2.3.1 两条直线的交点坐标2.3.2 两点间的距离公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线的交点坐标”与“两点间的距离公式”核心知识点，承接直线方程的代数表示，通过解方程组求交点、依据解的个数判断直线位置关系，推导并应用两点间距离公式，为解析几何后续学习搭建代数与几何转化的支架。 资料以情境导入衔接平面几何与代数方法，问题驱动式探究培养逻辑推理（如通过方程组解的个数分析直线位置关系），坐标法证明几何问题提升直观想象（如证明三角形中线性质）。课中助教师引导学生转化，课后训练题及变式题帮助巩固，有效查漏补缺。

2.3.1　两条直线的交点坐标 2.3.2　两点间的距离公式 课标要求 情境导入 1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）. 2.会根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系（逻辑推理）. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）. 4.会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）. 　　在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 知识点一　两条直线的交点坐标 问题　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标是方程组的解. 1.两条直线的交点坐标 已知两条直线的方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线　l1　上，也在直线　l2　上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组的解. 2.两条直线位置关系的判断 方程解的个数与两条直线的位置关系 直线位置关系 方程组的解 方程系数关系 l1与l2相交 有唯一解 A1B2≠A2B1 l1与l2平行 无解 A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1 l1与l2重合 无数个解 A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.（　×　） （2）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（　√　） （3）直线x＋y＝0和2x＋2y＋3＝0的交点有无数个.（　×　） （4）直线x＝1与y＝2的交点坐标是（1，2）.（　√　） 2.（链接教材P70例1）若直线y＝2x＋6与直线y＝kx的交点纵坐标为4，则k＝（　　） A.－4　　 　B.－2 C.2　　　 　D.4 解析：A　因为直线y＝2x＋6与直线y＝kx的交点纵坐标为4，所以将y＝4代入直线方程y＝2x＋6中，得x＝－1，所以交点坐标为（－1，4）.将交点坐标（－1，4）代入y＝kx中，得k＝－4. 3.（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系.如果直线相交，求出交点的坐标： （1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18； （2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0； （3）l1：2x＋3y－3＝0和l2：y＝1－x. 解：（1）解方程组得 所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）. （2）解方程组无解，所以直线l1和l2没有公共点，即l1∥l2. （3）l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－x＋1， 与l2：y＝1－x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合. 规律方法 1.求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法求解即可. 2.判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况. 知识点二　两点间的距离公式 问题　（1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜. （2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离？ 提示：因为＝（x2－x1，y2－y1），所以｜｜＝. 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 ｜P1P2｜＝　 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝　 提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜. 角度1　两点间的距离公式 （1）（链接教材P73例3）已知点P是直线y＝x＋2上一点，点P与点（4，7）间的距离为5，则点P的坐标为　（1，3）或（8，10）　； 解析：因为点P是直线y＝x＋2上一点，可设P（m，m＋2），则＝5，解得m＝1或m＝8，所以点P的坐标为（1，3）或（8，10）. （2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C（3，0），试判断△ABC的形状. 解：如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证. 因为｜AB｜＝＝2， ｜AC｜＝＝， ｜BC｜＝＝5. 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. 规律方法 求两点间距离的方法 　　首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入时注意点的坐标的对应位置要准确. 角度2　坐标法的应用 （链接教材P73例4）在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 证明：如图，以D为原点，以BC所在边的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设点A（b，c），C（a，0），则B（－a，0）， 因为｜AB｜2＝（a＋b）2＋c2， ｜AC｜2＝（a－b）2＋c2，｜AD｜2＝b2＋c2， ｜DC｜2＝a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（a2＋b2＋c2）， ｜AD｜2＋｜DC｜2＝b2＋c2＋a2， 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝2（｜AD｜2＋｜DC｜2）. 规律方法 用坐标法解决几何问题的基本步骤 （1）建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量； （2）进行有关的代数运算； （3）把代数运算结果“翻译”成几何关系. 提醒：建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算. 训练1　（1）（2026·北京期中）过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为，则｜MN｜＝（　　） A.2 B.2 C.4 D.4 解析：B　因为过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率k＝＝，解得a＝2，所以M（－2，2），N（2，4），所以｜MN｜＝＝2.故选B. （2）（2026·常州月考）已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：｜AC｜＝｜BD｜. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0）， 设B（a，0），C（b，c），则点D的坐标是（a－b，c），所以｜AC｜＝＝， ｜BD｜＝＝. 故｜AC｜＝｜BD｜. 提能点　过定点的直线问题 角度1　定点的求解 〔一题多解〕求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过一个定点. 证明：法一　取m＝0，得直线3x＋y＋3＝0； 取m＝1，得直线4x＋3y－6＝0， 解方程组得 故两条直线的交点为（－3，6）. 下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过点（－3，6）. 将x＝－3，y＝6代入方程，左边＝9m－3＝右边， 故直线恒过点（－3，6）. 法二　直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0. ∵对任意m该方程恒成立， ∴解得 故直线恒过点（－3，6）. 规律方法 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）赋值法：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点即可； （2）直线系法：把方程整理为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，其中λ∈R，可由方程组解得. 角度2　过定点的直线系问题 〔一题多解〕求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程. 解：法一　解方程组得 所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3（x＋），即15x＋5y＋16＝0. 法二　设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*） 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有 得λ＝，代入（*）式得x＋y＋（2×－3）＝0，即15x＋5y＋16＝0. 变式　本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？ 解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为5x－15y－18＝0. 规律方法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程. 训练2　（1）（2026·长沙期中）无论λ为何值，直线（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）＝0过定点（　　） A.（－2，2） B.（－2，－2） C.（－1，－1） D.（－1，1） 解析：A　由（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）＝0，得λ（2x＋y＋2）＋（3x＋4y－2）＝0，由得所以直线（2λ＋3）x＋（λ＋4）y＋2（λ－1）＝0恒过定点（－2，2）. （2）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点，试求直线l的方程. 解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0. 1.直线l1：x－y＝5与l2：3x－2y＝12的交点在（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　解方程组得所以两条直线的交点为（2，－3），在第四象限. 2.已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），若A，B，C是△ABC的三个顶点，则△ABC是（　　） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：B　因为｜AB｜＝＝2，｜AC｜＝＝2，｜BC｜＝＝2，所以｜AC｜＝｜BC｜＞｜AB｜，△ABC为等腰三角形. 3.经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量为v＝（3，2）的直线方程为　2x－3y＋1＝0　. 解析：由解得故交点坐标为（1，1），因为直线的一个方向向量v＝（3，2），所以直线方程为y－1＝（x－1），即2x－3y＋1＝0. 4.已知点A（－3，4），B（2，），在x轴上找一点P，使｜PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为（x，0），则有 ｜PA｜＝＝， ｜PB｜＝＝. 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－. 故所求点P的坐标为. ｜PA｜＝＝. （时间：45分钟　满分：86分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝（　　） A.－5 B.－9 C.－5或9 D.－9或5 解析：C　由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5. 2.下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（　　） A.2ax－ay＋6＝0（a≠0） B.y＝2x C.2x－y＋5＝0 D.2x＋y－3＝0 解析：D　选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交. 3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（　　） A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 解析：B　设P（x，y），则＝，化简得3x＋y＋4＝0. 4.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（　　） A.5　　 　B.2 C.5　　 　D.10 解析：C　点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C. 5.〔一题多解〕已知点M（0，－1），点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是（　　） A.（2，3） B.（－2，－1） C.（－4，－3） D.（0，1） 解析：A　法一　由直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0，将点M（0，－1）代入，得m＝－1，所以直线MN的方程为2x－y－1＝0.由解得即N（2，3）. 法二　设N（x0，x0＋1）.因为直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，所以kMN·（ －）＝－1，即·（ －）＝－1，得x0＝2，则N（2，3）. 6.〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为（　　） A.－24 B.6 C.－6 D.0 解析：BC　因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为（0，b），所以消去b，可得m＝±6.故选B、C. 7.〔多选〕在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），则点B的坐标可能是（　　） A.（6，4） B.（2，0） C.（4，6） D.（0，2） 解析：BC　设B（x，y），因为△ABC是等腰直角三角形，且∠C＝90°，点A，C的坐标分别为（0，4），（3，3），所以解得或故选B、C. 8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，m），则m＝　－2　. 解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2. 9.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　. 解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 10.（13分）已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： （1）过点P与Q（1，4）的直线方程； （2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程. 解：（1）设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0，即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0.　① 把点Q（1，4）代入方程①，化简得3－5m＝0， 解得m＝，所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. （2）结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 11.〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则实数a的取值可能为（　　） A.－2 B.0 C.1 D.3 解析：CD　直线l：ax＋y＋3a－3＝0变形为y－3＝－a（x＋3），故直线l过定点C（－3，3），且斜率为－a，又｜AB｜＝＝5，要想直线l：ax＋y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5， 即l：ax＋y＋3a－3＝0与线段AB有交点，因为kBC＝＝－，kAC＝＝－4，故－a∈［－4，－］，解得a∈［，4］，故C、D满足要求，A，B不满足要求.故选C、D. 12.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a＝　－1或或－2　. 解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得解得所以l1与l2过点（－2，1），将（－2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综上，当a＝－1，，－2时，不能构成三角形. 13.（15分）已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0. （1）求证：直线l恒过定点； （2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB的中点，求m. 解：（1）证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0， 由于m∈R，则解得 即直线l恒过定点（－1，2）. 所以直线l恒过定点. （2）由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0）， 因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）. 因为A，B分别在直线l1和直线l2上， 所以 解得所以A（－2，5）. 将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－. 所以m的值为－. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $