精品解析：云南省昆明市东川区高级中学2027届高三上学期9月月考数学试卷

2027届高三9月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为3. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 3. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 4. 已知向量，的夹角为，，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得向量，的夹角为，，， 则 . 5. 从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 300 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：间接法 先算出7人中任选3人分配到3个地点的全部排列方案，再减去全男生、全女生两种不符合男女均有的极端情况，剩余即为满足条件的选派方案数． 方法二：直接分类法 按选出人员性别分为1男2女、2男1女两类，每类先组合选出对应人数，再对选出的3人全排列分配到三个地方，最后把两类方案数相加得到总方案数． 【详解】方法一：间接法 从7人中选3人派到3个地方，总方案数为， 全是男生的方案数（从4男选3人排列）为， 全是女生的方案数（从3女选3人排列）为， 所以不同的选派方案共有． 方法二：直接分类法（1男2女或2男1女） 情况1：1男2女方案数为， 情况2：2男1女方案数为， 所以不同的选派方案共有． 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差、等比数列性质，先求前三项，再求等比数列公比，最后分组求和得到总粟米铢. 【详解】已知 ， 成等差数列，则 ， 所以又 ， 所以得，， 后7项成等比数列，设公比为，则， 由 ，得，得解得 或 ， 因为粟米质量从小到大，数列递增，舍去负根，得， 所以， 所以， 则这9人所得粟米质量和的铢数为. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10. 如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（ ） A. 该圆台的体积为 B. 直线SA与直线所成角最大值为 C. 该圆台有内切球，且半径为 D. 直线与平面所成角正切值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案； 对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案； 对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案， 对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A选项，，则A选项正确. 对于B选项，如图（1）， 过作垂直于下底面于点，则， 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角， 即为所求，而， 由圆的性质得，， 所以，因为， 则B选项错误. 对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为， 若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示， 梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为， 假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为， 所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确； 对于D选项，如图（3）， 平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面， 而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为，且. 设，则， 所以， 其中，所以，当时，， 当时，. 根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增， 所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由过焦点弦长的最小值确定抛物线参数，从而判断A项.再根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，并结合焦点弦中相关三角形的角度关系判断B项.对于C、D项，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】选项A，因为，故，得，抛物线方程为， A正确. 选项B， 因为，所以， 同理，所以 ， 故，即，故B正确； 选项C，为等边三角形，由抛物线定义，故只需. 设，则，，由： 又，代入得，解得，. 直线过和，斜率为：， 题目只给出了，忽略了，故C错误. 选项D，设，，由，得： 设直线，与联立得，故. 代入，得，，. 所以，又，故， ，所以，D正确. 三、填空题 12. 已知函数，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以 13. 已知递增等比数列满足，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】令，可得，通过两式相乘和相除求得，，进一步求出公比为q，即可得解. 【详解】设递增等比数列的公比为q， 已知，， 令， 则， 两式相除，得， 因为，递增等比数列各项为正，所以， 两式相乘，得，所以， 即，即， 解得， 因为数列递增，则， 所以. 14. 已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出四边形外接圆的直径，再利用四棱锥外接球的特征求出球半径即可. 【详解】由，点均在球的表面上， 得四边形内接于圆，则，即， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则，又， 因此二面角的平面角为，即， 在中，由，得， 四边形外接圆的直径，即外接圆的直径， 由平面，得四棱锥外接球的半径 所以四棱锥外接球的表面积为. 四、解答题 15. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 【答案】（1）证明：取棱的中点为G，连接，，如图所示． 因为点E为的中点，所以，且． 又F为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）建系求出两个平面法向量，利用法向量夹角余弦求二面角的余弦；（2）再利用同角三角函数关系，算出正切值，注意平面夹角取锐角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，由题意，以B为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 不妨设，则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为，则， 则，取，则． 又平面，则是平面的一个法向量， 所以． 设平面与平面的夹角为，则，， 所以， 所以平面与平面的夹角正切值为． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）求的面积； （2）若为的中线，且，判断的形状． 【答案】（1）1 （2）为等腰直角三角形， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案； （2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状. 【小问1详解】 ， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 18. 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设直线的斜率存在，其方程为，. 联立，消去得 ， 则， 化简得，， 因为 ，所以 ，即 ， 而， 代入得 ， 所以 ， 整理得 ，所以，满足. 所以点到直线的距离， 由，得. 当直线的斜率不存在时，设：，代入椭圆方程得， 则，由 ，得 ， 即，解得，所以，仍然成立. 综上，点到直线的距离为定值. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，得出 的关系，再由直线 与椭圆有且只有一个公共点，判别式为0，从而求出 的值. （2）（ⅰ）当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，结合 ，得出，再由点到直线的距离求解，当直线的斜率不存在时，求出点到直线的距离，即可得定值. （ⅱ）当直线的斜率存在时，根据弦长公式表示出，得出面积与的关系，通过换元，求出面积的最大值，再求出直线的斜率不存在时的面积，比较即可求得最大值. 【小问1详解】 由，得，即， 因此椭圆方程可写为 ，即， 将直线 代入椭圆方程得， 即 ， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以 ， 即 ，解得 ，则 ， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）当直线的斜率存在时， 由（ⅰ）知 . 的面积， 由，令，则，， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当，即时，满足，取最大，最大值为. 所以面积的最大值为. 当直线的斜率不存在时，由（ⅰ）知，，，， 所以，， 所以， 因为，所以面积的最大值为. 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， 【小问2详解】 因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三9月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，的夹角为，，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 从4名男生和3名女生中选派3人，分别前往甲、乙、丙3个地方参加社会实践，每个地方仅安排一人．若所选派的3人中男、女生都要有，则不同的选派方案共有（ ）种． A. 150 B. 180 C. 300 D. 360 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量和的铢数为（ ） A. 284 B. 381 C. 384 D. 484 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 10. 如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（ ） A. 该圆台的体积为 B. 直线SA与直线所成角最大值为 C. 该圆台有内切球，且半径为 D. 直线与平面所成角正切值的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 三、填空题 12. 已知函数，则_____． 13. 已知递增等比数列满足，，则__________． 14. 已知四棱锥，平面，，，，二面角的大小为．若点，，，，均在球的表面上，则该球的表面积为________． 四、解答题 15. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 16. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角正切值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． （1）求的面积； （2）若为的中线，且，判断的形状． 18. 已知椭圆：的离心率为，且与直线 有且只有一个公共点． （1）求的标准方程； （2）设一动直线不经过坐标原点，与交于，两点，且 ． （ⅰ）证明：点到直线的距离为定值； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若时，恒成立，求的范围； （3）若在内有两个不同零点、，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $