自由落体运动与竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

自由落体运动与竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题讲义 自由落体运动与竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题讲义 考点目录 自由落体运动的规律及应用 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 自由落体运动的规律及应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与成立条件 · 定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动。 · 两个必要条件：① 初速度；② 只受重力，空气阻力远小于重力时可近似为自由落体。 · 重力加速度：方向竖直向下，大小通常取，粗略计算可取；同一地点为定值，随纬度升高略有增大，随高度升高略有减小。 1. 基本运动公式 取竖直向下为正方向，释放点为坐标原点，时刻的速度、下落位移满足： · 速度公式： · 位移公式： · 速度位移关系： 1. 重要推论 · 平均速度：某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度： · 中间位置速度：下落处的瞬时速度，且 · 逐差规律：连续相等时间内的位移差恒定：，常用于频闪实验测重力加速度 · 比例规律：从静止开始，连续相等时间内的位移比为，连续相等位移内的时间比为 1. 典型应用场景 · 测反应时间：捏住下落的直尺，根据下落高度计算反应时间 · 测深度/高度：利用下落总时间估算井深、楼高，（忽略声音传播时间） · 频闪照相：通过连续相等时间的位移，计算重力加速度或瞬时速度 二、解题思路 1. 确认运动满足自由落体条件，确定正方向与坐标原点； 1. 根据已知量与待求量，选择对应公式（已知时间选位移公式，已知末速度选速度位移公式）； 1. 代入数值求解，结合实际意义验证结果。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）某地利用无人机定点空投生活物资。假设由静止释放的一包物资，经刚好着地，忽略空气阻力的作用，，求： (1)释放后第末物资的速度大小； (2)无人机距离地面的高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）物资由静止释放且忽略空气阻力，只受重力作用，做初速度为零、加速度大小为的匀变速直线运动。取竖直向下为正方向，由匀变速直线运动的速度公式得 因此释放后第末物资的速度大小为。 （2）物资从无人机处下落至地面，下降的位移就是无人机离地面的高度。由匀变速直线运动的位移公式得 得 所以无人机距地面的高度为。 例2．（25-26高一上·四川成都·期末）2025年1月7日，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，在短短数小时内，中央救灾物资已通过多渠道运往灾区。将一箱应急物品由无人机以空投的方法快捷精准投放到避难点。已知箱体脱离无人机后由静止开始竖直下落，落地时速度为30m/s，不计空气阻力，取，求： (1)物体是从多高的地方开始下落的； (2)物体整个过程中最后1s的下落高度。 【答案】(1)45m (2)25m 【详解】（1）由得物体下落过程所用的时间 物体开始下落处的高度为 （2）物体前2s下落的高度为                   最后1s内下落的高度 例3．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）在苏州园林中，有不少亭台的设计非常巧妙，下雨时可清晰地听到雨滴落下的滴答声。在高11.25m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，g取10m/s2，求： (1)水滴落下的时间间隔； (2)第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度； (3)第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离。 【答案】(1)0.5s (2)10m (3)3.75m 【详解】（1）设水滴落下的时间间隔为T，根据自由落体运动规律可得 代入数据解得 （2）第一滴水滴落地时，第三滴水下落的时间为T，则下落的高度为 所以第三滴水距离地面的高度为 （3）第一滴水滴落地时，第二滴水下落的时间为2T，则下落的高度为 则第二滴水滴和第三滴水滴间的距离为 【变式训练】 变式1．（24-25高一上·江苏南京·期末）在教学楼窗台边缘O处，从静止开始释放一可视为质点的小球。已知O处与楼下窗台上缘距离为d=20m，每个窗高度为h=45m，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2。求： (1)小球经过N处时速度大小； (2)小球从M到N经过的时间t。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球从点由静止下落至点的竖直位移为，根据自由落体运动规律有 解得 代入数据解得 （2）设小球从点下落至、两点所用的时间分别为、，根据自由落体运动规律分别有， 解得， 小球从到经过的时间为 整理得 代入数据解得 变式2．（25-26高一上·云南怒江·期末）从离地面720m的空中自由落下一个小球，不计空气阻力，g取10m/s2。求： (1)小球经过多长时间落到地面； (2)小球落地时的速度。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 【详解】（1）小球做自由落体运动，根据自由落体位移公式 解得下落时间 （2）根据自由落体速度公式 代入已知数据得落地速度，方向竖直向下 变式3．（26-27高一上·山西运城·开学考试）某物体从距离地面高的位置由静止自由下落，已知该物体在下落过程中只受重力作用，取。求： (1)全程下落的时间； (2)落地瞬间的速度大小； (3)最后所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据位移时间公式 其中，代值可得 （2）根据位移速度公式 代值可得 （3）设前45m所用时间为，根据位移时间公式 其中，代值可得 则后35m所用时间 考点二 竖直上抛运动的规律及应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与运动性质 · 定义：物体以一定的初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。 · 运动性质：初速度竖直向上，加速度恒为、方向竖直向下的匀变速直线运动，上升阶段匀减速，下落阶段匀加速，全程加速度不变。 1. 核心对称性 以最高点为分界，上升与下落过程具有严格对称性： · 速度对称：上升和下落经过同一位置时，速度大小相等、方向相反； · 时间对称：上升和下落经过同一段竖直高度，所用时间相等。 1. 两种求解方法 方法一：分段法（物理意义清晰） · 上升阶段：初速度，加速度（取向上为正）的匀减速直线运动，到最高点时速度为0； · 下落阶段：从最高点开始的自由落体运动，下落过程的规律与自由落体完全一致。 方法二：全程法（矢量法，计算简便） 取竖直向上为正方向，抛出点为坐标原点，加速度，全程统一用匀变速公式： - 速度公式： - 位移公式： - 速度位移关系： 注意：位移为正表示物体在抛出点上方，为负表示在抛出点下方；速度为正表示向上运动，为负表示向下运动。 1. 特征物理量 · 上升最大高度：（最高点速度为0） · 上升到最高点的时间： · 落回抛出点的总时间： · 落回抛出点的速度：大小等于初速度，方向竖直向下。 1. 典型应用场景 · 上抛接球、跳高等运动的时间、速度计算； · 气球掉落物体、升降机抛物等相对运动场景。 二、解题思路 1. 选取正方向，确定坐标原点； 1. 简单过程用分段法，复杂多过程问题用全程法； 1. 代入对应公式求解，根据结果的正负判断运动状态与位置； 1. 涉及多解时，结合物理场景取舍解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江台州·期中）一位同学为研究落体运动，将一可视为质点的弹性小球从离地面高H=3.6m的阳台无初速度掉落，落在水平地面时竖直方向反弹速度为落地前瞬时速度的，小球质量，空气阻力不计，取。求小球： (1)自由下落的时间； (2)落地第1次反弹后上升的最大高度h。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球做自由落体，由 代入数据解得 （2）小球下落末速度 代入数据得 反弹速度为 由 代入数据解得 例2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，热气球以20m/s的速度匀速竖直上升，到离地105m高处，落下一物体。物体落下后，热气球以原来的速度继续匀速上升。（g=10m/s2） (1)物体从气球上掉下后，经多长时间落回地面？ (2)物体落下后6s时，热气球与物体之间的距离是多少。 【答案】(1)7s (2)180m 【详解】（1）物体从气球上掉下后，做竖直上抛运动。 令上升时间为，则有 位移 令下降时间为，则有 解得 则物体从气球上掉下后，落回地面的时间 （2）运动时间 以竖直向上为正方向，对物体做竖直上抛运动的整体列式得 热气球的位移为 物体与热气球间距 例3．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为45m，不计空气阻力，设塔足够高。（重力加速度g取10） (1)求物体抛出的初速度大小及落回原处的速度大小； (2)物体位移大小为10m时，求物体可能通过的路程； (3)若塔高35m，求物体从抛出到落地的时间及落地时的速度大小。 【答案】(1)30m/s，30m/s (2)10m、80m或100m (3)7s，40m/s 【详解】（1）根据可得初速度大小为 由对称性可知，落回原处的速度大小为30 m/s。 （2）物体位移大小为10m时，当上升阶段到达抛出点以上10m时，路程为10m；当下降阶段到达抛出点以上10m时，路程为45m×2-10m=80m；当下降阶段到达抛出点以下10m时，路程为45m×2+10m=100m。 （3）根据 即 解得t=7s（t=-1s舍掉） 落地时的速度为，即速度大小为40 m/s。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·福建漳州·期末）用弹射器从地面竖直向上射出质量m＝0.05kg的小球，如果小球射出时的初速度m/s，重力加速度，不计空气阻力，求： (1)小球上升的最大高度H； (2)小球在到达最高点前1s内上升的高度h。 【答案】(1)20m (2)5m 【详解】（1）根据对称性由运动学公式知 所以小球上升的最大高度H＝20m （2）根据对称性可知，小球到达最高点前1s内上升的高度为 解得h＝5m 变式2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）若火箭由静止发射竖直升空时加速度大小为30 m/s²，第2s末从火箭上掉出一可视为质点的碎片（忽略火箭本身大小，火箭可看成质点，忽略碎片所受空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求∶ (1)碎片最高可上升到距地面的高度； (2)从碎片掉出到落回地面的时间（结果可用根号表示）。 【答案】(1)240m (2) 【详解】（1）火箭前2s从静止以竖直匀加速升空，2s末火箭（及碎片）的速度： 2s末碎片距离地面的高度： 碎片掉出后的竖直上抛过程：碎片脱离火箭后仅受重力，以初速度做加速度为的竖直上抛运动，到速度减为0时到达最高点： 此过程上升的高度：由 得 碎片距地面的总最大高度： （2）碎片从掉出到上升至最高点的时间： 碎片从最高点（240m处）自由下落回地面的时间：由 得 总时间： 变式3．（25-26高一上·广东珠海·期中）在科技运动节上，某物理兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，将参数理想化处理如下：水火箭由静止开始做匀加速直线运动，从地面以a=20m/s2的加速度竖直向上运动，当到达离地高h1=10m处时，水火箭突然失去动力，之后做竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，取竖直向上为正方向。求： (1)水火箭突然失去动力时的速度大小v； (2)水火箭上升的最大高度H； (3)水火箭从发射到落地过程中的运动总时间t。 【答案】(1)20m/s (2)30m (3) 【详解】（1）由 得到水火箭突然失去动力时的速度大小 （2）由解得 水火箭上升的最大高度 （3）根据匀加速上升过程可得 根据竖直上抛过程解得 由自由落体过程解得 故 考点三 自由落体和竖直上抛相遇类问题 【知识点解析】 一、核心知识点 相遇本质：同一时刻，两个物体到达同一空间位置，核心是位移与时间的匹配。 经典模型一：不同高度同时出发（下方上抛+上方自由下落） 模型设定 地面处物体A以初速度竖直上抛，同时高度处的物体B由静止自由下落，不计空气阻力，求两物体相遇的时间与位置。 推导过程 取竖直向上为正方向，地面为坐标原点： - A的位置随时间变化： - B的位置随时间变化： 相遇时位置相同，即，代入得： 化简后重力项抵消，得相遇时间： 相遇阶段判断 相遇时A的速度： - 若，：相遇发生在A上升过程中； - 若，：相遇发生在A的最高点； - 若，：相遇发生在A下落过程中。 二、经典模型二：同一位置先后出发（先上抛+后自由下落） 模型设定 从同一位置先竖直上抛物体A，初速度；经过时间后，从同一位置自由释放物体B，求两物体相遇的时间。 推导过程 设B释放后经过时间相遇，取向上为正，抛出点为原点： - A的总运动时间为，位置： - B做自由落体，位置： 相遇时，展开方程消去二次项，即可求解，解需满足且两物体均未落地。 三、通用解题步骤 1. 定系：选取正方向与坐标原点，明确两物体的初始位置、初速度； 1. 列方程：分别写出两物体的位置随时间变化的函数式； 1. 立等式：根据“相遇时位置相同”列方程； 1. 解时间：求解方程得到相遇时间； 1. 验合理性：验证相遇时间是否在两物体落地前，是否符合运动阶段，舍去无效解； 1. 求其他：代入时间求相遇位置、相遇速度等物理量。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山东菏泽·期中）一个小球A从地面上方45m处自由下落，（g取）求： (1)小球A经多长时间落到地面 (2)小球A落地前的最后1s内的位移是多少 (3)若小球A下落的同时小球B以15m/s的初速度竖直上抛，通过计算判断在小球B到达最高点前两球能否相遇？ 【答案】(1)3s (2)25m (3)两小球没有相遇 【详解】（1）小球做自由落体运动，由自由落体位移公式 解得 （2）前内小球下落的位移 最后1s内的位移 （3）小球B竖直上抛，到达最高点的时间 设经过时间两球相遇，A下落的位移为，B上升的位移为，两球位移之和等于初始高度差 代入数据解得相遇时间 由于，说明相遇时小球B已过最高点开始下落，因此在小球B到达最高点前两球不能相遇。 例2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放。若、两点间的高度差为，、两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，过程中两小球均未落地且没有发生碰撞。运动一段时间后 (1)小球在点正下方的点处追上小球，求两个小球开始到相遇时间，抛出初速度是多少？ (2)若要小球在点处与小球相遇，求小球的初速度大小。 (3)若要小球在上升阶段与小球相遇，求小球的初速度大小； 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设运动时间为，P初速度。P的位移（向上为正） Q的位移（向下为正） Q在b点追上P，相遇位置b，即P向下运动，位移 Q下落总距离，即 对Q， 得 对P， 联立求得 （2）相遇位置a，P位移 Q下落距离，，即 求得 对P， 代入，求得 （3）P上升阶段与Q相遇，条件1：相遇时P仍在上升，即相遇时间小于或等于P到最高点时间，P到最高点速度为0， 条件2：相遇时两者高度相等 设相遇时Q下落距离，P上升高度；初始Q比P高，高度相等，即 求得 联立上升条件，即 求得 例3．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的高度为16L处有一小球（可视为质点），现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。在筒壁顶端装有一个光电计时器，小球每次到达该处计时器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： (1)圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间； (2)从小球和圆筒开始运动为计时起点，求计时器第一次计数的时刻； (3)整个运动过程中，计时器计了多少次数？ 【答案】(1)， (2) (3)4 【详解】（1）根据自由落体运动规律可得圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间分别为， （2）由题意，筒每次上升和下落的时间均为，以二者开始运动为计时零点，时刻，小球距地面的高度为 此时筒第2次碰地，而时刻，小球第1次碰地，筒第2次上升到最高点，由此可推知第1次计数发生在小球第1次下落和筒第2次上升过程中，筒每次碰地前后的速率均为 时刻，小球下落的速率为 设从时刻开始到第1次计时所经历的时间为，根据位移关系有 解得 则计时器第一次计数的时刻 （3）小球第1次碰地后瞬间的速率为 小球第1次上升的最高点到地面的高度为 小球从第1次碰地后到上升至最高点所经历的时间为 时刻，筒第3次碰地，此时球距地面的高度为 所以第2次计数发生在小球第1次上升和筒第3次下落过程中，时刻，小球第1次上升至最高点，筒第3次上升到最高点，时刻，筒第4次碰地，小球距地面的高度为 时刻，小球第2次碰地，筒第4次上升至最高点，所以第3次计数发生在小球第2次下落和筒第4次上升过程中，小球第2次碰地后瞬间的速率为 小球第2次上升的最高点到地面的高度为 小球第2次碰地后到上升至最高点所经历的时间为 所以时刻，筒第5次碰地，小球第2次上升至最高点，易知此时刚好发生第4次计数，之后小球继续下落不断碰地后速率不断减小，上升高度将始终小于L，将不会再发生计数，所以计时器计数的次数为4。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）如图所示，位于空中同一竖直线上、完全相同的甲、乙两球，离水平地面的高度分别为h甲=20m、h乙=10m。两球同时由静止释放，甲、乙两球与地面碰撞前后速率不变，碰撞时间不计，重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计。 (1)求甲、乙两球第一次碰撞时距离地面的高度。 (2)若在乙球第一次反弹过程中，两球刚好在乙球原释放的位置发生碰撞，则甲球比乙球滞后多长时间释放？ (3)若甲球由静止释放的同时，乙球以速度v0竖直向上抛出，两球刚好在释放点连线的中点发生碰撞，求速度v0的大小。 【答案】(1)m (2)s (3)10m/s 【详解】（1）乙球做自由落体运动，则有 解得 乙球落地时，甲球的速度大小 乙球反弹后做竖直上抛运动，设经过时间t1与甲球发生第一次碰撞，则有 解得 则此时两球距地面的高度 （2）若两球在乙球的释放点相遇，则乙球运动的时间 甲球下落至乙球的释放点所用的时间 所以甲球比乙球滞后释放的时间 （3）两球在两抛出点的中点处发生碰撞，对甲、乙两球分别有， 解得v0=10 m/s。 变式2．（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放。若、两点间的高度差为，、两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，过程中两小球均未落地且没有发生碰撞。运动一段时间后 (1)小球在点正下方的点处追上小球，求两个小球开始到相遇时间，抛出初速度是多少？ (2)若要小球在点处与小球相遇，求小球的初速度大小 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设运动时间为，P初速度。P的位移（向上为正）     Q的位移（向下为正）， Q在b点追上P，相遇位置b，即P向下运动，位移 Q下落总距离 即 对Q，则有 解得   对P，则有 联立求得 （2）相遇位置a，P位移 Q下落距离，即 解得   对P，则有 代入，解得 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）兴趣小组的同学发明了一种弹射装置，该装置可以将一金属小球以设定的初速度从地面弹出。为了测试该装置弹射方向精确度，同学们将一根长25m的直管竖直固定在高处，如图所示。某次实验中，距离管下端正下方35m处，小球恰好以40m/s的速度竖直向上弹出（小球直径小于管内径），弹出后小球做加速度恒定向下、大小为g的匀变速直线运动，取g=10m/s2。 (1)求小球上升的最高点距管上端的距离； (2)求小球在管内运动的时间； (3)若弹出小球的同时直管不慎脱落并做自由落体运动，求管落地之前小球在管内运动的总时间。 【答案】(1)20m (2)1s (3)0.625s 【详解】（1）由题可知，小球做竖直上抛运动，设小球能上升的最大高度为h，管长为L，装置距管下端的距离为x，则 所以小球上升的最高点距管上端的距离为 （2）将小球上升到最大高度的过程可反向看成自由落体运动，设小球到达管上端的速度大小为v1，小球到达管下端的速度大小为v2，则， 解得， 则小球在管内的运动时间为 （3）根据自由落体的基本规律可得 解得管下落的时间为 以管为参考系，管和小球加速度相同，故小球相对管做匀速直线运动，则 解得 由此可知，管落地前小球可以通过管，以管为参考系，小球在管内运动的时间为 2 学科网（北京）股份有限公司 $自由落体运动与竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题讲义 自由落体运动与竖直上抛运动的规律及应用、自由落体和竖直上抛相遇类问题讲义 考点目录 自由落体运动的规律及应用 竖直上抛运动的规律及应用 自由落体和竖直上抛相遇类问题 考点一 自由落体运动的规律及应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与成立条件 · 定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动。 · 两个必要条件：① 初速度；② 只受重力，空气阻力远小于重力时可近似为自由落体。 · 重力加速度：方向竖直向下，大小通常取，粗略计算可取；同一地点为定值，随纬度升高略有增大，随高度升高略有减小。 1. 基本运动公式 取竖直向下为正方向，释放点为坐标原点，时刻的速度、下落位移满足： · 速度公式： · 位移公式： · 速度位移关系： 1. 重要推论 · 平均速度：某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度： · 中间位置速度：下落处的瞬时速度，且 · 逐差规律：连续相等时间内的位移差恒定：，常用于频闪实验测重力加速度 · 比例规律：从静止开始，连续相等时间内的位移比为，连续相等位移内的时间比为 1. 典型应用场景 · 测反应时间：捏住下落的直尺，根据下落高度计算反应时间 · 测深度/高度：利用下落总时间估算井深、楼高，（忽略声音传播时间） · 频闪照相：通过连续相等时间的位移，计算重力加速度或瞬时速度 二、解题思路 1. 确认运动满足自由落体条件，确定正方向与坐标原点； 1. 根据已知量与待求量，选择对应公式（已知时间选位移公式，已知末速度选速度位移公式）； 1. 代入数值求解，结合实际意义验证结果。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）某地利用无人机定点空投生活物资。假设由静止释放的一包物资，经刚好着地，忽略空气阻力的作用，，求： (1)释放后第末物资的速度大小； (2)无人机距离地面的高度。 例2．（25-26高一上·四川成都·期末）2025年1月7日，西藏日喀则市定日县发生6.8级地震，在短短数小时内，中央救灾物资已通过多渠道运往灾区。将一箱应急物品由无人机以空投的方法快捷精准投放到避难点。已知箱体脱离无人机后由静止开始竖直下落，落地时速度为30m/s，不计空气阻力，取，求： (1)物体是从多高的地方开始下落的； (2)物体整个过程中最后1s的下落高度。 例3．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）在苏州园林中，有不少亭台的设计非常巧妙，下雨时可清晰地听到雨滴落下的滴答声。在高11.25m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，设水滴的运动是自由落体运动，g取10m/s2，求： (1)水滴落下的时间间隔； (2)第一滴水滴落地时，第三滴水滴距离地面的高度； (3)第一滴水滴落地时，第二滴水滴和第三滴水滴间的距离。 【变式训练】 变式1．（24-25高一上·江苏南京·期末）在教学楼窗台边缘O处，从静止开始释放一可视为质点的小球。已知O处与楼下窗台上缘距离为d=20m，每个窗高度为h=45m，不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2。求： (1)小球经过N处时速度大小； (2)小球从M到N经过的时间t。 变式2．（25-26高一上·云南怒江·期末）从离地面720m的空中自由落下一个小球，不计空气阻力，g取10m/s2。求： (1)小球经过多长时间落到地面； (2)小球落地时的速度。 变式3．（26-27高一上·山西运城·开学考试）某物体从距离地面高的位置由静止自由下落，已知该物体在下落过程中只受重力作用，取。求： (1)全程下落的时间； (2)落地瞬间的速度大小； (3)最后所用的时间。 考点二 竖直上抛运动的规律及应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义与运动性质 · 定义：物体以一定的初速度竖直向上抛出，只在重力作用下的运动。 · 运动性质：初速度竖直向上，加速度恒为、方向竖直向下的匀变速直线运动，上升阶段匀减速，下落阶段匀加速，全程加速度不变。 1. 核心对称性 以最高点为分界，上升与下落过程具有严格对称性： · 速度对称：上升和下落经过同一位置时，速度大小相等、方向相反； · 时间对称：上升和下落经过同一段竖直高度，所用时间相等。 1. 两种求解方法 方法一：分段法（物理意义清晰） · 上升阶段：初速度，加速度（取向上为正）的匀减速直线运动，到最高点时速度为0； · 下落阶段：从最高点开始的自由落体运动，下落过程的规律与自由落体完全一致。 方法二：全程法（矢量法，计算简便） 取竖直向上为正方向，抛出点为坐标原点，加速度，全程统一用匀变速公式： - 速度公式： - 位移公式： - 速度位移关系： 注意：位移为正表示物体在抛出点上方，为负表示在抛出点下方；速度为正表示向上运动，为负表示向下运动。 1. 特征物理量 · 上升最大高度：（最高点速度为0） · 上升到最高点的时间： · 落回抛出点的总时间： · 落回抛出点的速度：大小等于初速度，方向竖直向下。 1. 典型应用场景 · 上抛接球、跳高等运动的时间、速度计算； · 气球掉落物体、升降机抛物等相对运动场景。 二、解题思路 1. 选取正方向，确定坐标原点； 1. 简单过程用分段法，复杂多过程问题用全程法； 1. 代入对应公式求解，根据结果的正负判断运动状态与位置； 1. 涉及多解时，结合物理场景取舍解。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·浙江台州·期中）一位同学为研究落体运动，将一可视为质点的弹性小球从离地面高H=3.6m的阳台无初速度掉落，落在水平地面时竖直方向反弹速度为落地前瞬时速度的，小球质量，空气阻力不计，取。求小球： (1)自由下落的时间； (2)落地第1次反弹后上升的最大高度h。 例2．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，热气球以20m/s的速度匀速竖直上升，到离地105m高处，落下一物体。物体落下后，热气球以原来的速度继续匀速上升。（g=10m/s2） (1)物体从气球上掉下后，经多长时间落回地面？ (2)物体落下后6s时，热气球与物体之间的距离是多少。 例3．（25-26高一上·陕西宝鸡·期末）在某塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为45m，不计空气阻力，设塔足够高。（重力加速度g取10） (1)求物体抛出的初速度大小及落回原处的速度大小； (2)物体位移大小为10m时，求物体可能通过的路程； (3)若塔高35m，求物体从抛出到落地的时间及落地时的速度大小。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·福建漳州·期末）用弹射器从地面竖直向上射出质量m＝0.05kg的小球，如果小球射出时的初速度m/s，重力加速度，不计空气阻力，求： (1)小球上升的最大高度H； (2)小球在到达最高点前1s内上升的高度h。 变式2．（25-26高一上·内蒙古赤峰·期中）若火箭由静止发射竖直升空时加速度大小为30 m/s²，第2s末从火箭上掉出一可视为质点的碎片（忽略火箭本身大小，火箭可看成质点，忽略碎片所受空气阻力，重力加速度g取10m/s2），求∶ (1)碎片最高可上升到距地面的高度； (2)从碎片掉出到落回地面的时间（结果可用根号表示）。 变式3．（25-26高一上·广东珠海·期中）在科技运动节上，某物理兴趣小组自制了一个如图所示的水火箭。在发射过程中，将参数理想化处理如下：水火箭由静止开始做匀加速直线运动，从地面以a=20m/s2的加速度竖直向上运动，当到达离地高h1=10m处时，水火箭突然失去动力，之后做竖直上抛，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，取竖直向上为正方向。求： (1)水火箭突然失去动力时的速度大小v； (2)水火箭上升的最大高度H； (3)水火箭从发射到落地过程中的运动总时间t。 考点三 自由落体和竖直上抛相遇类问题 【知识点解析】 一、核心知识点 相遇本质：同一时刻，两个物体到达同一空间位置，核心是位移与时间的匹配。 经典模型一：不同高度同时出发（下方上抛+上方自由下落） 模型设定 地面处物体A以初速度竖直上抛，同时高度处的物体B由静止自由下落，不计空气阻力，求两物体相遇的时间与位置。 推导过程 取竖直向上为正方向，地面为坐标原点： - A的位置随时间变化： - B的位置随时间变化： 相遇时位置相同，即，代入得： 化简后重力项抵消，得相遇时间： 相遇阶段判断 相遇时A的速度： - 若，：相遇发生在A上升过程中； - 若，：相遇发生在A的最高点； - 若，：相遇发生在A下落过程中。 二、经典模型二：同一位置先后出发（先上抛+后自由下落） 模型设定 从同一位置先竖直上抛物体A，初速度；经过时间后，从同一位置自由释放物体B，求两物体相遇的时间。 推导过程 设B释放后经过时间相遇，取向上为正，抛出点为原点： - A的总运动时间为，位置： - B做自由落体，位置： 相遇时，展开方程消去二次项，即可求解，解需满足且两物体均未落地。 三、通用解题步骤 1. 定系：选取正方向与坐标原点，明确两物体的初始位置、初速度； 1. 列方程：分别写出两物体的位置随时间变化的函数式； 1. 立等式：根据“相遇时位置相同”列方程； 1. 解时间：求解方程得到相遇时间； 1. 验合理性：验证相遇时间是否在两物体落地前，是否符合运动阶段，舍去无效解； 1. 求其他：代入时间求相遇位置、相遇速度等物理量。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·山东菏泽·期中）一个小球A从地面上方45m处自由下落，（g取）求： (1)小球A经多长时间落到地面 (2)小球A落地前的最后1s内的位移是多少 (3)若小球A下落的同时小球B以15m/s的初速度竖直上抛，通过计算判断在小球B到达最高点前两球能否相遇？ 例2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放。若、两点间的高度差为，、两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，过程中两小球均未落地且没有发生碰撞。运动一段时间后 (1)小球在点正下方的点处追上小球，求两个小球开始到相遇时间，抛出初速度是多少？ (2)若要小球在点处与小球相遇，求小球的初速度大小。 (3)若要小球在上升阶段与小球相遇，求小球的初速度大小； 例3．（26-27高一上·四川成都·阶段检测）如图所示，有一长度为L（已知量）的空心上下无底的弹性圆筒，它的下端距水平地面的高度也为L，筒的轴线竖直。圆筒轴线上距水平地面的高度为16L处有一小球（可视为质点），现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后原速率反弹，小球碰地后的反弹速率为落地速率的一半，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。在筒壁顶端装有一个光电计时器，小球每次到达该处计时器就会计数一次，重力加速度为g，不计空气阻力，求： (1)圆筒第一次下落的时间和小球第一次下落的时间； (2)从小球和圆筒开始运动为计时起点，求计时器第一次计数的时刻； (3)整个运动过程中，计时器计了多少次数？ 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）如图所示，位于空中同一竖直线上、完全相同的甲、乙两球，离水平地面的高度分别为h甲=20m、h乙=10m。两球同时由静止释放，甲、乙两球与地面碰撞前后速率不变，碰撞时间不计，重力加速度g=10m/s2，空气阻力不计。 (1)求甲、乙两球第一次碰撞时距离地面的高度。 (2)若在乙球第一次反弹过程中，两球刚好在乙球原释放的位置发生碰撞，则甲球比乙球滞后多长时间释放？ (3)若甲球由静止释放的同时，乙球以速度v0竖直向上抛出，两球刚好在释放点连线的中点发生碰撞，求速度v0的大小。 变式2．（26-27高一上·湖北荆州·阶段检测）如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放。若、两点间的高度差为，、两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，过程中两小球均未落地且没有发生碰撞。运动一段时间后 (1)小球在点正下方的点处追上小球，求两个小球开始到相遇时间，抛出初速度是多少？ (2)若要小球在点处与小球相遇，求小球的初速度大小 变式3．（25-26高一上·湖北武汉·期中）兴趣小组的同学发明了一种弹射装置，该装置可以将一金属小球以设定的初速度从地面弹出。为了测试该装置弹射方向精确度，同学们将一根长25m的直管竖直固定在高处，如图所示。某次实验中，距离管下端正下方35m处，小球恰好以40m/s的速度竖直向上弹出（小球直径小于管内径），弹出后小球做加速度恒定向下、大小为g的匀变速直线运动，取g=10m/s2。 (1)求小球上升的最高点距管上端的距离； (2)求小球在管内运动的时间； (3)若弹出小球的同时直管不慎脱落并做自由落体运动，求管落地之前小球在管内运动的总时间。 2 学科网（北京）股份有限公司 $