再代入求出参数值即得. （2）由直线的方程设出点的坐标，利用两点间距离公式得解. 【详解】（1）由直线，设直线的方程为，而直线过， 因此，解得， 所以直线的方程为. （2）由于直线与直线相交于点，设，而，， 因此，整理得，解得或， 于是点或，所以直线的方程为或. 【题型4】 由两点间的距离公式求函数的最值 基础知识 核心知识 将带根号的代数式变形为两点距离形式几何意义为平面上两点之间的距离 可看作动点到定点的距离 方法技巧 1对函数解析式配方拆成横纵坐标差的平方和 2转化为动点到定点距离的几何模型 3利用对称点两点之间线段最短求解最小值 4结合图像分析避免单纯代数运算带来的复杂计算 典型例题 【例题1】（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【答案】 【分析】将问题转化为点到点的距离之和的最小值即可. 【详解】表示点到点的距离之和， 因为当点位于线段上时有最小值， 当点位于线段上时有最小值， 故点是线段的交点时，有最小值，最小值为. 【例题2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 【答案】 【分析】，表示点到点和的距离之和，找出关于轴对称的点，作图数形结合即可求出答案. 【详解】， 表示点到点和的距离之和， 如图所示， 点是关于轴的对称点，所以， ， 故最小值为， 此时的方程为，令，解得， 所以当时，取得最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从中解出，代入得到，则表示点到点的距离与点到点的距离之和，故的最小值就是的值，利用两点间距离公式求解即可得解. 【详解】是正数，，，，，， ， 表示点到点的距离与点 到点的距离之和， 的最小值就是的值，且， 的最小值即的最小值为. 故选：A.    【巩固练习3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【题型5】 与距离有关的新定义 基础知识 核心知识 读懂题目给出的距离新定义不混用课本两点距离公式 严格按照题干规则列式运算本质为坐标运算问题 方法技巧 1圈画题干中新定义的运算规则区分常规距离公式 2代入坐标按照定义分步列式 3结合方程不等式或者函数知识求解 4检验结果是否符合题干约束条件 典型例题 【例题1】（25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【分析】先应用新定义列式结合绝对值不等式计算得，再应用直线弦长公式计算求解. 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. 【例题2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为. （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出点，再利用切比雪夫距离的定义，即可求解. 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 【巩固练习2】（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 【答案】(1)，余弦距离为； (2). 【分析】（1）根据题设中距离的定义求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离即可； （2）根据已知可得、，再结合及正余弦和差公式、平方关系求得、，进而求出M、P的坐标，再由曼哈顿距离的定义求结果. 【详解】（1）由题设定义知：， ，则余弦距离为； （2），又，则， ，则， 所以，结合，， 所以，可得或， 由，即，故，则， ， ， 所以，，则. 【巩固练习3】（24-25高二上·湖北·期末）（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 【答案】ACD 【分析】由新距离定义求解判断A；由新距离定义，分类讨论求出点P的轨迹判断B；设M为直线上的动点，由新距离定义，分情况讨论判断C；由新距离定义，结合绝对值的几何意义推理判断D. 【详解】对于A，，，则，A正确； 对于B，，即， 当且时，有，即； 当目时，有，即； 当且时，有，即； 当目时，有，即； 因此点P的轨迹围成的图形是以为顶点的正方形， 边长为，面积为，B错误；    对于C，令M为直线上的动点，设， 则与点的“新距离”， 当时，， 当时，， 当时，， 因此点 D到直线的“新距离”，C正确； 对于D，由绝对值的几何意义得，， 则，， 将两式相加得：， 即，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及新定义的理解和运用问题，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 3．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 4．（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点坐标，记点，点，求出，即可得解. 【详解】直线，即， 令，解得，所以直线恒过点， 不妨记点，点， 又，， 当直线与垂直时点到直线的最大距离，最大距离为， 此时，解得，符合题意； 故选：B 5．（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据两函数式结构构造动点到定点的距离形式，结合三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确. 故选：D 6．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】设 ，由直线的斜率与直线的斜率的差是2，得到点 M 的轨迹方程， ；由，化简得到， 利用换元法令 ，求解得到. 【详解】设 ， 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2， 所以， 化简得到点 M 的轨迹方程， ， 由，将代入得到 ， 令得到且， 所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴 当时，，所以. 故选：A. 8．（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】令，根据题意可化为二次函数，即可求出结果. 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 9．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设动点，根据两点之间距离列得等式，结合方程有根解得范围. 【详解】设动点，因为，所以， 两边平方得，化简得， 即，将该式看作关于的一元二次方程： ， 因为点存在，所以该关于的方程必有非负实数解， 其判别式， 解得，所以，故的纵坐标的最大值为. 故选：C. 二、多选题 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 【答案】ACD 【分析】求出，即可判断A，利用锐角三角函数判断B，由面积公式判断C，求出，再由点斜式求出边上的高所在直线方程，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 【答案】 【分析】由两点的距离公式，即可解出答案. 【详解】设，则， ， 故答案为：. 12．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将题中所给的问题转化为几何问题，再进行求解即可. 【详解】由题可知，，表示边长为1的正方形区域内点的集合. 表示动点到定点四点的距离之和, 于是题目转化为求该距离的最小值. 因为两点之间线段最短，所以到的距离之和的最小值为正方形对角线长度. 同理，到的距离之和的最小值为正方形对角线长度.此时原式最小值为. 当且仅当为正方形对角线交点，即时等号成立. 13．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 【答案】5 【分析】由二次根式的几何意义，两点间的距离以及利用轴对称性质求解即可. 【详解】因为，即表示轴上到点的距离， 同理可表示轴上到点的距离，所以 可以表示为，点关于轴的对称点， 则，故，由两点之间线段最短， 则的最小值为的长度，故，所以. 四、解答题 14．（25-26高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年证明了定理：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，，. (1)求的“欧拉线”的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得的“欧拉线”即线段的垂直平分线，求解斜率与中点即可得方程； （2）由题意得点在“欧拉线”上，设，由可得的值，利用三角形面积公式求解即可得所求. 【详解】（1）在中，因为，则的“欧拉线”即线段的垂直平分线， 由，得，则“欧拉线”的斜率为， 又的中点坐标为，所以所求直线方程为， 即的“欧拉线”的方程； （2）由（1）可知点在“欧拉线”上， 设，则，整理得， 所以三角形的高为， 又， 则. 15．（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. (1)求的面积； (2)求中边上的高所在的直线方程. 【答案】(1)14； (2). 【分析】（1）先由两点间距离公式和余弦定理依次求出三角形的三边和夹角即可由正弦定理面积公式计算求解； （2）由和两垂直直线的斜率关系得到所求直线斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. （2）因为，所以中边上的高所在的直线斜率为， 所以中边上的高所在的直线方程为，即. 16．（25-26高二上·广东·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. 【详解】（1），所以. （2）设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以若，则.         当，，时，.         设，，，则，. 所以，         所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.         对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.         由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. $2.3.2 两点间的距离公式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 两点间的距离 （1）公式：点，间的距离公式__________________. （2）文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求平面两点间的距离 基础知识 核心知识 平面内两点两点间距离公式 若两点横坐标相同距离等于纵坐标差的绝对值 若两点纵坐标相同距离等于横坐标差的绝对值 方法技巧 1找准两点横纵坐标代入公式直接计算 2优先观察两点是否横或纵坐标相等简化运算 3计算平方部分注意符号最后再开方 4结果化简根式保留最简二次根式形式 典型例题 【例题 1】（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【例题2】（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【巩固练习2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【巩固练习3】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【题型2】 由顶点坐标判定三角形的形状 基础知识 核心知识 利用两点距离公式求出三角形三边长度 通过边长关系判断三角形类型 两边相等为等腰三角形 三边相等为等边三角形 满足勾股定理为直角三角形 满足勾股不等式可判断锐角或钝角三角形 方法技巧 1求出三个顶点两两之间距离得到三边长 2先比较边长判定是否为等腰等边三角形 3计算边长平方用勾股定理检验是否存在直角 4综合结论准确描述三角形形状 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【例题2】（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【巩固练习2】（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【巩固练习3】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【题型3】 由距离求点的坐标 基础知识 核心知识 已知一点坐标与两点距离设未知点坐标代入距离公式列方程 方程一般为根式方程平方后转化为一元二次方程求解 方法技巧 1设待求点坐标根据距离条件列出等式 2等式两边同时平方去掉根号转化整式方程 3解一元二次方程得到多组解必须回代检验排除增根 4结合题目限制条件舍去不符合题意的解 典型例题 【例题1】（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【巩固练习2】（26-27高二上·全国·课堂例题）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【巩固练习3】已知直线和点． (1)过点作直线与已知直线平行，求直线的方程； (2)过点作直线与已知直线相交于点，且使，求直线的方程． 【题型4】 由两点间的距离公式求函数的最值 基础知识 核心知识 将带根号的代数式变形为两点距离形式几何意义为平面上两点之间的距离 可看作动点到定点的距离 方法技巧 1对函数解析式配方拆成横纵坐标差的平方和 2转化为动点到定点距离的几何模型 3利用对称点两点之间线段最短求解最小值 4结合图像分析避免单纯代数运算带来的复杂计算 典型例题 【例题1】（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）著名数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，解决下述问题：已知．则的最小值为_______ 【例题2】（26-27高二上·河南焦作·开学考试）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，可得最小值为__________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知，是正数，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 与距离有关的新定义 基础知识 核心知识 读懂题目给出的距离新定义不混用课本两点距离公式 严格按照题干规则列式运算本质为坐标运算问题 方法技巧 1圈画题干中新定义的运算规则区分常规距离公式 2代入坐标按照定义分步列式 3结合方程不等式或者函数知识求解 4检验结果是否符合题干约束条件 典型例题 【例题1】（25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【例题2】（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【巩固练习2】（2025·江西南昌·模拟预测）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为 (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离. 【巩固练习3】（24-25高二上·湖北·期末）（多选）在平面直角坐标系内，定义任意两点“新距离”为：，在此距离定义下，点到直线的“新距离”就是点与直线上所有点的“新距离”的最小值，记作符号.已知点，，直线.（    ） A． B．到点C“新距离”等于1的点所围成的图形的面积为4 C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 2．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高二上·天津静海·期中）点到直线的最大距离是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 6．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 7．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 8．（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 9．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，点，，动点满足，则的纵坐标的最大值为（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 10．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 三、填空题 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知两点都在直线上，且两点横坐标之差为，则两点之间的距离为__________. 12．（26-27高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 13．（2026高一上·广东江门·竞赛）对于任意，不等式恒成立，则m最大值为________． 四、解答题 14．（25-26高二上·江苏徐州·期中）瑞士数学家欧拉（Euler）在1765年证明了定理：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，，. (1)求的“欧拉线”的方程； (2)求的面积. 15．（25-26高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，. (1)求的面积； (2)求中边上的高所在的直线方程. 16．（25-26高二上·广东·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. $