12.4分式方程（课件）2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版数学八年级上册12.4分式方程专项练习（1212字） 分式方程是分母中含有未知数的方程，它建立在分式四则运算基础之上。解分式方程的核心思路是去分母，把分式方程转化为整式方程求解。分式方程必须检验，因为去分母过程会乘以含未知数的整式，有可能产生增根；增根是去分母后所得整式方程的根，但它让原分式方程分母为零，不是原方程的解。本节考点包含分式方程的识别、解方程、增根问题、利用分式方程解决实际应用题。常见易错点：忘记检验；去分母时常数项漏乘最简公分母；应用题不检验实际意义。本套习题梯度分明，覆盖基础选择、填空、解方程、增根题型与实际应用，适合课后巩固与单元复习。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于分式方程的是（） A.$\dfrac{x}{2}+1=0$ B.$\dfrac{2}{x}=3$ C.$\(2x+3y=1\)$ D.$x^2-1=0$ 2. 解分式方程$\dfrac{1}{x-2}=3$，去分母后得到的整式方程是（） A.$1=3(x-2)$ B.$1=3x-2$ C.$x-2=3$ D.$1=3(2-x)$ 3. 分式方程$\dfrac{x}{x-3}=1+\dfrac{3}{x-3}$的解的情况是（） A.$\(\(x=\)3\)$ B.$\(\(x=\)0\)$ C.无解 D.$\(\(x=\)1\)$ 4. 若关于$x$的分式方程$\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{m}{x-2}$有增根，则$m$的值为（） A.$1$ B.$2$ C.$-1$ D.$0$ 5. 甲、乙两人分别走30千米，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时。设乙每小时走$x$千米，所列方程正确的是（） A.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{\(x+1\)}=\dfrac{1}{2}$ B.$\dfrac{30}{\(x+1\)}-\dfrac{30}{x}=\dfrac{1}{2}$ C.$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x-1}=\dfrac{1}{2}$ D.$\dfrac{30}{x-1}-\dfrac{30}{x}=\dfrac{1}{2}$ ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 方程$\dfrac{2}{x}=1$的解是$\(x=\)$________。 7. 分式方程检验时，把根代入________，若其值为0，则是增根。 8. 若分式方程$\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{k}{4-x}+2$有增根，则增根为________。 9. 已知$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{4}{x}$，则$\(x=\)$________。 10. 某工厂加工零件，原计划每天加工$x$个，加工600个零件，实际每天多加工20个，提前一天完成，可列方程：________。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 解下列分式方程： (1)$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{\(x+1\)}$； (2)$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$。 12. 已知关于$x$的分式方程$\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{m}{x-3}+2$有增根，求$m$的值。 13. 当$k$取何值时，方程$\dfrac{x}{x-2}-2=\dfrac{k}{x-2}$的解为正数？ 14. 应用题：A、B两地相距120千米，一辆货车从A地出发，一辆客车从B地出发，客车速度比货车快20千米/时，两车同时出发相向而行，经过2小时相遇，求货车的速度。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B，分式方程要求分母含有未知数，其余选项分母不含未知数，都是整式方程。 2.A，两边同乘最简公分母$(x-2)$，得$1=3(x-2)$。 3.C，去分母得$\(x=\)x-3+3$，化简$\(x=\)x$，$\(\(x=\)3\)$时分母为0，是增根，原方程无解。 4.A，增根为$\(x=\)2$，去分母得$x-1=m$，代入$\(x=\)2$，$\(m=1\)$。 5.A，乙用时$\dfrac{30}{x}$，甲速度$\(x+1\)$，用时$\dfrac{30}{\(x+1\)}$，乙比甲多用$\dfrac12$小时。 **填空题** 6.$2$；7.最简公分母；8.$\(x=\)4$；9.$4$；10.$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{x+20}=1$。 **解答题** 11.(1)两边同乘$x(\(x+1\))$，$2(\(x+1\))=3x$，$\(2x+2=3x\)$，$\(x=\)2$。检验：$\(x=\)2$时，$x(\(x+1\)) eq0$，解为$\(x=\)2$。 (2)两边乘$(x-1)(x+2)$，$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$，解得$\(\(x=\)1\)$。检验：$\(\(x=\)1\)$时分母为0，增根，原方程无解。 12.增根$\(\(x=\)3\)$，去分母$x-2=m+2(x-3)$，代入$\(\(x=\)3\)$，得$\(m=1\)$。 13.去分母：$x-2(x-2)=k$，$\(x=\)4-k$。解为正数，则$4-k>0$，$\(k<4\)$；又$x eq2$，$4-k eq2$，$k eq2$。综上$\(k<4\)$且$k eq2$。 14.设货车速度$x$千米/时，客车$\((x+20)\)$千米/时。$2x+2\((x+20)\)=120$，解得$\(x=\)20$。检验，符合题意。答：货车速度20千米每小时。 ## 本节小结 解分式方程的步骤：一找最简公分母；二去分母化为整式方程；三解整式方程；四检验，检验是必不可少的一步。增根两个条件：一是整式方程的根，二使原分式分母为0。含参数分式方程，不仅要考虑解的正负，还要排除增根。列分式方程解应用题，审题找出等量关系，设未知数、列方程、解方程、双重检验，既要检验是否为增根，还要检验结果是否符合实际情景。分式方程是本章重点难点，综合分式运算，在中考常以解方程、含参问题、工程与行程应用题出现，一定要规范书写步骤，牢记检验，减少不必要失分。 （全文1212字） 下一节：**13.1命题与证明**专项练习，同样1212字吗？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 12.4分式方程 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/1 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 分式和分式方程 学习目标 情境●引入 1.一个两位数的十位数字是4，如果把这个两位数的个位数字与十位数字交换，那么得到的新两位数与原两位数的比值是，求原来的两位数. 设原两位数的个位数字是x，列出的方程为 . 2.某公司生产A，B两种机械设备，B种设备每台的成本是A种设备的1.5倍.若公司投人16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，则可生产两种设备共10台.A，B两种设备每台的成本分别是多少万元？ 设生产A种设备的成本是x万元，列出的方程为 . 这些方程的分母中含有未知数 x， 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 使得分式方程等号两端相等的未知数的值，叫做分式方程的解（也叫作分式方程的根）. 你能再写出几个分式方程吗？　　 　　 　　我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 思考： 典例●精析 例1 判断下列方程是不是分式方程： (1) (2) (3) (4) 解： (1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数． (2)是分式方程，因为分母中含有未知数． (3)是分式方程，因为分母中含有未知数． (4)是分式方程，因为分母中含有未知数． 新知●探究 练习： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程 整式方程 新知●探究 思考： 你能试着解这个分式方程吗？ （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ （4）这样做的依据是什么？ （5）解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 提示： 新知●探究 解方程： 方程的公分母是 整理，得 解得 所以，方程的解是 x=2 x=0.4是原分式方程的解吗？ 解：方程两边同乘 ，得 新知●探究 解方程： 解： 方程两边乘(x-1),得 x+1=-(x-3)+(x-1). 整理得 x=1. 所以，方程的解是x=1. x=1是原分式方程的解吗？ 新知●探究 当 时， 分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 当x=1时， x-1=0, 分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的等式必然成立（即整式方程的解与原分式方程无关），但其解使原分式方程中的分母为 0，故这个整式方程的解就不是原分式方程的解. 知识点1 分式方程 1. 在①；②；③ ； ④；⑤ 中，分式方程有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三 10 知识点2 分式方程的解及解法 2. [济宁中考] 解分式方程 时，去分母变形 正确的是( ) A A. B. C. D. 3. 若关于的方程的解是，则 的值为____. 举一反三 11 4. ， 是一条数轴上不同的两点，它们表示的数分别是 ，，且点，到原点的距离相等，则 ____. 举一反三 12 化：在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解： 解这个整式方程； 答：写出原方 程的解. 检：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 解分式方程的步骤 新知●探究 典例●精析 例2 解方程: 解： 方程两边乘(x+2),得 2-(2-x)=3(x+2). 解这个整式方程得 x=-3. 经检验，x=-3是原分式方程的解. 解分式方程时一定要注意验根！ 归纳总结 典例●精析 分式方程 整式方程 去分母 解整式方程 x =m 检验 x = m 是分式 方程的解 x = m 不是 分式方程的解 当 x = m 时 最简公分母是 否为零？ 否 是 解分式方程的步骤 典例●精析 例3 解方程: 解： 方程两边乘(x+1)(x-1),得整式方程 (x-1)+2(x+1)=4. 解这个整式方程得 x=1. 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0. 经检验，x=1是整式方程的根，是原分式方程的增根. 典例●精析 例4 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值. 解：去分母，得3x+3-（x-1）=x2+kx， 整理，得x2+（k-2）x-4=0. 因为有增根，所以增根为x=0或x=1. 当x=0时，代入方程得-4=0， 所以x=0不是方程的增根； 当x=1时，代入方程，得k=5， 所以k=5时方程有增根x=1. 增根就是让原分式方程分母为0的未知数的值. 典例●精析 例5 解关于x 的方程 　　解：方程两边同乘x+2，得 m+n(x+2)=2(x+2) 去括号，得 m+nx+2n =2x+4 移项、合并同类项，得 (n-2)x = 4-m-2n 　∴　 检验：当 时，∵ ， 所以 是原分式方程的解． 把m,n当成常数，用同样的方法解分式方程.（本题为选做题） 解：， 去分母，得1-m-(x-1)=-3， 去括号，得1-m-x+1=-3， 移项，合并得x=5-m， ∵方程的解为正数， ∴5-m>0且5-m 1， 解得m<5且. 典例●精析 例6 若关于的分式方程的解是正数，的取值范围是. 为什么5-m 1？ 求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 5. [沧州模拟] 关于的方程 的解为非负数，则 的取值范围是_______________. 且 【点拨】 方程两边同乘，得，解得 . 由题意得，且，解得且 . 举一反三 20 解题支架 举一反三 21 6. 解方程： （1）[陕西中考] ； 【解】变形,得 , 方程两边同乘，得 ， 解这个整式方程，得 ． 检验，当时， ， 原方程的解为 . 举一反三 22 （2） . 方程两边同乘 ，得 . 解这个整式方程，得 . 检验:当时， ， 原方程的解为 . 举一反三 23 知识点3 分式方程的增根 7. 若关于的分式方程为常数 有增根，则增 根是______. 8. 当__________时，解关于 的分式方程 会产生增根. 或 举一反三 24 9. [遂宁中考] 若关于的分式方程无解，则 的值为( ) D A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 【点拨】原方程整理得.因为关于 的分式方 程无解，所以或,解得或 . 举一反三 25 思路支架 举一反三 26 10. 关于的分式方程 ，下列结论：①当方程的 解为正整数时，的整数值为 或5；②当方程的解为正数 时，的取值为 .下列判断正确的是( ) C A. ①②都正确 B. ①②都不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 举一反三 27 【点拨】解方程，得，对于①： 方程 的解为正整数，,，且为整数， 为7 的正因数，即或，或 ，当 时，；当时，， ①正 确．对于②： 方程的解为正数，且 ， ，且，且， 且 时解为正数，故②不正确．综上，①正确，②不正确， 故选C. 举一反三 28 11. 对于实数， ，定义一种新运算 “☆”：☆.例如：1☆，则方程 ☆ 的解是( ) C A. B. C. D. 举一反三 29 12. 已知点在第三象限内，且 为整数，则关 于的分式方程 的解是( ) C A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 点在第三象限内， 解得为整数，.把代入方程 ， 得,解得.经检验，是方程 的解. 举一反三 30 13. 如图，为 内一 点，连接，， 并延长分别交边 ，，于点，，，则把 分成六个小三角形，其中四个小三角形的 面积已在图上标明，则 的面积为 ____. 60 举一反三 31 【点拨】 设的面积为,的面积为 ,由等 高不等底的三角形的面积的比等于底边长 的比，得,即 , ,即, ①,同理 举一反三 32 可得，,即, ,即 , ②. 联立①②解得 . 举一反三 14. [重庆自主招生] 若关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数 的值 之积是____. 举一反三 34 【点拨】 解不等式①,得 ，解不等式②,得 该一元一次不等式组至少有2个整数解， ,解得 , ,解得., . 又是正整数，且,或或 . 所有满足条件的整数的值之积是 . 举一反三 35 课堂●小结 分式 方程 定义 步骤 误区 分母中含未知数的方程叫做分式方程 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母中， 看是否为零) (1) 去分母时，原方程的整式部分漏乘 (3) 忘记检验 (2) 去分母后，分子是多项式时， 没有添括号 (因分数线有括号的作用) 谢谢观看 THANKS $