13.1 命题与证明 课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册13.1命题与证明专项练习（1212字） 命题与证明是几何推理入门的基础内容，本节主要学习命题、真命题、假命题、基本事实、定理、证明、举反例等概念。能够判断一件事情的语句叫做命题，命题由**题设**和**结论**两部分组成，常写成“如果……，那么……”的形式；题设是已知事项，结论是由已知推出的事项。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，判断假命题只需举出一个反例即可。基本事实是不需要证明、公认正确的命题；定理是经过推理证实的真命题，推理的过程叫做证明。本节易错点：误认为只要带“如果”就是命题；混淆题设与结论；举反例时不符合命题条件；证明过程缺少依据、推理跳步。习题分层设计，包含选择、填空、改写命题、判断真假、简单证明，适合课后巩固几何推理基础。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列语句中，属于命题的是（） A. 画线段AB=CD B. 对顶角相等 C. 你好吗？ D. 延长线段AB 2. 命题“两直线平行，同位角相等”的题设是（） A. 同位角相等 B. 两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 3. 下列命题中，属于假命题的是（） A. 两点之间，线段最短 B. 对顶角相等 C. 若$a^2=b^2$，则$\(a=b\)$ D. 同角的余角相等 4. 要证明一个命题是假命题，正确的方法是（） A. 举出一个反例 B. 证明它的逆命题为假 C. 画图说明 D. 用基本事实推导 5. 下列说法正确的是（） A. 命题一定是定理 B. 真命题一定是基本事实 C. 定理一定是真命题 D. 假命题也可以作为定理 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 命题由两部分组成，分别是______和______。 7. “同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式：________________________。 8. 命题“若$|x|=2$，则$\(x=2\)$”是______命题（填“真”或“假”）。 9. 经过推理证实的真命题叫做________。 10. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的反例，在________中不成立。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 判断下列语句是不是命题，若是命题，写出题设与结论，并判断真假。 （1）相等的角是对顶角；（2）两个锐角的和是钝角。 12. 将下列命题改写为“如果……，那么……”的形式。 （1）等角的补角相等；（2）内错角相等，两直线平行。 13. 举反例说明下列命题是假命题。 （1）如果$\(a>b\)$，那么$a^2>b^2$；（2）两个负数的差一定是负数。 14. 简单证明：已知：如图，$\angle1=\angle2$。求证：$a\parallel b$。（依据：同位角相等，两直线平行） ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；命题是可以判断对错的陈述句，A、D是操作指令，C是疑问句，都不是命题。 2.B；“两直线平行，同位角相等”，题设：两直线平行；结论：同位角相等。 3.C；反例：$a=2,b=-2$，$a^2=b^2$但$a eq b$，为假命题。其余均为真命题。 4.A；判定假命题只需举出一个符合题设、但不满足结论的反例。 5.C；定理一定是经过证明的真命题；命题不一定是定理，真命题不一定是基本事实；假命题不能作为定理。 **填空题** 6. 题设；结论 7. 如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行 8. 假；反例$x=-2$ 9. 定理 10. 同一平面外（空间） **解答题** 11.（1）是命题。题设：两个角相等；结论：这两个角是对顶角。假命题。反例：两平行线同位角相等，但不是对顶角。（2）是命题。题设：两个角都是锐角；结论：它们的和是钝角。假命题。反例：$20^\circ+30^\circ=50^\circ$，仍是锐角。 12.（1）如果两个角相等，那么它们的补角相等。（2）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。 13.（1）反例：$a=1,b=-3$，$\(a>b\)$，但$a^2=1$，$b^2=9$，$a^2<b^2$。（2）反例：$(-2)-(-5)=3$，两个负数相减结果为正数。 14.证明：$\because \angle1=\angle2$（已知），$\therefore a\parallel b$（同位角相等，两直线平行）。 ## 本节小结 本节是几何证明的入门，核心是分清命题的题设与结论，会改写命题，区分真、假命题。判断假命题的唯一简便方法是寻找反例，反例必须满足题设，但不满足结论。基本事实不需要证明，定理必须经过严格推理证明，证明过程每一步都要写出依据，依据可以是已知、定义、基本事实、已经证明的定理。很多同学容易把画图、操作语句当成命题，一定要记住：命题必须是**能判断真假的陈述句**，疑问句、祈使句都不是命题。在后续全等三角形、平行线的证明中，会反复用到命题、推理与证明的思想，规范书写推理步骤，养成“言之有据”的习惯，是学好平面几何的关键。做题时仔细审题，拆分题设和结论，举反例时紧扣条件，避免凭主观感觉判断命题真假。 （全文1212字） 下一节：**13.2 全等图形**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 13.1 命题与证明 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 全等三角形 学习目标 导入●新课 下列语句中，哪些是命题？若是命题，请说出它的条件和结论？请说出它是真命题还是假命题？ (1）如果x=1是方程x+3=m的解，那么m=4. (2）如果一个数能被4整除，那么这个数也能被2整除． (3）同角的余角相等． (4）两个单项式的和一定是多项式吗？ (5）如果a2=4，那么a=-2。 我们知道命题有真命题，也有假命题，假命题怎样来说明呢？ 真命题 假命题 真命题 真命题 不是命题，没有做出判断 能够进行肯定或否定判断的语句，叫作命题 a=2时，a2=4但a 举反例 学 习 目 标 1 2 3 了解互逆命题,会写出一个命题的逆命题.了解定理、逆定理和互逆定理.（重点） 能运用基本事实和相关定理进行简单的证明.（难点） 体会证明的必要性. 学习●目标 新知●探究 观察与思考 两条直线被第三条直线所截， 如果这两条直线平行，那么同位角相等. 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直线平行. 请指出这两个命题的条件和结论分别是什么？并思考它们的条件和结论有什么关系？ 条件 结论 条件 结论 你能不能再举例说明两个具有这种关系的命题？ 变成 变成 互为逆命题： 互为逆命题： 总结归纳 新知●探究 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题. 在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题. 每个命题都有逆命题。 请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性． (1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 (2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 (3）如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除． (4）已知两数 a,b， 如果 a +b>0，那么a-b>0. 做一做 新知●探究 解： （1）逆命题：如果两条直线平行，被第三条直线所截形成的内错角一定相等。 （2）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。假命题。 （3）逆命题：如果一个数能被6整除，那么这个数也能被3整除。真命题 （4）逆命题：已知两数a、b，如果a-b＞0，那么a+b＞0 。 假命题 真命题 真命题 假命题 假命题 真命题， 知识点1 逆命题 1. 命题“锐角小于 ”的逆命题是( ) A A. 小于 的角是锐角 B. 不是锐角的角不小于 C. 不小于 的角不是锐角 D. 如果一个角是锐角，那么这个角小于 举一反三 7 2. 写出下列各命题的逆命题，并 判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一 个反例进行说明. （1）如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角 形，那么这条线段是这个三角形的中线； 【解】逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这 条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题. 举一反三 8 （2）对顶角是有公共顶点且相等的角. 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对 顶角；是假命题． 反例：如图，，且共顶点 ， 但这两个角不是对顶角. 举一反三 9 新知●探究 我们知道命题有真命题，也有假命题，真命题又怎样来说明呢？ 证明 从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义性质和定理等，进行有理有据的推理叫做证明。 【注意】证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 典例●精析 例 证明：平行于同一条直线的两条直线平行. 已知：如图 ，直线a，b，c，a∥c， b∥c. 求证： a∥b. a b c d 1 2 3 ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）. 即平行于同一条直线的两条直线平行. 证明：如图，作直线d，分别于直线a，b，c相交. ∵a∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∵b∥c（已知）， ∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∴∠1=∠3（等量代换）. 总结归纳 新知●探究 证明的步骤 第一步 根据题意 画出图形将文字语言转换为符号（图形）语言 第二步 根据条件、结论 图形 第三步 根据基本事实， 已有定理 进行证明 写出已知、求证 新知●探究 我们知道每个命题都有逆命题，定理也有逆命题，但它的逆命题是不是真命题呢？ 不一定 逆定理的定义：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理. 逆定理的定义： 互为逆定理： 定理和它的逆定理互为逆定理 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 互为逆定理： 新知●探究 已知：如图，点O在直线AB上，OD,OE分别是∠ AOC ，∠BOC的平分线. 求证：OD⊥OE. 证明：∵点O在直线AB上， ∴∠AOC+∠BOC=180(平角的定义）， ∵ OD,OE，分别是∠ AOC ，∠BOC的平分线. ∴∠DOC= ∠AOC,∠EOC= ∠BOC （角平分线的定义）， ∴ ∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）= ×180=90 ∴OD ⊥ OE. 做一做 O B A E D C 知识点2 证明 3. 下面是投影屏上出示的一道抢答题，需 要回答横线上的内容. 已知：如图， . ______________________________ 举一反三 15 求证： . 证明：延长交____于点 , 则_______ （三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角之和）. 又由,得 _______, 故 （________相等，两直线平行）. 内错角 续表 举一反三 16 4. 如图，, ,求证： . 【证明】 ， . , , , . 举一反三 17 知识点3 逆定理 5. 下列定理中，有逆定理的是______（只填写序号）. ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等. ①③ 举一反三 18 6. （1）如图，直线，，被直线 所截， ,.求证： ; 举一反三 19 【证明】 , . , , , . 举一反三 20 （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的定理. 【解】在（1）的证明过程中应用的两个互逆的定理为同旁 内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补. 举一反三 21 7. 如图，在中，是的平分线， ， ，交于点 . 举一反三 22 （1）求证：是 的平分线. 【证明】 ， ， ， . 是 的平分线， ， ， 是 的平分线. 举一反三 23 （2）若将“是的平分线”与“是 的平分线”“ ”或“ ”中的任一条件交换，所得命题是真命 题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由. 举一反三 24 【解】（三选一即可）所得命题是真命题； ①选择命题：若是 的平分线， ，，则是 的平 分线. 证明：， , ， . 是 的平分线， 举一反三 25 , , 是 的平分线. ②选择命题：若是 的平分线， 是的平分线， ，则 . 举一反三 证明：是的平分线， 是 的平分线， ， . ， , ， . ③选择命题：若是 的平分线， 是的平分线， ，则 . 举一反三 是的平分线，是 的平 分线， ， . ， , ， . 举一反三 课堂●小结 命题与证明 互逆命题 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题. 证明 要说明一个命题是真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明. 谢谢观看 THANKS $