15.3 二次根式的加减运算（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册15.3二次根式的加减运算专项练习（1212字） 本节课核心知识点：**同类二次根式**：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个根式叫做同类二次根式。二次根式加减法则：先把每一项二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式；合并方法类似合并同类项，只把根号外的系数相加减，**被开方数和根号不变**。注意：不是同类二次根式不能合并。运算顺序：先化简，再判断同类根式，最后合并；如果有括号，先去括号。整式的去括号法则在二次根式运算中仍然适用。高频易错点：没有化成最简根式就直接判断同类根式；不同类二次根式强行合并；去括号时符号出错；系数加减计算失误。习题包含概念辨析、判断同类根式、根式加减计算、化简求值、辨析题，掌握二次根式加减运算。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列根式中，与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是（） A.$\sqrt{4}$ B.$\sqrt{8}$ C.$\sqrt{12}$ D.$\sqrt{20}$ 2. 计算$\sqrt{27}-\sqrt{3}$的结果是（） A.$\sqrt{24}$ B.$2\sqrt{3}$ C.$3$ D.$3\sqrt{3}$ 3. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ C.$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ D.$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2$ 4. 下列二次根式，不能与$\sqrt{5}$合并的是（） A.$\sqrt{20}$ B.$\sqrt{45}$ C.$\sqrt{15}$ D.$2\sqrt{5}$ 5. 化简$\sqrt{18}+\sqrt{32}$结果是（） A.$5\sqrt{2}$ B.$\sqrt{50}$ C.$7\sqrt{2}$ D.$5$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 化成最简二次根式后，________相同的二次根式叫做同类二次根式。 7. 二次根式加减：先________，再合并同类二次根式。 8. $5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=$________。 9. $\sqrt{12}+\sqrt{27}=$________。 10. $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$____（能/不能）合并。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 计算：（1）$\sqrt{5}+\sqrt{20}$；（2）$\sqrt{27}-\sqrt{12}$；（3）$\sqrt{8}+\sqrt{18}$。 12. 计算：（1）$\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac13}$；（2）$\sqrt{50}-\sqrt{32}+\sqrt{8}$。 13. 计算：$(\sqrt{12}+\sqrt{20})+(\sqrt{3}-\sqrt{5})$。 14. 辨析题：小宇说，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$。判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，和$\sqrt2$是同类二次根式。 2.B；$\sqrt{27}=3\sqrt3$，$3\sqrt3-\sqrt3=2\sqrt3$。 3.C；A、B不是同类根式不能合并；D：$\sqrt8-\sqrt2=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2$。 4.C；$\sqrt{15}$化简后被开方数15，与$\sqrt5$不是同类根式，不能合并。 5.C；$\sqrt{18}=3\sqrt2$，$\sqrt{32}=4\sqrt2$，相加得$7\sqrt2$。 **填空题** 6.被开方数；7.化成最简二次根式；8.$3\sqrt{3}$；9.$5\sqrt{3}$；10.不能。 **解答题** 11.解：（1）$\sqrt{5}+\sqrt{20}=\sqrt5+2\sqrt5=3\sqrt5$ （2）$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt3-2\sqrt3=\sqrt3$ （3）$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$ 12.解：（1）$\sqrt{48}-\sqrt{\dfrac13}=4\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{12\sqrt3-\sqrt3}{3}=\dfrac{11\sqrt3}{3}$ （2）$\sqrt{50}-\sqrt{32}+\sqrt{8}=5\sqrt2-4\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$ 13.解：原式$=2\sqrt3+2\sqrt5+\sqrt3-\sqrt5$ $=(2\sqrt3+\sqrt3)+(2\sqrt5-\sqrt5)$ $=3\sqrt3+\sqrt5$ 14.解：小宇说法错误。二次根式加减不能直接把被开方数相加。 先化简：$\sqrt8=2\sqrt2$，$\sqrt2+\sqrt8=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$。 只有同类二次根式才可以合并，$\sqrt2$和$\sqrt8$是同类根式，合并时只合并系数，根号与被开方数不变，不能把根号里面数字相加。 ## 本节小结 二次根式加减核心一句话：**先化简，再找同类，系数相加减，根号原样留**。判断同类二次根式，**必须先化成最简**，不能直接看原式根号内数字。不是同类二次根式，不能合并，保留原式即可。高频易错：直接把根号内数字相加；不化简直接判定同类根式；去括号符号出错；分数系数合并计算出错。整式加减的运算律全部适用，有括号先去括号。二次根式加减常和乘除混合出题，做题顺序：先乘除，后加减。本章是八年级上册代数计算重点，期末大题高频出现。做题第一步全部化为最简二次根式，再挑同类根式合并，不要盲目直接相加，避开概念陷阱。 下一节：**15.4二次根式的混合运算**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 15.3 二次根式的加减运算 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 二次根式 学习目标 新知●探究 探 究 整式的加减 3x+5x =(3+5)x =8x 系数相加减，字母及其指数保持不变 逆用乘法对加法的分配律 二次根式的加减 系数相加减，二次根式保持不变 逆用乘法对加法的分配律 依据 二次根式的加减，类似整式的加减，运用计算的运算律，将被开方数相同的二次根式系数相加减，二次根式不变。 新知●探究 请尝试解决下列问题，并将你的做法和同学进行交流. (1); (2); (3) 一起探究 解：(1) 含有相同的二次根式 = = 合并 系数相加减，二次根式保持不变 (2) 含有相同的二次根式 =2 = = 合并 化简 (3) = = = 结果用假分数表示 新知●探究 总结归纳 二次根式的加减法 合并被开方数相同的项 二次根式的加减运算的步骤： 系数相加减，二次根式保持不变 注意:被开方数不同的最简二次根式不能合并。 (2) “找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (1) “化”：将每个二次根式化成最简二次根式； (3) “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项． 知识点1 二次根式的合并 1. 下列二次根式中能与 进行合并的是( ) B A. B. C. D. 2. 将式子为正整数 化为最简二次根 式后，可以与合并.写出一个符合条件的 的值是________ _______________. 27 （答案不唯一） 举一反三 5 知识点2 二次根式的加减运算 3. 下列运算正确的是( ) A A. B. C. D. 举一反三 6 4. [邯郸模拟] 若，则表示实数 的点会落在 如图所示的数轴的( ) B A. ①段上 B. ②段上 C. ③段上 D. ④段上 【点拨】 ， .又 ， ，即，故表示实数 的点会落在数轴 的②段上.故选B. 举一反三 7 典例●精析 例1 计算下列各式: 解： 化简 合并 找 典例●精析 合并 化简及去括号 注意:被开方数不同的最简二次根式不能合并。 与 能合并吗？ 新知●探究 做一做 　计算下列各式： 解： 1.合并结果中容易漏掉二次根式部分； 2.合并后根号外的因数是分数的要写成假分数形式，不能写成带分数形式． 典例●精析 例2 计算下列各式: 解： 5. 若，是有理数，且，则 ___， ___. 3 【点拨】 ， , 为有理数，， . 举一反三 12 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 举一反三 13 7. 假期中，王强和同学 们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图 （如图），他们在 点登陆后先往东走 到点，又往北走 ，遇到 障碍后又往西走了 ，再折向北走 了,往东一拐，再走就找到了宝藏埋藏点 .问： 他们共走了多少千米？ 举一反三 14 【解】 . 答：他们共走了 . 举一反三 15 8. [石家庄裕华区模拟] 已知等腰三角形的两边长为 和 ，则此等腰三角形的周长为( ) B A. B. C. D. 或 【点拨】， 等腰三角形的腰长只能是 . 等腰三角形的周长 . 举一反三 16 9. [上海普陀区期中] 已知整数,满足 ， 那么能满足条件的整数 的个数是( ) D A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 举一反三 17 【点拨】，,， 或或, 化简后为被开方数为2的同类二次根式，当 时，不是整数，不符合题意；当时， ，符 合题意；当, 化简后被开方数均为2的同类二次根式时： 设,，则 ， .易知,均为正整数，当时， ，符合 题意，此时，故；当时， ，符合题 意，此时，故 .综上，满足条件的整 数 为2,18,50，共3个.故选D. 举一反三 18 10. 我们规定运算符号“ ”的意义是：当 时，；当时， ，其他运算符 号的意义不变，计算： _________ ___. 举一反三 19 11. [武汉自主招生] 若和 的小数部分分别 为，，则 _ _______. 【点拨】 ,的整数部分是 ,小数部分 为的整数部分是 ,小数部分为 .则 . 举一反三 20 12. 嘉嘉准备完成题目“ ”时，发现“ ”处的数印刷不清楚. （1）他把“ ”处的数猜成6，请你计算 的结果； 举一反三 21 【解】原式 . 举一反三 22 （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的答案是 .”通 过计算说明原题中“ ”处的数是几. 举一反三 23 设原题中“”处的数为 , 则 , 解得.故原题中“”处的数是 . 举一反三 13. 先阅读材料，再解答问题.#2 已知，都是有理数，且满足，求 的 值. 解：由题意得 . ，都是有理数，， 也是有理数. 又是无理数，， . ， . 问题：已知， 都是有理数，且满足 ，求 的值.#2.2 举一反三 25 【解】 , . , 都是有理数, , 也是有理数. 又 是无理数, ,,解得, . 举一反三 26 当,时， ; 当,时， . 综上， 的值是8或0. 举一反三 课堂●小结 二次根式的加减 步骤 (2) “找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (1) “化”：将每个二次根式化成最简二次根式； (3) “并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项． 整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用． 合并被开方数相同的最简二次根式 实质 谢谢观看 THANKS $