2.3.1 两条直线的交点坐标（5个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1 两条直线的交点坐标 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和_重合_____；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和__平行____；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和__相交____；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求直线的交点坐标 基础知识 核心知识 两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解 方程组有唯一解两直线相交 方程组无解两直线平行 方程组有无数组解两直线重合 方法技巧 1联立两条直线一般式方程解二元一次方程组 2计算结果检验将解代回原直线方程验证 3先判断直线位置关系提前预判解的情况 4化简方程再计算减少分数运算失误 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·河南·阶段检测）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【答案】 【详解】时，两直线不垂直，不合题意，所以直线的斜率为， 又直线的斜率为3，且两条直线互相垂直，所以，解得． 由，解得，即这两条直线的交点坐标为． 【例题2】（2026高二·全国·专题练习）（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 【答案】（1） 交点坐标为； ； （2） 或；当时，垂足坐标为；当时，垂足的坐标为. 【详解】（1）联立，解得， 故两直线，的交点坐标为； 图形如下： （2）由于，所以， 解得或. 当时，，， 由，解得，即垂足坐标为. 当时， ，， 两直线的交点，也即垂足的坐标为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【答案】(1) (2)直线的方程为； 【分析】（1）首先求的中点坐标，再求直线方程； （2）根据垂直关系求直线的斜率，再求直线方程；联立直线和的方程，求交点坐标. 【详解】（1）设边上的中点为点，且、， 则，即， 边上的中线为，，所以直线, 所以边上中线的方程为； （2）， 因为，所以，则， 所以直线的方程为， 直线，整理为：， 联立，得，， 则点的坐标为. 【巩固练习2】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【巩固练习3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 【题型2】 由直线的交点个数求参数 基础知识 核心知识 两直线相交 两直线平行且 两直线重合且 方法技巧 1转化为方程组解的个数问题利用系数行列式判断 2分类讨论参数取值分开讨论相交平行重合三类情况 3求出参数后回代检验排除增根 4斜率存在性优先讨论不要遗漏斜率不存在的特殊情况 典型例题 【例题1】（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 【例题2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由整理可得，根据题意可知，直线过点，或直线与平行，综合可得出实数的值. 【详解】由整理可得. 因为集合，. （1）直线过点，则，解得， 此时，直线与直线不平行； （2）若直线与平行，则，解得. 综上所述，或. 故选：BD. 巩固练习 题型 【巩固练习1】三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 【巩固练习2】（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【分析】M集合可以看作一条挖去一点的直线，N集合为一条直线，交集为空集，则N的直线经过或M与N的直线平行﹒ 【详解】∵，∴． 将点代入，得，解得(舍去)或． 又当时，可变形为， 当直线与平行时， 有，解得或(舍去) 当或时，符合题意. 故选：BD 【巩固练习3】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与线段有交点得出不等式求解即可. 【详解】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B 【题型3】 三条直线能否构成三角形的问题 基础知识 核心知识 三条直线能构成三角形的条件任意两条不平行且三条不共点 不能构成三角形的两种情况存在两条直线平行三条直线交于同一点 方法技巧 1反面求解更简便先求不能构成三角形的参数再取补集 2第一步找出任意两直线平行时参数 3第二步求出两条直线交点代入第三条直线求三线共点参数 4合并两类参数剩余取值即为可构成三角形范围 典型例题 【例题1】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 【例题2】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【巩固练习3】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 【题型4】 直线的交点系方程及其应用 基础知识 核心知识 过两直线交点的直线系方程 该方程表示除以外所有过交点的直线 方法技巧 1求过两直线交点的直线直接设交点系方程无需先求交点 2利用平行垂直条件列等式解参数 3检验是否满足题意避免漏掉这条直线 4定点问题可用直线系快速判断定点 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【例题2】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【巩固练习2】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 【巩固练习3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【题型5】 两直线的交点坐标及其应用 基础知识 核心知识 求出交点坐标后可结合距离公式斜率公式解决面积最值轨迹相关综合问题 交点是两条直线公共点同时满足两条直线方程 方法技巧 1先联立方程算出交点坐标再代入后续几何条件 2几何问题优先画图分析理清点线位置关系 3含参数问题可把交点坐标用参数表示再进行化简 4结合不等式函数求范围或最值 典型例题 【例题1】（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 【例题2】三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，最大值为1，无最小值. 【分析】首先确定三个顶点的坐标，用坐标表示的面积，求最大值. 【详解】解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 如图，， 得， 因为，所以当及，即，，时，最大，最大值为1，无最小值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 【答案】 【分析】分和两种情况进行讨论，根据面积关系结合等腰梯形的对称性从而可得的取值范围. 【详解】显然四边形为等腰梯形， 因为，根据等腰梯形的对称性可知：当或时不符合题意，所以， 当时，设直线与y轴的交点， 根据等腰梯形的对称性可得符合题意； 当时，设直线与梯形上、下底分别交于M、N， 因为三角形与三角形全等， 所以直线将四边形分割为面积相等的两部分；    当时，设直线与轴交于点，与梯形两腰交于， 直线将四边形分割为面积相等的两部分，则该直线与梯形的两腰交于， 可知：直线， 联立，解得，即， 同理可得：， 由题意可得：， 整理得，且，解得；    综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：利用等腰梯形的对称性，并分类讨论和数形结合处理问题. 【巩固练习2】已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由及已知直线的斜率可求直线的斜率，进而可求直线的方程； （2）先设，进而表示的坐标，再由点在直线及中点坐标公式可求． 【详解】（1）设边上的高为， ，且直线的方程为，故斜率为， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即；    （2）设，则， 由题意得， 解得，， ． 【巩固练习3】已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点的坐标为，所在直线的方向向量为，得出所在直线的斜率，从而得出，利用中点坐标公式得出的中点坐标为，结合的中点在直线上，代入即可求出，即可求出点的坐标. 【详解】解：已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为， 设点的坐标为，所在直线的方向向量为， 则所在直线的斜率， ，得， 所以，则的中点坐标为， 边上的中线所在的直线方程为， 则的中点在直线上， ，解得：， 所以点的坐标为. 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的充要条件，代入对应直线系数计算即可得到的值. 【详解】由于直线与垂直， 得 ，解得. 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立直线方程，求出交点坐标即可得解. 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 3．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知直线斜率存在，设直线方程，联立两直线可得点，分情况讨论当为钝角时，则，当为钝角时，则，分别解不等式即可. 【详解】由已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限， 则直线斜率存在，设， 联立直线方程，解得，即， 由点在第一象限，所以，解得， 当为钝角时，由，， 则，解得； 当为钝角时，由，， 则，解得， 综上所述，， 故选：C. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用两直线垂直的充要条件求出，进而求出垂足的坐标，即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 5．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定斜率是否存在，然后写出直线方程，联立方程组解得交点坐标，由中点坐标解得直线方程. 【详解】当直线斜率不存在时，， 则直线与两条直线和的交点分别为和， 两交点的中点坐标为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设，由题意可知，. 联立，解得交点为， 联立，解得交点为， 由题意可知，所以， 所以. 二、多选题 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知求出的垂直平分线方程，与欧拉线方程联立求得外心坐标，从而得到圆的方程，设，根据三角形的重心在欧拉线上，再与圆的方程联立即可求出的坐标，从而选出选项. 【详解】因为点､，的垂直平分线方程为， 又因为外心在欧拉线上， 联立，解得三角形的外心为， 又因为， 所以的外接圆方程为. 设，则三角形的重心在欧拉线上， 即，整理得：， 又因为在外接圆上，得， 联立，解得：或， 所以顶点的坐标可以是或， 故选：AD. 三、填空题 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 【答案】1 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】联立，解得， 把交点坐标代入，得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 【答案】 【分析】先求出两直线的交点坐标，根据两直线垂直，斜率的关系，可求出所求直线的斜率，代入公式，即可得答案. 【详解】联立，解得，即交点坐标为， 直线变形为，斜率为， 所以所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得. 故答案为： 9．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【分析】联立方程求出交点坐标，分截距是否为0讨论求解直线方程. 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 四、解答题 10．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)求顶点B的坐标； (2)求顶点A的坐标 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两条直线的交点求解即可； （2）根据垂直关系求出直线所在直线，联立所在直线求解即可. 【详解】（1）由，解得，可得顶点. （2）因为所在直线的方程为， 所以， 又因为得， 所以设的方程为， 将代入可得， 由，解得， 可得顶点为. 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简直线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）设直线分别与直线交于两点，联立方程组，求得的坐标，得到的中点，设点在直线和上，利用三角形全等，证得，所以为的中点，代入直线的方程，即可求解. 【详解】（1）解：由直线，可化为， 联立方程组，解得， 所以直线恒过定点. （2）解：设直线分别与直线交于两点， 由，解得，即， 又由，解得，即， 所以的中点的坐标为， 不妨设点在直线上，点在直线上，则，所以， 所以为的中点，将点代入直线的方程， 可得，解得. 12．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得直线l1与l2的交点，根据直线的点斜式方程求得直线的方程，并转化为一般式方程； （2）根据平行求出直线l4的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程； （3）根据垂直求出直线l5的斜率，直接写出其点斜式方程，并转化为一般式方程. 【详解】（1）联立直线方程得解得：，∴交点 ∵直线的倾斜角为，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （2）∵直线与直线平行，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. （3）∵直线与直线垂直，∴，∴ ∴直线的点斜式方程为：，化为一般式：. 13．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 14．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用直线点斜式方程可整理得到直线方程；由直线截得到，通过确定临界直线斜率可得的范围； （2）将直线与方程联立可得点坐标，代入，结合三角形面积公式可求得结果； （3）利用表示出，设，换元后，结合对勾函数的性质可求得的取值范围，进而可将能成立的不等式化为，令，可将化为，再次利用对勾函数性质求得，由此可得的取值范围. 【详解】（1）由题意知：，； 直线经过点，斜率为， 直线方程为：，即； ，，又直线与线段均有交点， . （2）由题意知：直线， 由得：，； 当时，，则轴， ，. （3）由题意知：直线； 由得：，； ， ， ，设，则，， ， 在上单调递增，，， ，则可化为：， 令，则，， ， 在上单调递减，， ，即的取值范围为. 15．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点、的坐标； (2)直线的方程； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设点，表示出中点坐标，将坐标分别代入直线和的方程，求出的坐标，再求出直线的方程，与直线的方程联立，可求得点的坐标； （2）根据（1）、的坐标求出直线的斜率，进而可求得直线的方程. 【详解】（1）设点，则线段中点坐标为， 因为在直线上，所以，即 又在直线上，所以， 联立，解得，所以； 又边上的高所在直线方程为， 所以可设直线的方程为， 将点代入得：，故， 所以直线的方程为， 联立，解得，故； （2）由（1）可得，，所以 所以直线的方程为，即. $2.3.1 两条直线的交点坐标 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和_重合_____；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和__平行____；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和__相交____；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 求直线的交点坐标 基础知识 核心知识 两条直线的交点坐标就是二元一次方程组的解 方程组有唯一解两直线相交 方程组无解两直线平行 方程组有无数组解两直线重合 方法技巧 1联立两条直线一般式方程解二元一次方程组 2计算结果检验将解代回原直线方程验证 3先判断直线位置关系提前预判解的情况 4化简方程再计算减少分数运算失误 典型例题 【例题 1】（26-27高二上·河南·阶段检测）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为_________． 【例题2】（2026高二·全国·专题练习）（1）求两直线，的交点坐标，并画出图形． （2）已知直线，．当时，求a的值及垂足的坐标． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知三角形的三个顶点分别为、、； (1)求边上中线的方程， (2)过点作的垂线，垂足为，求直线的方程并求出点的坐标， 【巩固练习2】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【题型2】 由直线的交点个数求参数 基础知识 核心知识 两直线相交 两直线平行且 两直线重合且 方法技巧 1转化为方程组解的个数问题利用系数行列式判断 2分类讨论参数取值分开讨论相交平行重合三类情况 3求出参数后回代检验排除增根 4斜率存在性优先讨论不要遗漏斜率不存在的特殊情况 典型例题 【例题1】（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是______. 【例题2】（23-24高二上·江苏徐州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【巩固练习2】（多选）设集合，且，则正实数的取值可以为（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【巩固练习3】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 三条直线能否构成三角形的问题 基础知识 核心知识 三条直线能构成三角形的条件任意两条不平行且三条不共点 不能构成三角形的两种情况存在两条直线平行三条直线交于同一点 方法技巧 1反面求解更简便先求不能构成三角形的参数再取补集 2第一步找出任意两直线平行时参数 3第二步求出两条直线交点代入第三条直线求三线共点参数 4合并两类参数剩余取值即为可构成三角形范围 典型例题 【例题1】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【例题2】（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【巩固练习2】（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【题型4】 直线的交点系方程及其应用 基础知识 核心知识 过两直线交点的直线系方程 该方程表示除以外所有过交点的直线 方法技巧 1求过两直线交点的直线直接设交点系方程无需先求交点 2利用平行垂直条件列等式解参数 3检验是否满足题意避免漏掉这条直线 4定点问题可用直线系快速判断定点 典型例题 【例题1】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【例题2】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高三上·江苏·阶段检测）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【巩固练习3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【题型5】 两直线的交点坐标及其应用 基础知识 核心知识 求出交点坐标后可结合距离公式斜率公式解决面积最值轨迹相关综合问题 交点是两条直线公共点同时满足两条直线方程 方法技巧 1先联立方程算出交点坐标再代入后续几何条件 2几何问题优先画图分析理清点线位置关系 3含参数问题可把交点坐标用参数表示再进行化简 4结合不等式函数求范围或最值 典型例题 【例题1】（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【例题2】三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知点，直线将四边形分割为面积相等的两部分，则的取值范围是_________________． 【巩固练习2】已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求直线的方程； (2)求点C的坐标． 【巩固练习3】已知的顶点的坐标为，所在直线的方向向量为，边上的中线所在的直线方程为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点.若三角形为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）经过点的直线被两条直线和所截得的线段恰被点平分，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点､，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）三条直线，，相交于一点，则__________． 8．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）过两条直线和的交点，且与垂直的直线方程为_____________． 9．（25-26高二上·安徽黄山·阶段检测）过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 四、解答题 10．已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. (1)求顶点B的坐标； (2)求顶点A的坐标 11．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线被两平行直线：与：所截得的线段的中点恰好在直线上，求的值. 12．（25-26高二上·重庆·期中）求经过直线：，：的交点，且满足下列条件的直线的方程： (1)倾斜角为的直线； (2)与直线平行的直线； (3)与直线垂直的直线． 13．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 14．（25-26高二上·上海·期中）如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，， 点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：    (1)求直线的方程及斜率的范围； (2)求出点的坐标（含）；并求出当时的面积为； (3)若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 15．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点、的坐标； (2)直线的方程； $