26.4实际问题与二次函数同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

数学 · 九年级上（人教版） 26.4 实际问题与二次函数 第1课时　几何图形面积问题 应用1　与三角形面积结合 1．一块三角形材料如图所示，，，．九年级(8)班的同学在劳动课上用这块材料剪出一个矩形 ，其中点 分别在边 上．设 的长为 ，矩形 的面积为 ． (1)写出 关于 的函数解析式，并写出 的取值范围； (2)当矩形 的面积为 时，求 的长； (3)若矩形 的面积不小于 ，请直接写出 的长 的取值范围． 应用2　与展开图结合 2．在一次劳动课中，老师准备了一些长为 cm、宽为 cm 的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒(接头处忽略不计)．如图①，活动小组将纸板在四个角裁掉四个边长均为 cm 的正方形，再在中间裁掉一个正方形 ，将纸板沿 剪开，折叠后，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 (如图②)． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边 的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积 (单位：cm)与 (单位：cm)之间的函数关系式，并求出当 的值为 时，单个无盖纸盒的体积 的值． 应用3　与特殊四边形面积结合 3．学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙(墙的长度不限)，其余部分用总长为 m 的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： (1)求方案一中与墙垂直的边的长度． (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 应用4　与几何动点结合 4．如图①，在平面直角坐标系中， 为原点，，，顶点 ，点 在第一象限，矩形 的顶点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，点 在第二象限，射线 经过点 ． (1)求点 的坐标． (2)将矩形 沿 轴向右平移，得到矩形 ，点 的对应点分别为 ．设 ，矩形 与 重叠部分的面积为 ．①如图②，当点 在 轴正半轴上，且矩形 与 重叠部分为四边形时， 与 相交于点 ，试用含有 的式子表示 ，并直接写出 的取值范围；②当 时，求 的取值范围(直接写出结果即可)． 第2课时　最大利润问题 应用1　“每、每”问题 5．某商品现在的售价为每件 元，每星期可卖出 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价 元，每星期要少卖出 件；每降价 元，每星期可多卖出 件．已知商品的进价为每件 元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是　（　　） A. 定价 元时，利润为 元 B. 定价 元时，利润为 元 C. 降价 元，能使所获利润最大 D. 涨价 元，能使所获利润最大 应用2　销售问题与图象、表格相结合 6．某民族服饰店销售一款苗族服饰，成本为 元/件，在销售过程中发现销售量 (件)与售价 (元/件，售价不低于成本价)满足如图所示的一次函数关系．物价部门规定：该服饰每件售价不得超过 元． (1)求 与 之间的函数解析式． (2)该服饰每件售价为多少元时，民族服饰店获得的利润 (元)最大？此时的最大利润为多少元？ 7．商场购进一批儿童智力玩具，调查发现该玩具的月销售量 (个)与销售单价 (元/个)之间满足一次函数关系，销售单价 (元/个)与月销售量 (个)、月销售利润 (元)的对应值如下： (1)直接写出 与 的函数解析式． (2)① ＿＿，该商场购进玩具的价格为 ＿＿ 元/个．②求 与 的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大． (3)由于生产玩具成本增加，商场购进玩具的价格提高 元/个(， 为整数)，商场规定每个玩具的销售单价不能低于 元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与销售单价仍然满足(1)中的函数关系．若月销售利润最大是 元，求 的值． 第3课时　抛物线形问题 应用1　池塘问题 8．某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，以水平地面为 轴，垂直于水平地面且位于池塘中心的线为 轴建立平面直角坐标系，池塘的宽 m，池底最深处距离水平地面 m，原来的水面宽 m，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为 ＿＿． 应用2　拱桥问题 9．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长 km，主塔高 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为 km，主缆最低处距离桥面 km，桥面距离海平面约 km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的解析式． 应用3　隧道问题 10．某隧道的截面由抛物线和长方形 构成，若隧道宽度 为 m，最高处离地面 m，长方形的宽为 m．如图，现以 点为原点， 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式(写出自变量的取值范围)． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 m，宽为 m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果路灯离地面的高度不超过 m，那么两排路灯的水平距离最小是多少？ 应用4　喷水问题 11．公园要建造一个如图①的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 ， 高度为 m， 恰在水面中心，安置在柱子顶端 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，设计成水流在与 水平距离为 m 时，达到距水面最大高度 m(不计其他因素)，水池的半径至少为 ＿＿ m，才能使喷出的水流不致落到池外． 应用5　运动轨迹问题 12．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究．如图，建立平面直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面 处．科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面 的竖直高度 (m)与离发射点 的水平距离 (m)的几组数据如下表： (1)根据上表，请确定抛物线的解析式； (2)请计算当水火箭飞行至离发射点 的水平距离为 m 时，水火箭距离地面的竖直高度． 应用6　缆索问题 13．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 与缆索 均呈抛物线形，桥塔 与桥塔 均垂直于桥面，如图所示，以 为原点，以直线 为 轴，以桥塔 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于 轴对称，桥塔 与桥塔 之间的距离 m， m，缆索 的最低点 到 的距离 m(桥塔的粗细忽略不计)． (1)求缆索 所在抛物线的函数解析式； (2)点 在缆索 上，，且 m，，求 的长． 参 考 答 案 1． (1)【解】 四边形 为矩形，，．在 Rt 中，，，，．在 Rt 中，，，，，，． ． (2)由题意，得 ，整理，得 ，解得 ，，即 的长为 或 ． (3)．【点拨】由题意，得 ，整理，得 ，解得 ． 2． (1)【解】由题意可知， cm， (cm)． (2)根据题意，可知无盖纸盒的长、宽、高分别为 cm， cm， cm，， 当 时，． 3． (1)【解】设与墙垂直的边的长度为 m，则与墙平行的边的长度为 m，根据题意，得 ，解得 ．答：与墙垂直的边的长度为 m． (2)设与墙平行的边的长度为 m，花圃的面积为 m，根据题意，得 ．， 当 时， 有最大值 ．答：当与墙平行的边的长度为 m 时，花圃的面积最大． 4． (1)【解】如图①，过点 作 ，垂足为 ．由点 ，得 ．，，． 点 的坐标为 ． (2)①由点 得 ，由平移的性质知，，．，．，，．．．．．，即 ．② 的取值范围为 ．【点拨】当 时，由①知 ， 当 时， 有最小值为 ，当 时， 有最大值为 ，此时 ；当 时，如图②，易得 ，；当 时，如图③，易得 ，．综上， 的取值范围为 ． 5．C 【点拨】定价 元时，利润为 (元)，故选项 A 正确；定价 元时，利润为 (元)，故选项 B 正确；设每件降价 元，利润为 元，则 ，当 时利润最大，故选项 C 错误；设每件涨价 元，利润为 元，则 ，当 时利润最大，故选项 D 正确．故选 C． 6． (1)【解】设 与 之间的函数解析式为 ，把 ， 分别代入上式，得 ，解得 ． 该服饰成本为 元/件，售价不低于成本价且每件售价不得超过 元，． 与 之间的函数解析式为 ． (2)由题意可得 ．， 当 时， 随 的增大而增大．， 当 时，． 该服饰每件售价为 元时，民族服饰店获得的利润 (元)最大，最大利润为 元． 7． (1)【解】．【点拨】设 ．由题意，得 ，解得 ， 与 的函数解析式为 ． (2)①；．②由题意得 ．， 当 时， 有最大值，为 ． 当销售单价定为 元/个时，月销售利润最大． (3)设购进玩具的价格提高后，月销售利润为 元．由题意得 ， 函数图象的对称轴为直线 ．， 为整数，．， 在对称轴的右侧， 随 的增大而减小．， 函数在 时取得最大值，，解得 ． 8． m 【点拨】由题意可得，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ， 设池底所在抛物线的解析式为 ，把点 的坐标代入解析式可得 ，解得 ，．当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即 m 时，易知 ，， 此时最深处到水面的距离为 (m)． 9．【解】(答案不唯一)建立平面直角坐标系，如图所示．则抛物线顶点坐标为 ，，即 ，设该抛物线的解析式为 ，将 的坐标代入 ，得 ，解得 ， 该抛物线的解析式为 ．【点方法】本题答案不唯一，建立不同的平面直角坐标系，可得不同的抛物线解析式．一般以顶点为原点建立平面直角坐标系比较简便． 10． (1)【解】 隧道宽度 为 m，最高处离地面 m， 抛物线的顶点坐标为 ． 设该抛物线的解析式为 ． 长方形的宽为 m， 抛物线经过点 ．把 的坐标代入 ，得 ，．． 该抛物线的解析式为 ． (2)由(1)知该抛物线的顶点坐标为 ． 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为 m，隧道内设双向车道， 货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一侧与地面交点的横坐标为 或 ． 当 时，；当 时，． 这辆货运汽车能安全通过． (3)由(1)知 ，依题意，令 ，则 ，，解得 ，，则 ， 两排路灯的水平距离最小是 m． 11． 【点拨】根据题意，右侧抛物线的顶点坐标是 ，并且经过点 ，设该抛物线的解析式为 ，则 ，解得 ， 该抛物线的解析式为 ，当 时，，解得 ，(舍去)， 水池的半径至少为 m． 12． (1)【解】根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的解析式为 ，由表格数据得抛物线的顶点坐标为 ，则 ，解得 ， 抛物线的解析式为 ． (2)当 时，， 此时水火箭距离地面的竖直高度为 m． 13． (1)【解】由题意得顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，设缆索 所在抛物线的函数解析式为 ，把 的坐标代入，得 ，解得 ， 缆索 所在抛物线的函数解析式为 ． (2) 缆索 所在抛物线与缆索 所在抛物线关于 轴对称，且缆索 所在抛物线的函数解析式为 ， 缆索 所在抛物线的函数解析式为 ． m， 把 代入，得 ，解得 ，． m 或 m． m， 的长为 m． 学科网（北京）股份有限公司 $