15.4 二次根式的混合运算 第2课时 分母有理化相关的计算（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册15.4二次根式的混合运算（第2课时 分母有理化相关的计算）专项练习（1212字） 本节课核心知识点：分母有理化，就是把分母中的根号化去。 1. 分母为单项根式：$\dfrac{a}{\sqrt{b}}$，分子分母同乘$\sqrt{b}$，$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}\ (b>0)$。 2. 分母为两项和/差（含根号），利用**平方差公式**，乘以它的共轭根式： $\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$分子分母同乘$\boldsymbol{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$；$\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$分子分母同乘$\boldsymbol{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。 有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘，积不含根号，二者互为有理化因式。 计算思路：先分母有理化，再化简、合并同类二次根式；求值题常先化简式子，再代入数值。 高频易错点：分母是两项式时，只给分母乘有理化因式，分子忘记同乘；符号处理错误；有理化之后不化简；平方差展开计算出错。习题包含选择、填空、分母有理化计算、化简、辨析题，掌握分母有理化方法。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$分母有理化结果是（） A.$\sqrt{3}$ B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ C.$\dfrac13$ D.$3\sqrt{3}$ 2. $\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$分母有理化，分子分母同乘（） A.$\sqrt{5}-\sqrt{3}$ B.$\sqrt{5}+\sqrt{3}$ C.$\sqrt{3}-\sqrt{5}$ D.$\sqrt{5}$ 3. 化简$\dfrac{2}{\sqrt{6}}$结果正确的是（） A.$\dfrac1{\sqrt{3}}$ B.$\sqrt{6}$ C.$\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ D.$2\sqrt{6}$ 4. 计算$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}$结果是（） A.$\sqrt{2}+1$ B.$\sqrt{2}-1$ C.$1-\sqrt{2}$ D.$\sqrt{2}$ 5. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$的有理化因式是（） A.$\sqrt{2}-\sqrt{3}$ B.$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ C.$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ D.$\sqrt{2}$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 把分母中的根号去掉，这个过程叫做________。 7. $\dfrac{3}{\sqrt{5}}=$________。 8. $\sqrt{7}-\sqrt{2}$的有理化因式是________。 9. $\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=$________。 10. 分母有理化的依据：分式的基本性质，分子分母同时乘**不为0**的代数式，分式值____。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 将下列各式分母有理化： （1）$\dfrac{4}{\sqrt{2}}$；（2）$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$。 12. 将下列各式分母有理化： （1）$\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$；（2）$\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$。 13. 计算：$\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}$。 14. 辨析题：小佳化简$\dfrac{2}{\sqrt{5}-2}$，只给分母乘$\sqrt{5}+2$，分子不变，得到$\dfrac{2}{\boldsymbol{5-4}}=2$。判断对错并改正。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；$\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$。 2.B；分母$\sqrt5-\sqrt3$的有理化因式是$\sqrt5+\sqrt3$，构成平方差。 3.C；$\dfrac{2}{\sqrt6}=\dfrac{2\sqrt6}{6}=\dfrac{\sqrt6}{3}$。 4.B；$\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=\dfrac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1$。 5.A；$(\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt3)=2-3=-1$，不含根号。 **填空题** 6.分母有理化；7.$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt{5}}{5}}$；8.$\boldsymbol{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$；9.$\boldsymbol{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$；10.不变。 **解答题** 11.解： （1）$\dfrac{4}{\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt2}{2}=2\sqrt2$ （2）$\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt5\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{50}}{10}=\dfrac{5\sqrt2}{10}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 12.解： （1）$\dfrac{2}{\sqrt3-1}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\dfrac{2(\sqrt3+1)}{3-1}=\sqrt3+1$ （2）$\dfrac{1}{\sqrt6+\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{6-2}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$ 13.解： $\begin{align*}\text{原式}&=\dfrac{\sqrt3-1}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}+\dfrac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}\\ &=\dfrac{\sqrt3-1}{2}+\dfrac{\sqrt3+1}{2}\\ &=\dfrac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3\end{align*}$ 14.解：小佳做法错误。根据分式基本性质，分子分母必须**同乘同一个式子**，不能只乘分母。 正确计算： $\begin{align*}\dfrac{2}{\sqrt5-2}&=\dfrac{2(\sqrt5+2)}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}\\ &=\dfrac{2(\sqrt5+2)}{5-4}\\ &=2\sqrt5+4\end{align*}$ ## 本节小结 分母有理化分两类：分母是单个根号，分子分母同乘这个根号；分母是两项带根号，乘它的共轭根式，利用平方差消去分母根号。**最核心原则：分子分母同乘，不能只乘一边**。有理化之后，结果仍然要化成最简二次根式。 高频易错：只处理分母，分子忘记乘有理化因式；符号写错；平方差计算时符号出错；有理化之后不继续化简。 分母有理化是二次根式混合运算、化简求值的必考工具，期末大题经常出现。做题第一步先观察分母是单项还是两项；两项式一定要找共轭根式，做完之后检查是否为最简根式。 下一节：**16.1勾股定理**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 15.4 二次根式的混合运算 第2课时 分母有理化相关的计算 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 二次根式 学习目标 新知●探究 做一做 计算：(1) (2) (1)原式 (2)原式 . 观察思考：可以利用什么公式将式子中的根号化掉的？ 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 典例●精析 例3 计算下列各式: 观察思考：利用什么公式将分母中的根号化掉的？ 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 二次根式的计算要求，分母中不能含有二次根式。 分母构造平方差公式 解： 分母构造平方差公式 【名师点睛】分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号. 典例●精析 例3 计算下列各式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 新知●探究 总结归纳 分母有理化： 把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化. 分母有理化的常用方法： （3）利用平方差公式将分子、分母同乘一个与分母相同的因式； （4）逆用平方差公式，约去分子、分母中的相同因式. （1）利用 将分子、分母同乘一个与分母相同的因式； （2）利用 将被开方数中的分子、分母同乘一个 与分母相同的因式； 典例●精析 例4 计算：已知 ， ， (1)分别求 x-y和 xy的值。(2)分别求和 的值。 解：（1）因为 ， ， 所以 ， ． xy= (2) ． ． 新知●探究 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x，y的对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的值，一般先求x+y,xy,x－y, 等的值，然后将所求代数式适当变形成只含x+y,xy,x－y, 等式子，再代入求值. 总结归纳 1. 设,, , 则,, 之间的大小关系是( ) C A. B. C. D. 举一反三 8 【点拨】,, , , , .,,, , .故选C. 举一反三 9 2. 已知，满足方程组 则 的值为____. 12 【点拨】，得 , .②-①，得 . . 举一反三 10 3. 若两个不相等的实数，满足 ， ，则 的值为 ___. 4 【点拨】， ， ， . ， 原式 . 举一反三 11 4. 已知, ,且 ,则正整数 的值为___. 2 【点拨】 , ,,.将 代入 举一反三 12 ，得 ，化简得 , .又 为正整 数，,解得 . 举一反三 5. 已知， . （1）求 的值； 【解】， , ， . . 举一反三 14 （2）若为的整数部分，为的小数部分，求 的值. 为的整数部分，为的小数部分， ， ， 易得， . . 举一反三 15 6. 如图，某校有一块形状为 正方形的绿地，其边长为 ，现要 在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长 方形花坛，每个花坛的长为 、宽为 ，除去修建花坛的地方，其余地方全部修建成通道. 举一反三 16 （1）求通道的总面积. 【解】由题意得，通道的总面积为 . 举一反三 17 （2）若要在通道上铺设造价为8元/ 的地砖， 铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元 （参考数据： ）？ 由（1）可知,通道的总面积为 . 购买地砖需要花费 （元）. 举一反三 18 18. 如何将双重二次根式 化简呢？如果能找到两 个数，，使得 ，即 ，且使，即 ，那么 ， ，双重二次根式得以化简.#1 举一反三 19 例如：化简： . 因为，且 ， . .#1.1.3 举一反三 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成 的形式，且能找到，，使得 ，且 ，那么这个双重二次根式一定可以化简. 举一反三 21 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： （1）填空： _________； （2）化简： ； 【解】 . 举一反三 22 （3）计算： . 举一反三 23 , 同理可得 . 举一反三 课堂●小结 二次根式的混合运算 加减乘除法则 分母有理化 乘除公式 谢谢观看 THANKS $