17.1.1等腰（边）三角形的性质（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.1.1等腰（边）三角形的性质专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 一、等腰三角形定义 有**两条边相等**的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。 ## 二、等腰三角形性质 1. **性质1（等边对等角）**：等腰三角形的两个底角相等。 几何语言：在$\triangle ABC$中，$\(AB=AC\) \Rightarrow \boldsymbol{\angle B=\angle C}$。 > 用途：证明角相等、求角度。 2. **性质2（三线合一）**：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，**互相重合**。 几何语言（$\(AB=AC\)$）： ① 若$AD$平分$\angle BAC$，则$AD\perp BC$，$\(BD=DC\)$； ② 若$AD$是底边中线，则$AD\perp BC$，$AD$平分$\angle BAC$； ③ 若$AD$是底边的高，则$\(BD=DC\)$，$AD$平分$\angle BAC$。 > 注意：三线合一**只针对顶角平分线、底边上中线、底边上的高**，腰上的高/中线不适用。 ## 三、等边三角形性质（特殊的等腰三角形） 1. 三边都相等； 2. 三个内角都相等，并且每一个内角都等于$\boldsymbol{60^\circ}$； 3. 等边三角形有**3条对称轴**，每条对称轴都是一边上的高（中线、顶角平分线）所在直线。 本节考点：利用等边对等角求角度；三线合一的计算与证明；等边三角形角度计算；分类讨论求等腰三角形内角。 高频易错点： ① “等边对等角”只在**同一个三角形**内成立； ② 三线合一混淆，错误用到腰上的高； ③ 等腰三角形角度问题**没有指明顶角/底角**，需要分类讨论； ④ 认为等腰三角形对称轴是线段（实际是直线）； ⑤ 等边三角形属于等腰三角形（特殊等腰）。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在$\triangle ABC$中，$\(AB=AC\)$，$\angle B=50^\circ$，则$\angle A$的度数是（） A.$50^\circ$ B.$60^\circ$ C.$80^\circ$ D.$100^\circ$ 2. 等腰三角形一个内角是$70^\circ$，则它的底角不可能是（） A.$70^\circ$ B.$55^\circ$ C.$40^\circ$ D.都有可能 3. 等腰三角形“三线合一”中的“三线”指的是（） A.腰上高、腰上中线、底角平分线 B.顶角平分线、底边上中线、底边上的高 C.三条高 D.三条中线 4. 等边三角形每个内角的度数为（） A.$45^\circ$ B.$60^\circ$ C.$90^\circ$ D.$120^\circ$ 5. 下列说法正确的是（） A.等腰三角形一定是等边三角形 B.等边三角形不是等腰三角形 C.等腰三角形两腰上的高一定相等 D.等腰三角形有三条对称轴 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 等腰三角形两底角相等，简称：________。 7. 等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上的高________。 8. 等边三角形三个内角都等于________°。 9. 等腰三角形顶角$100^\circ$，它的两个底角都是________°。 10. 等边三角形有____条对称轴。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 已知：在$\triangle ABC$中，$\(AB=AC\)$，$\angle B=65^\circ$，求$\angle C$和$\angle A$的度数。 12. 如图，$\triangle ABC$中，$\(AB=AC\)$，$AD$是$BC$边上的中线。求证：$AD\perp BC$。 13. 已知：$\triangle ABC$是等边三角形，求$\angle A,\angle B,\angle C$的度数。 14. 辨析题：小亮说：“等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.C；$\(AB=AC\)$，$\angle C=\angle B=50^\circ$，$\angle A=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ$。 2.C；①$70^\circ$为底角；②$70^\circ$为顶角，底角$=(180-70)\div2=55^\circ$；底角不可能是$40^\circ$。 3.B；三线合一特指顶角平分线、底边上中线、底边上高。 4.B；等边三角形每个内角$60^\circ$。 5.C；A错，等腰不一定等边；B错，等边是特殊等腰；D普通等腰三角形只有1条对称轴。 **填空题** 6.等边对等角；7.互相重合；8.$60$；9.$40$；10.$3$。 **解答题** 11.解： $\because \(AB=AC\)$，$\therefore \angle C=\angle B=65^\circ$（等边对等角） $\angle A=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-65^\circ-65^\circ=50^\circ$。 答：$\angle C=65^\circ$，$\angle A=50^\circ$。 12.证明： $\because \(AB=AC\)$，$AD$是$BC$边上的中线， $\therefore AD\perp BC$（等腰三角形三线合一）。 13.解： $\because\triangle ABC$是等边三角形， $\therefore AB=BC=AC$， $\therefore \angle A=\angle B=\angle C$。 又$\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$， $\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$。 14.解：小亮说法错误。 等腰三角形**顶角平分线、底边上的中线、底边上的高**三线合一； 两腰上的高、中线、底角平分线并不重合。原说法没有限定“顶角、底边”，表述不严谨。 ## 本节小结 口诀：等边对等角，三线合一定； 等边三角形，三角六十度。 做题关键点：看到等腰，优先等边对等角求角；出现底边中点/顶角平分线/底边高，立刻想到三线合一。 高频陷阱：等腰三角形角度题**分类讨论**；三线合一只针对底边和顶角。 下一节：**17.1.2等腰三角形的判定**专项练习，同样1212字吗？ 需要的话我也可以写本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.1.1等腰（边）三角形的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. B 腰 腰 底边 顶角 底角 A C ⑴ 由“两边相等”得到“等腰三角形” ∵ AB＝AC， ∴ △ABC是等腰三角形. ⑵ 由“等腰三角形”得到“两边相等” ∵△ABC是等腰三角形 ∴AB＝AC. 顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形. 三边都相等的三角形叫作等边三角形 等边三角形是等腰三角形的特例. 新知●探究 观察与思考 如图17.1-1，△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC. (1)我们知道，线段BC为轴对称图形，它的垂直平分线为它的对称轴.由AB=AC可知点A在BC的垂直平分线上，据此，你认为△ABC是轴对称图形吗?如果是，那么它的对称轴是哪条直线? 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴。 新知●探究 (2) ∠B和∠C有怎样的关系? 观察与思考 已知:在△ABC中，AB=AC.求证:∠B=∠C. 证明:作∠A 的平分线AD. 在△ABD 和△ACD 中， AB=AC(已知)， ∠1=∠2(角平分线的概念)， AD=AD(公共边)， ∴△ABD≌△ACD(SAS) ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) D (3)思考，底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?. 等腰三角形底边上的高、中线和顶角的平分线三线重合. 新知●探究 等腰三角形的性质： 总结归纳 1.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） 几何语言： “等边对等角”是指“在同一个三角形中， 相等的边所对的角相等”. 知识点1 等腰三角形的有关概念 1. 甲木条长，乙木条长是甲木条长的 ，用这两种木条 共三根围成一个等腰三角形，则等腰三角形的周长是( ) A A. B. C. 或 D. 举一反三 6 2. 若等腰三角形的周长为12，则它的腰长 可以是_________________.（写出一个即可） 5（答案不唯一） 【点拨】设腰长为，底边长为，则 ， .根据三角形三边的关系可知， ，解得.又，即 ，解 得，， 它的腰长可以是5. 举一反三 7 新知●探究 2.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”). 等腰三角形的性质： 总结归纳 A B C D 1 2 在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠___=∠___，____=____； （2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，____⊥____； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴____⊥____，____=____. 用符号语言表示为： 1 2 BD CD 1 2 AD BC AD BC BD CD “由一线知二线” 新知●探究 做一做 已知:如图，在△ABC中，AB=BC=AC. 求证:∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中， ∴（ ） ∵ AB=AC ∵ AB=BC ∴（ ） ∴ ∠A=∠B =∠C ∴ ∠A=∠B =∠C=60 ° 又∵ ∠A +∠B +∠C =180 ° ∠B＝∠C ∠A＝∠C 新知●探究 等边三角形的性质： 总结归纳 等边三角形的各角都等于60° 在△ABC中， ∵ AC=AB=BC（已知 ） ∴ ∠A=∠B=∠C=60° 几何语言： 典例●精析 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB 的平分线. 求证:BD=CE. BD=CE 分析: 只需证明△ABD ≌△ACE AB=AC、∠A=∠A，只需证明∠ABD=∠ACE ∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB AB=AC ∠ABC=∠ACE 典例●精析 证明:∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB 的平分线， ∴∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角) ∴∠ABD=∠ACE(等量代换) ∵AB=AC(已知)， ∠A=∠A(公共角)， ∴△ABD ≌△ACE(ASA). :.BD=CE(全等三角形的对应边相等 知识点2 等腰三角形的性质 3. 如图，在中，, , ,则 ( ) B （第3题） A. B. C. D. 举一反三 13 4. [扬州中考] 在如图的房屋人字梁架中，，点 在 上，下列条件不能说明 的是( ) B （第4题） A. B. C. D. 平分 举一反三 14 5. 如图，在中， ， ，为边的中点，点，分别在边， 上，，则四边形 的面积为___. 9 （第5题） 举一反三 15 【点拨】连接 ，如图. ，，是 的 中点， , .又 , . , .又 举一反三 16 知识点3 等边三角形的性质 （第6题） 6. 如图，一束太阳光线平行 照射在放置于地面的等边三角形 上，若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 举一反三 17 【点拨】方法1：如图， 是等 边三角形， . ， ， ， . ， . 举一反三 18 方法2：如图， 是等边三角 形， . ， . ， . ， . 举一反三 7. [沧州期中] 如图，在等边三角形 中，，是 边上的高，延长 至点，使，则 的长为___. 3 【点拨】 是等边三角形， 是边上的高，为 的中 点，， ， . 举一反三 20 8. 如图，是等边三角形内一点， ，以 为边在的左侧作等边三角形，连接 . 举一反三 21 （1）根据题意补全图形； 【解】补全图形如图所示. 举一反三 22 （2）求 的度数. 举一反三 23 是等边三角形， ， . 是等边三角形， ， ， , 即 . 举一反三 24 在和中， ， . 举一反三 9. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等 腰三角形.如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那 么第二次可以在( )处截断. C A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 举一反三 26 10. [武汉竞赛] 如图，已知, , ,， .若 ,则 的度数为( ) C A. B. C. D. 举一反三 27 课堂●小结 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合 等边三角形的三个角都相等，并且每一 个角都等于60°. 等边三角形的性质 谢谢观看 THANKS $