5.3 诱导公式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§5.3 诱导公式 目录 题型1：给角求值 3 题型2：利用公式进行化简 5 题型3：给值（式）求值 7 题型4：利用诱导公式证明恒等式 10 1. 诱导公式二~四 公式名称 终边关系 图示 公式内容 公式二 角与角的终边关于原点对称 公式三 角与角的终边关于轴对称 公式四 角与角的终边关于轴对称 2. 诱导公式五、六 (1) 诱导公式五 如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即，设点，由于是点关于直线的对称点，所以，根据三角函数的定义得，. 从而得，公式五 (2) 诱导公式六 利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 3. 诱导公式的巧记 公式一~公式六都叫做诱导公式。 (1) 诱导公式的记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”。 (2) 一组可简化讨论的公式 ①. ②. ③. ④. 题型1：给角求值 方法提炼 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 【例1.1.】 ______. 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四 【详解】. 【例1.2.】 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式一、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】． 【例1.3.】 求下列各三角函数值． （1）； （2）； （3）； （4）， 【答案】 【难度】0.94 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】将大角化小角如：、、、结合诱导公式，化简求值 【详解】 题型2：利用公式进行化简 三角函数式化简的常用方法 (1) 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2) 切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3) 注意“1”的代换：. 【例2.1.】 化简：____________. 【答案】1 【难度】0.9 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】 【例2.2.】 化简：． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】根据诱导公式即可求解. 原式 ． 【例2.3.】 已知，________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正切函数的诱导公式、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数的诱导公式化简求解即可. 【详解】 . 所以. 【例2.4.】 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.78 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 【例2.5.】 计算：______. 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六 【详解】因为， ， 所以原式. 题型3：给值（式）求值 方法提炼 (1) 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式. (2) 常见的互余关系有:与,与,与等，常见的互补关系有:与，与,与等。 【例3.1.】 已知，则的值为（    ） A． B． C． D．－ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，由诱导公式化简，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 【例3.2.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.82 【知识点】诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据给定条件，利用诱导公式求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. 【例3.3.】 已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式、给值求值型问题 【详解】由，可得， 即， 故. 【例3.4.】 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【详解】因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以. 题型4：利用诱导公式证明恒等式 方法提炼 (1) 证明无条件恒等式的基本方法 ①从等号的一边开始,证得它等于另一边,可以由等号的左边推至右边,或由等号的右边推至左边,遵循的是由繁到简的原则。 ②左右归一法:证明等号的左右两边都等于同一个式子。若左边=A,右边=A,则左边=右边。 ③差比法:设法证明“左边－右边=0”或“且右边≠0” (2) 条件等式证明问题 证明条件等式,一般有两种方法:一是在从被证等式的一边推导到另一边的过程中的适当的时候,将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称为代入法;二是直接将条件等式变形,直到变形为被证的等式,这种方法称为直推法。 【例4.1.】 证明：． 【答案】证明： ， ， 故等式左边，等式成立． 【难度】0.85 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【详解】略 【例4.2.】 求证：当或3时，. 【答案】 证明：当时，左边， 当时，左边， 综上，或，等式成立. 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、诱导公式一、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题设，利用诱导公式从左向右化简即可. 【详解】略 【例4.3.】 求证:. 【答案】 左边 , 右边左边. 故原等式成立. 【难度】0.85 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】利用诱导公式对等式的左、右两边分别化简到，从而证明等式成立. 【详解】略 【点睛】本题考查利用诱导公式证明等式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意化繁为简的原则. 【例4.4.】 已知，，证明：． 【答案】 左边， 右边， ∵，，∴，故，左边右边， 故. 【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式化简，结合平方关系、角的范围即可证 【详解】略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §5.3 诱导公式 目录 题型1：给角求值 3 题型2：利用公式进行化简 4 题型3：给值（式）求值 5 题型4：利用诱导公式证明恒等式 5 1. 诱导公式二~四 公式名称 终边关系 图示 公式内容 公式二 角与角的终边关于原点对称 公式三 角与角的终边关于轴对称 公式四 角与角的终边关于轴对称 2. 诱导公式五、六 (1) 诱导公式五 如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即，设点，由于是点关于直线的对称点，所以，根据三角函数的定义得，. 从而得，公式五 (2) 诱导公式六 利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 3. 诱导公式的巧记 公式一~公式六都叫做诱导公式。 (1) 诱导公式的记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”。 (2) 一组可简化讨论的公式 ①. ②. ③. ④. 题型1：给角求值 方法提炼 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 【例1.1.】 ______. 【例1.2.】 （     ） A． B． C． D． 【例1.3.】 求下列各三角函数值． （1）； （2）； （3）； （4）， 题型2：利用公式进行化简 三角函数式化简的常用方法 (1) 利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2) 切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3) 注意“1”的代换：. 【例2.1.】 化简：____________. 【例2.2.】 化简：． 【例2.3.】 已知，________． 【例2.4.】 角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【例2.5.】 计算：______. 题型3：给值（式）求值 方法提炼 (1) 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式. (2) 常见的互余关系有:与,与,与等，常见的互补关系有:与，与,与等。 【例3.1.】 已知，则的值为（    ） A． B． C． D．－ 【例3.2.】 已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【例3.3.】 已知，则（     ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4：利用诱导公式证明恒等式 方法提炼 (1) 证明无条件恒等式的基本方法 ①从等号的一边开始,证得它等于另一边,可以由等号的左边推至右边,或由等号的右边推至左边,遵循的是由繁到简的原则。 ②左右归一法:证明等号的左右两边都等于同一个式子。若左边=A,右边=A,则左边=右边。 ③差比法:设法证明“左边－右边=0”或“且右边≠0” (2) 条件等式证明问题 证明条件等式,一般有两种方法:一是在从被证等式的一边推导到另一边的过程中的适当的时候,将条件代入,推出被证等式的另一边,这种方法称为代入法;二是直接将条件等式变形,直到变形为被证的等式,这种方法称为直推法。 【例4.1.】 证明：． 【例4.2.】 求证：当或3时，. 【例4.3.】 求证:. 【例4.4.】 已知，，证明：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $