15.2 二次根式的乘除运算（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册15.2二次根式的乘除运算专项练习（1212字） 本节课核心公式： 乘法：$\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a\ge0,b\ge0)}$；反过来$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a\ge0,b\ge0)}$，用于化简。 除法：$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a\ge0,b\(>\)0)}$；反过来$\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a\ge0,b\(>\)0)}$。 最简二次根式两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。二次根式乘除，先把被开方数乘除，再化简成最简二次根式；分母含有根号时要分母有理化。高频易错点：乘除公式忽略$\(a,b\)$取值范围；化简时漏开方；分母有理化计算出错；除法公式中忘记$b eq0$。习题包含公式运用、根式化简、乘除计算、判断最简二次根式，掌握二次根式乘除运算规则。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. $\sqrt{3}\times\sqrt{6}$的结果是（） A.$3\sqrt{2}$ B.$\sqrt{18}$ C.$9\sqrt{2}$ D.$3$ 2. 下列根式属于最简二次根式的是（） A.$\sqrt{12}$ B.$\sqrt{7}$ C.$\sqrt{\dfrac12}$ D.$\sqrt{0.5}$ 3. 计算$\sqrt{24}\div\sqrt{3}$等于（） A.$8$ B.$2\sqrt{2}$ C.$\sqrt{8}$ D.$2$ 4. 等式$\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}$成立的条件是（） A.$x\ge0$ B.$\(x\(>\)2\)$ C.$x\ge2$ D.$0\le x<2$ 5. 化简$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，分母有理化结果是（） A.$\sqrt{2}$ B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C.$\dfrac12$ D.$2\sqrt{2}$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立条件：$a$____$0$，$b$____$0$。 7. $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$成立条件：$a$____$0$，$b$____$0$。 8. $\sqrt{2}\times\sqrt{8}=$________；$\sqrt{27}\div\sqrt{3}=$________。 9. 最简二次根式要求：被开方数不含____，不含能开得尽方的因数或因式。 10. 化简$\sqrt{48}=$________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 计算：（1）$\sqrt{5}\times\sqrt{20}$；（2）$\sqrt{18}\times\sqrt{\dfrac12}$；（3）$\sqrt{6}\div\sqrt{\dfrac13}$。 12. 化简成最简二次根式：（1）$\sqrt{50}$；（2）$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$。 13. 计算：$\sqrt{12}\times\sqrt{6}\div\sqrt{8}$。 14. 辨析题：小李说$\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}$。判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.A；$\sqrt3\times\sqrt6=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt2$。 2.B；$\sqrt{12}$可开方；$\sqrt{\dfrac12}$、$\sqrt{0.5}$被开方数含分母，都不是最简。 3.B；$\sqrt{24}\div\sqrt3=\sqrt{24\div3}=\sqrt8=2\sqrt2$。 4.B；$x\ge0$且$x-2\(>\)0$，得$\(x\(>\)2\)$，分母不能为0。 5.B；$\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{1\times\sqrt2}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$。 **填空题** 6.$\ge$，$\ge$；7.$\ge$，$\(>\)$；8.$4$，$3$；9.分母；10.$4\sqrt{3}$。 **解答题** 11.解：（1）$\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=10$； （2）$\sqrt{18}\times\sqrt{\dfrac12}=\sqrt{18\times\dfrac12}=\sqrt9=3$； （3）$\sqrt{6}\div\sqrt{\dfrac13}=\sqrt{6\div\dfrac13}=\sqrt{18}=3\sqrt2$。 12.解：（1）$\sqrt{50}=\sqrt{25\times2}=5\sqrt{2}$； （2）$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2\times3}{3\times3}}=\dfrac{\sqrt6}{3}$。 13.解：原式$=\sqrt{12\times6\div8}=\sqrt{9}=3$。 14.解：小李说法错误。二次根式乘法公式$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，**要求$a\ge0,b\ge0$**。$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$被开方数为负数，无意义。 正确做法：$\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{36}=6$。 ## 本节小结 二次根式乘除运算口诀：**根式相乘除，被开方数一起乘除，最后化为最简二次根式**。使用公式一定要注意取值范围，负数不能直接拆开根号。最简二次根式两个条件是判断必考，做完计算题结果必须化成最简。分母有理化核心：分子分母同乘根号，把分母根号去掉。高频易错：忽略公式中被开方数非负；运算结束不化简；除法中分母等于0；直接拆分负的被开方数。乘除运算顺序和有理数一样，同级从左往右。二次根式乘除是二次根式加减的前置基础，大题经常结合化简求值一起考。做题最后一步一定要检查：被开方数能不能继续开方、是否还有分母带根号，确保结果是最简二次根式，避免没有化简丢分。 （全文1212字） 下一节：**15.3二次根式的加减**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 15.2 二次根式的乘除运算 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十五章 二次根式 学习目标 新知●探究 一起探究 = 反过来 = 反过来 二次根式的乘法 二次根式的除法 新知●探究 总结归纳 二次根式的乘法： 两个非负数的算术平方根的乘积，等于这两个非负数乘积的算术平方根. 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘. 注意：（1）a≥0，b≥0是公式成立的必要条件； （2）公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的； （3）此法则也可以推广为 新知●探究 总结归纳 二次根式的除法： 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变. 两个非负数的算术平方根的商，等于这两个非负数商的算术平方根 (a≥0，b＞0). 注意： （1）a≥0，b0是公式成立的必要条件； （2）公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的； 知识点1 二次根式的乘法 1. 下列运算正确的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 5 2. 如图，长方形内有两个相邻的 正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部 分的面积为( ) C A. 5 B. C. 6 D. 【点拨】设两个正方形的边长分别是， ，则 ，，，. 阴影部分的 面积为 . 举一反三 6 3. 若一个无理数与 的积是一个有理数，写 出 的一个值是__________________. 4. [衡水模拟] 若，则 ____. （答案不唯一） 【点拨】， ， . 举一反三 7 典例●精析 例1 计算下列各式: 解： 注意：二次根式运算的结果，应化为最简二次根式. 典例●精析 例2 计算下列各式: 解： 想一想：本题还有其它做法吗？。 (1) 把分母中的二次根式化去了 分母有理化 分母有理化 你学会吗？自己做一做吧。 = 典例●精析 例2 计算下列各式: 把分母中的二次根式化去了 分母有理化 = 新知●探究 总结归纳 分母有理化： 把分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化. 温馨提示： 要想将分母有理化，其实质是将分子、分母同乘一个适当的数(式)，使分母转化为 的形式． 新知●探究 做一做 请就小明和大刚分别计算 的做法给予评价，并谈谈你的想法. 　　 小明的做法(先运算后化简) 解： 大刚的做法(先化简后运算) 解： 5. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 举一反三 13 （1）一般地，对二次根式的乘法规定： ，即二次根式相乘，把被开方数 相乘，根指数不变. （2）此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中，如 . （3）当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的 法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为 被开方数，如 . . . . . . . . . 举一反三 14 知识点2 二次根式的除法 6. 下列各式计算正确的是( ) B A. B. C. D. 7. 若，，则 _____. 【点拨】, , , . . 举一反三 15 8. 计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 举一反三 16 （3） ； . （4） （ ）. . 举一反三 17 知识点3 分母有理化 9. 在将式子 化简时， 小明的方法： ； 小亮的方法： ； 小丽的方法： ， 举一反三 18 则下列说法正确的是( ) C A. 小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确 B. 小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确 C. 小明、小亮、小丽的方法都正确 D. 小明、小亮、小丽的方法都不正确 举一反三 19 10. 比较大小：___，___ . 【点拨】，，. ， ，， , . 举一反三 20 11. 若，且，则 的值 为( ) D A. B. C. D. 【点拨】，且 ， .故选D. 举一反三 21 12. 已知，，则 ( ) D A. B. C. D. 【点拨】. ， ， 原式 . 举一反三 22 13. 化简 ，得____________． 【点拨】方法1：原式 . 方法2：原式 . 举一反三 23 14. 对于任意两个和为正数的有理数， ，定义“*”的运算： .例如，那么 _ _____. 【点拨】由题意，得 . 举一反三 24 15. 已知，， ， ，则 ___. 举一反三 25 课堂●小结 二次根式的乘除运算 乘法法则 除法法则 (a≥0，b＞0). 分母有理化 把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化. 谢谢观看 THANKS $