12.5分式方程的应用 课件 -2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册12.5分式方程的应用专项练习（1212字） 分式方程的应用，是在掌握分式方程解法与验根基础上，把实际问题转化为数学模型。常见题型分为工程问题、行程问题、销售单价问题。解题的标准步骤：审清题意、设未知数、找等量关系、列出分式方程、解方程、双重检验（检验是否为增根，检验结果是否符合实际意义）、写答语。和整式方程应用题最大区别：分式方程必须检验，未知数不能取使分母为零的值。本节易错点：审题找错等量关系；忘记检验；单位不统一；设未知数不带单位。习题由基础到综合，包含选择、填空、解答应用题，贴合课本考点，适合课后强化训练。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 某工程队修建道路，原计划每天修$x$米，实际每天比原计划多修10米，修120米道路，实际比计划少用1天，所列方程为（） A.$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+10}=1$ B.$\dfrac{120}{x+10}-\dfrac{120}{x}=1$ C.$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x-10}=1$ D.$\dfrac{120}{x-10}-\dfrac{120}{x}=1$ 2. 甲、乙两地相距240千米，一辆汽车原计划速度为$v$千米/时，提速后速度变为原来的1.2倍，则提前到达的时间为（） A.$\dfrac{240}{1.2v}-\dfrac{240}{v}$ B.$\dfrac{240}{v}-\dfrac{240}{1.2v}$ C.$\dfrac{240v}{1.2}$ D.$\dfrac{240\times1.2}{v}$ 3. 某商店购进一批笔记本，用300元购买，每本进价$x$元，若每本降价2元，用同样钱可以多买5本，方程正确的是（） A.$\dfrac{300}{x-2}-\dfrac{300}{x}=5$ B.$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x-2}=5$ C.$\dfrac{300}{x+2}-\dfrac{300}{x}=5$ D.$\dfrac{300}{x}-\dfrac{300}{x+2}=5$ 4. 甲单独完成一项工作需要10天，乙单独完成需要$x$天，两人合作3天完成工作，方程是（） A.$\(10+x=3\)$ B.$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}=3$ C.$3\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}\right)=1$ D.$\dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{x}=3$ 5. 解分式方程应用题，必不可少的步骤是（） A.去括号 B.检验 C.移项 D.合并同类项 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 一项工程，甲单独做需要$a$天完成，则甲一天的工作量为________。 7. A、B两地相距150千米，甲车速度为$x$千米/时，乙车速度比甲车快10千米/时，则乙走完全程用时________小时。 8. 用120元买铅笔，原价每支$x$元，每支涨价1元，少买6支，可列方程：________。 9. 轮船顺水航行80千米与逆水航行60千米所用时间相同，水流速度3千米/时，设轮船静水速度为$x$千米/时，则方程：________。 10. 某工厂生产零件，计划生产400个，实际每天多生产10个，提前2天完成，若设计划每天生产$x$个，则方程：________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 工程问题：一项工程，甲队单独施工完成需要30天，若甲、乙两队合作12天可以完成。求乙队单独完成这项工程需要多少天。 12. 行程问题：甲、乙两地相距360km，一辆客车从甲地出发，速度比货车快20km/h，客车走完全程时间是货车的$\dfrac{3}{4}$，求货车速度。 13. 销售问题：学校采购文具，用200元购买一批签字笔，第二批采购时，每支笔涨价1元，花费350元，购买数量是第一批的2倍，求第一批签字笔单价。 14. 综合应用题：一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间航行，顺流航行用时比逆流航行少3小时，水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.A；计划时间减实际时间等于少用的1天。2.B；原计划时间减去提速后的时间等于提前时间。3.A；降价后购买数量减去原数量等于多买5本。4.C；工作效率之和乘合作时间等于总工作量1。5.B；分式方程应用题必须检验。 **填空题** 6.$\dfrac{1}{a}$；7.$\dfrac{150}{x+10}$；8.$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+1}=6$；9.$\dfrac{80}{x+3}=\dfrac{60}{x-3}$；10.$\dfrac{400}{x}-\dfrac{400}{x+10}=2$。 **解答题** 11.解：设乙单独完成需要$x$天。$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}$，解得$\(x=20\)$。检验：$\(x=20\)$是原方程的根，符合题意。答：乙单独完成需要20天。 12.解：设货车速度为$x$ km/h，客车$\((x+20)\)$ km/h。$\dfrac{360}{x+20}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{360}{x}$，解得$\(x=60\)$。检验，符合实际。答：货车速度60千米/时。 13.解：设第一批单价$x$元。$2\times\dfrac{200}{x}=\dfrac{350}{x+1}$，解得$\(x=4\)$。检验，符合题意。答：第一批签字笔单价4元。 14.解：设静水速度$x$千米/时。$\dfrac{90}{x-3}-\dfrac{90}{x+3}=3$，解得$\(x=9\)$，$x=-9$舍去。检验，符合实际。答：静水速度9千米/时。 ## 本节小结 分式方程应用题四大模型：工程问题，总工作量看作单位1，工作效率=$\dfrac{工作量}{时间}$；行程问题，路程=速度×时间；销售问题，总价=单价×数量；航行问题，顺水速度=静水速度+水速，逆水速度=静水速度−水速。列方程时，找准等量关系是核心。解完方程，一定要双重检验，既要检验是否是分式方程的增根，又要看结果是否符合现实场景，速度、天数、价格不能为负数。设未知数要规范，作答完整。分式方程应用是本章压轴考点，常出现在单元测试和期末试卷大题，要熟练审题建模，规范书写解题步骤，避免漏掉检验而丢分。 （全文1212字） 接下来：**13.1命题与证明**专项练习，同样控制1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 12.5分式方程的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 分式和分式方程 学习目标 典例●精析 例1 某工程队承建一所希望学校在施工过程中，由于引进了先进设备，工作效率提高了20%,因此提前1个月完工.那么,这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校? 解：设工程队原计划用x个月的时间建成这所希望学校.根据题意，得·(1+20%)= 解这个方程，得 x=6. 经检验，x=6是原分式方程的根. 答：这个工程队原计划用6个月的时间建成这所希望学校. 问题中的等量关系为 引进设备前的工作效率×(1+20%)=引进设备后的工作效率. 分析 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入字数的和是220,那么两人平均每分钟各录入多少字? 典例●精析 解：设小红平均每分钟录入x个字，则小丽平均每分钟录入220-x个字. 则由题意得， = 解得，x=120 答：小红和小丽平均每分钟录入的字数分别为120和100. 解分式方程应用题的步骤 审 设 列 解 验 答 01 02 03 04 05 06 即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系． 即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量． 即列方程，根据等量关系列出分式方程． 即解所列的分式方程，求出未知数的值． 即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义． 即写出答案，注意单位和答案完整． 典例●精析 例2 A，B两种型号机器人搬运原料. 已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg. 由“A型机器人搬运1000kg所用时间 = B型机器人搬运800kg所用时间” 这一等量关系可列出如下方程： 典例●精析 方程两边同乘最简公分母x(x+20)，得 1000x = 800(x+20). 解得x = 80. 检验：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0， 因此x=80是原方程的根，且符合题意. 由此可知，B型机器人每小时搬运原料80kg， A型机器人每小时搬运原料100kg. 例2 A，B两种型号机器人搬运原料. 已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 知识点1 工程问题 1. 某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了 ，这样同样加工12个零件就少用1小时，那么采用新工 艺前每小时加工的零件数为 ( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 举一反三 7 2. 甲、乙两个工程队共同承接一项工程，已知甲工程队单独 完成时间比乙工程队单独完成时间少6天.若两个工程队同时 施工4天后，再由乙工程队单独完成，则乙工程队一共所用 的时间刚好和甲工程队单独完成所用的时间相同，则甲工程 队单独完成这项工程所需的时间是____天. 12 举一反三 8 典例●精析 例3 某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？ 设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得 整理，得4.5x＝900， 解之，得x＝200. 把x＝200代入原方程，成立， ∴x＝200是原方程的解． 答：原计划每天生产200吨纯净水． 解： 典例●精析 我们常见的应用题有哪几种类型？每种类型的基本关系式是什么？ 行程问题 路程 = 速度×时间 数字问题 要掌握十进制数的表示法； 工程问题 工作量 = 工时×工效 批发成本 = 批发数量×批发价； 打折销售价 = 原价× ； 利润问题 销售利润 = 销售收入－成本； 利润率 = 利润÷进价. 折数 10 思考： 典例●精析 例4 某服装店销售一款服装.若按原价销售，则每月销售额为10000元；若按八五折销售，则每月多卖出20件，且月销售额还增加1900元.那么,每件服装的原价为多少元? 解：设每件服装的原价为x元.根据题意，得 =20 解这个方程，得 x=200. 经检验，x=200是原方程的解 答：每件服装的原价为200元. 本题中的主要等量关系为 每月按八五折销售服装的数量-每月按原价销售服装的数量=20件. 分析 典例●精析 例5 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？ 解：设该款空调补贴前的售价为每台x元， 即 方程两边同乘最简公分母x(x-200)， 解得 x = 2200. 得 1.1(x-200)= x. 检验：把x=2200代入x(x-200)中，它的值不等于0， 因此x=2200是原方程的根，且符合题意. 答：该款空调补贴前的售价为每台2200元. 典例●精析 例6 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．某茶店用4 000元购进了A种茶叶若干盒，用8 400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍． (1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？ 解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元， 则B种茶叶每盒进价为1.4x元， 依题意，得： 解得　x＝200，经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴1.4x＝280. 答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元． 典例●精析 例6 (2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B 两种茶叶共100盒(进价不变)，A 种茶叶的售价是每盒300元，B 种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5 800元(不考虑其他因素)，求本次购进A，B两种茶叶各多少盒． 解：(2)设第二次购进A种茶叶m盒，则购进B种茶叶(100－m)盒， 依题意，得：(300－200)×＋(300×0.7－200)×＋(400－280)× ＋(400×0.7－280)×＝5 800， 解得m＝40，∴100－m＝60. 答：第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒． 典例●精析 例7 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株，你能列出方程吗？ 解：设这批椽的数量为x株， 因此每株椽的价钱为3(x-1)文. 由题意得， =3(x-1). 将这个方程化为整式方程，得 =3x(x-1). 它不是我们熟知的方程,因此这里不解该方程.九年级学习一元二次方程的解法后再来解决这个问题. 数学文化 《四元玉鉴》 《四元玉鉴》是朱世杰阐述多年研究成果的一部力著。全书共分3卷，24门，288问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题（需设立四个未知数者）有7问，三元 者13问，二元者36问，一元者232问。卷首列出了贾宪三角等四种五幅图，给出了天元术、二元术、三元术、四元术的解法范例；后三者分别是二元、三元、四元高次方程组的列法及解法。创造四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献，书中另一个重大成就是系统解决高阶等差级数求和问题和高次招差法问题. 典例●精析 例8 一个两位数的十位数字是4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么得到的新两位数与原两位数的比值是，求原来的两位数. 解：设原两位数的个位数字是x，则原两位数可表示为(10x+4),把这个两位数的个位数字与十位数字交换，得到的新两位数为4×10+x=40+x，则 解得，x=2 因此，原来的两位数为24. 知识点2 和差倍分问题 3. 某市加大了对市区主要干道两旁种植“景观树”的力度，平 均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需要的时间与原计 划植45棵所需要的时间相同，则现在平均每天植树( ) A A. 20棵 B. 15棵 C. 10棵 D. 25棵 举一反三 18 4. 学期末，班主任为获得“文明学生”和“劳动积极分子”称号 的学生准备了，两种礼物.已知， 两种礼物的总价分别 为480元和450元，且种礼物比种礼物多15份，， 两种 礼物的单价分别是这两种礼物单价的平均数的 和1.2倍，则 这两种礼物单价的平均数是____元. 15 举一反三 19 知识点3 行程问题 5. “行人守法， 安全过街”反映了城市的文明 B A. B. C. D. 程度.如图，官渡区森林公园路口的斑马线 横穿双 向行驶车道，其中 ，在绿灯亮时，小官共用 通过路段，其中通过路段时的速度是通过 路段 时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是 ( ) 举一反三 20 6. 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话 内容，求李明乘公交车每小时行多少千米. 举一反三 21 【解】设刘峰骑自行车每小时 行 千米，则李明乘公交车每小 时行 千米，根据题意，得 ，解得 , 经检验， 是原分式方程的解，且符合题意, . 答：李明乘公交车每小时行60千米. 举一反三 22 7. [宁波自主招生] 以等速度行驶的城际列车，若将速度提高 ，则相同距离的行车时间可节省，那么 的值是 ( ) D A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 【点拨】设距离为,原来速度为,则原来行车时间为 ，现在 速度为,时间为 .根据题意，得 ,解得 .故选D. 举一反三 23 8. 某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数 的倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的 倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的 倍， 则 的值是__. 举一反三 24 【点拨】设甲、乙、丙单独完成这项工程各需天、天、 天，根据题意，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作所需 天数的倍，乙、丙合作所需天数为 ，所以 ，整理得 ，于是 ，因此 ，同理， ， ，所以 举一反三 25 ，所以 . 举一反三 9. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇 用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单 独运完这批货物分别用次， 次；甲、丙两车合运相同次 数，运完这批货物甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次 数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同 次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为_______元 （按每吨运费20元计算）. 2 160 举一反三 27 【点拨】设甲车每次运吨，乙车每次运吨，丙车每次运 吨，根据题意，得 这 批货物共有（吨）. 甲、 乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运 费为 （元）. 举一反三 28 10. 人工智能是研究用计算机来模拟 人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划 等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于 人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用.某校为 迎接30周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能 赛车在指定赛道上进行 比赛，在第一轮比赛时，“领航 号”和“致远号”两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终 举一反三 29 点时，“致远号”才行驶到全程的 ，“领航号”比“致远号”每秒 多行 . （1）求“致远号”的行驶速度. 举一反三 【解】设“致远号”的行驶速度为 ，则“领航号”的行驶速 度为 , 由题意得 , 解得 , 经检验, 是原方程的解. 答：“致远号”的行驶速度是 . 举一反三 31 （2）如果将“领航号”的赛道长增加 ，“致远号”的赛道长不 变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达各自终点吗？ 通过计算说明. 举一反三 32 不能同时到达. 调整后“领航号”的行驶路程为 . “领航号”到达终点所用的时间为 , “致远号”到达终点所用的时间为 , , 两车不能同时到达各自终点. 举一反三 33 （3）若（2）中两车不能同时到达各自终点，请你调整其中 一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达各自终点，并写出 调整方案. 举一反三 34 设调整后“领航号”的行驶速度为 , 由题意,得 , 解得 , 经检验, 是原方程的解； 设调整后“致远号”的行驶速度为 , 由题意,得 , 举一反三 35 解得 , 经检验, 是原方程的解. 答：调整后“领航号”的行驶速度为 或调整后“致远号” 的行驶速度为 可使两车能同时到达各自终点. 举一反三 课堂●小结 分式方程的 实际应用 步骤 类型 一审二设三找四列五解六验七写 工程问题 行程问题 利润问题 数字问题 谢谢观看 THANKS $