2.2 等腰三角形 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

2.2 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【变式1】在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，以点P为圆心，以PC长为半径作弧交边BC于点D，连接PD，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式3】一个等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则第三边的长为 　 cm． 题型2 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【变式1】如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　 度． 【变式2】如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【变式3】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 过 关 验 收 1．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，若∠BCD＝65°，则∠BAC＝　 　 度． 2．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 　 　 ． 3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　 cm． 4．等腰三角形的两边长分别为6和4，则该三角形的周长为　 　 ． 5．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AC＝AD，过点A作AE⊥CD于点E，过点C作CG⊥AD于点G，与AB交于点F． （1）若∠CAD＝50°，求∠BCF的度数； （2）当∠B＝45°时，判断△ACF的形状，并说明理由． 6．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　 　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 7．一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 9．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，直线l分别与边AB，AC交于点D，E，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 10．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，…且满足AB＝BC＝CD＝DE＝…则这样的钢条最多可以构造 根． 11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 12．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　 　 ． 14．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝36°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（　　） A．37° B．36° C．27° D．26° 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E在AD上，下列结论错误的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAD＝∠CAD C．BE＝CE D．∠B＝∠C＝45° 17．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．20° 19．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或14 C．17 D．13或17 20．如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 21．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，等腰三角形的周长为 　 　 ． 22．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　 　 °． 23．如图中每个小正三角形的面积都是1，则最大的正三角形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 24．用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A．39 B．27 C．24 D．25 25．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 26．如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），直线AD为BP的中垂线，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（　　） A．30° B．30°+α C． D．60°﹣α 27．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　 　 （填番号） 28．如图，△ABC和△DPQ均为等边三角形，其中D，E分别为AB和AC的中点，点P在BC上．若AB＝6，BP＝5，则QE＝ 　 　 ． 29．如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α． （1）∠ACE＝　 （用含α的式子表示），∠F＝　 　 ； （2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长． 30．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　 　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 31．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 32．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝ ．（用含字母S和a的代数式表示） 33．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 34．小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 　 　 ． 35．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE＝（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 等腰三角形 内 容 导 航 题型1 等腰三角形的性质 题型2 等边三角形的性质 考 点 演 练 题型1 等腰三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠BAD的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°， 故选：B． 【变式1】在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝4，则AC的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：由等角对等边可得AC＝AB， 又∵AB＝4， ∴AC＝4． 故选：B． 【变式2】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点P在BA的延长线上，以点P为圆心，以PC长为半径作弧交边BC于点D，连接PD，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点P作PE∥AC交DC延长线于点E， ∴∠ACB＝∠E， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB（等边对等角）， ∴∠B＝∠E， ∴PB＝PE（等角对等边）， 根据作图步骤可知，PC＝PD， ∴∠PDC＝∠PCD， ∴∠B+∠BPD＝∠E+∠EPC， ∴∠BPD＝∠EPC， 在△PDB和△PCE中， ， ∴△PDB≌△PCE（SAS）， ∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∵PE∥AC， ∴，即， ∴， ∴， 则的值为， 故选：B． 【变式3】一个等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则第三边的长为 　8　 cm． 【答案】8． 【解答】解：分两种情况： ①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm， 4+8＞8，故能组成三角形； ②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm， 4+4＝8，故不能组成三角形． 故答案为：8． 题型2 等边三角形的性质 解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 【典例1】如图，已知，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】D 【解答】解：由条件可知A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°， ∴∠2＝120°， ∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∵∠3＝60°， ∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠MON＝∠1＝30°， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°， ∵∠4＝∠12＝60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3， ∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°， ∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推：△AnBnAn+1的边长为2n， ∴△A7B7A8的边长为：27＝128． 故选：D． 【变式1】如图，在△ABC中，∠BAD＝∠C，△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　120　 度． 【答案】120． 【解答】解：∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠B+∠BAD＝∠ADE＝60°，∠C+∠CAE＝∠AED＝60°， ∴∠B+∠BAD＝∠CAE+∠C（等量代换）， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠B＝∠CAE， ∴∠B+∠BAE+∠C＝180°， ∠B+∠BAD+∠DAE+∠CAE+∠C＝180°， 2∠BAD+2∠CAE+60°＝180° ∠BAD+∠CAE＝60°， ∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝60°+60°＝120°， 则∠BAC的度数为120°， 故答案为：120． 【变式2】如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵等边△ABC， ∴∠ABD＝∠C，AB＝BC， 在△ABD与△BCE中，， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠ABE+∠EBC＝60°， ∴∠ABE+∠BAD＝60°， ∴∠APE＝∠ABE+∠BAD＝60°， ∴∠APE＝60°． 故选：C． 【变式3】如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF＝BD，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∴， ∴∠CDF＝∠BDC﹣∠BDF＝15°， 故选：B． 过 关 验 收 1．如图，已知AB∥CD，AB＝AC，若∠BCD＝65°，则∠BAC＝　50　 度． 【答案】50． 【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝65°， ∴∠ABC＝∠BCD＝65°（两直线平行，内错角相等）， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝65°（等边对等角）， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°， 则∠BAC的度数为50°， 故答案为：50． 2．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 　80°或20°　 ． 【答案】80°或20° 【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°； 当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°． 故答案为：80°或20°． 3．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　　 cm． 【答案】． 【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm， 由△ABC周长为16cm得： 2x+y＝16， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ∴|x﹣y|＝4， 分两种情况讨论： （1）当x＞y时，x﹣y＝4， 联立方程组， 两式相加得3x＝20，解得， 代入x﹣y＝4得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意． （2）当x＜y时，y﹣x＝4， 联立方程组， 解得， 此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去． 综上，底边BC的长为． 故答案为：． 4．等腰三角形的两边长分别为6和4，则该三角形的周长为　16或14　 ． 【答案】16或14． 【解答】解：根据题意腰长有两种情况，分别为4或6． 若腰长为4，底边长为6，此时三边长为4，4，6，满足4+4＞6，符合三角形三边关系，周长为4+4+6＝14； 若腰长为6，底边长为4，此时三边长为6，6，4，满足4+6＞6，符合三角形三边关系，周长为6+6+4＝16． 综上，周长为16或14． 5．如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AC＝AD，过点A作AE⊥CD于点E，过点C作CG⊥AD于点G，与AB交于点F． （1）若∠CAD＝50°，求∠BCF的度数； （2）当∠B＝45°时，判断△ACF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解答】解：（1）∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣50°）＝65°． ∵CG⊥AD， ∴∠BCF＝180°﹣65°﹣90°＝25°． （2）证明：∵∠B＝45°，AE⊥CD， ∴∠BAE＝45°． ∵∠BAC＝45°+∠EAC， ∠AFC＝45°+∠BCF， 又∵∠EAC＝∠DAE， ∠BCF＝∠DAE， ∴∠EAC＝∠BCF， ∴∠BAC＝∠AFC， ∴AC＝FC， ∴△ACF是等腰三角形． 6．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　是　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 【答案】（1）见解答： （2）是，B； （3）70°或40°或100°或10°． 【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝36°． ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝72°， ∵∠B＝72°， ∴∠B＝∠BDC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴△ABC是“钻石三角形”． （2）解：是， 理由：如图，取AC的中点D连接BD， ∵∠ABC＝90°， ∴BD＝CD＝AD， ∴△BCD和△ABD是等腰三角形， ∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B． 故答案为：是，B； （3）解：如图a， 当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°， 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 7．一个等腰三角形的三边长分别为7、3x﹣2、x+1，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】x＝3，三边长为：7，7，4． 【解答】解：根据题意，分三种情况讨论如下： ∴①当7＝3x﹣2时，解得：x＝3， ∴等腰三角形的三边分别为7，7，4，此时能组成三角形； ②当x+1＝3x﹣2时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当x+1＝7时，解得：x＝6， ∴等腰三角形的三边分别为7，16，7，此时不能组成三角形； 综上所述，x＝3，三角形三边长为7，7，4． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E． （1）若∠ABE＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∠ABE＝40°， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝40° ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE ＝70°﹣40° ＝30°； （2）∵△ABC的周长为41cm，BC的长为11cm， ∴AB+AC＝30， ∴AB＝AC＝15cm， ∵AE＝BE， ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE ＝BC+AC ＝11+15 ＝26（cm）． 9．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，直线l分别与边AB，AC交于点D，E，则∠2﹣∠1的度数是（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC， ∴， ∵∠2＝∠1+∠A， ∴∠2﹣∠1＝∠A＝45°， 故选：D． 10．如图，∠MAN是一个钢架结构，已知∠MAN＝15°，在角内部构造钢条BC，CD，DE，…且满足AB＝BC＝CD＝DE＝…则这样的钢条最多可以构造　5　 根． 【答案】5 【解答】解：∵BC＝AB， ∴∠BCA＝∠A＝15°， ∴∠DBC＝∠BCA+∠A＝30°． 同理，∠CDB＝∠DBC＝30°， ∴∠DCE＝∠CDB+∠A＝45°，∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠FDE＝∠DEC+∠A＝60°，∠DFE＝∠FDE＝60°， ∴∠FEM＝∠DFE+∠A＝90°． 再作与AB相等的线段时，90°的角不能是底角，则最多能作出的线段是：BC、CD、DE、EF共有5条． 故答案为：5． 11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°， ∴∠ODC＝25°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°， ∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°． 故选：D． 12．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　） A．12 B．16 C．20 D．16或20 【答案】C 【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在； ②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意． 故此三角形的周长＝8+8+4＝20． 故选：C． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 　1.8　 ． 【答案】1.8． 【解答】解：连接AD，AE， ∵D为BC中点， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC， ∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， ∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积， AB•DP•2AB•EMAC•EN， ∵AB＝AC， ∴2DP＝EM+EN， 6＝4.2+EN， 解得：EN＝1.8， 故答案为：1.8． 14．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：当AC＝AB＝3时，△ABC为等腰三角形， 当AC＝BC＝4时，在△ADC中，AC＜AD+CD，即AC＜4，此种情况不成立， 故选：B． 15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝36°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（　　） A．37° B．36° C．27° D．26° 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝54°， ∵AC＝AD， ∴， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝27°， 故选：C． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E在AD上，下列结论错误的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAD＝∠CAD C．BE＝CE D．∠B＝∠C＝45° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD（等腰三角形的性质）， ∴AD垂直平分BC， ∵点E在AD上， ∴BE＝CE，即A、B、C 选项正确．不符合题意； 等腰三角形两底角相等，但不一定是45°，所以D选项错误，符合题意， 故选：D． 17．木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解答】解：若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，体现等腰三角形的性质“三线合一”， 故能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．20° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACD（180°﹣40°）＝70°， 又∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD， ∴BD＝BC， ∴∠BCD＝∠ABD＝55°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝70°﹣55°＝15°， 即∠ACD的度数为15°， 故选：B． 19．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．13或14 C．17 D．13或17 【答案】C 【解答】解：∵， ∴，解得：， 当a为等腰三角形的腰长时，b为底，该等腰三角形三边为3、3、7， ∵3+3＝6＜7， ∴不能构成三角形； 当b为等腰三角形的腰长时，a为底，该等腰三角形三边为3、7、7， ∵3+7＝10＞7， ∴此等腰三角形的周长3+7+7＝17， 综上：此等腰三角形的周长为17， 故选：C． 20．如图，已知在△ABC中，AB＝BC，点D在AC上且BD⊥BC．设∠BDC＝α，∠ABD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α﹣β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90° 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠ABD＝∠BDC，∠BDC＝α，∠ABD＝β， ∴α﹣∠A＝β， ∵BD⊥BC， ∴α+∠C＝90°， ∴2α＝90°+β， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 21．已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足（a﹣5）2+|b﹣7|＝0，等腰三角形的周长为 　17或19　 ． 【答案】17或19． 【解答】解：∵（a﹣5）2+|b﹣7|＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣7＝0， ∴a＝5，b＝7， 当等腰三角形的腰长是5时， ∵5+5＞7，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝5+5+7＝17； 当等腰三角形的腰长是7时， ∵5+7＞7，满足三角形三边关系定理， ∴此时等腰三角形的周长＝5+7+7＝19， ∴等腰三角形的周长是17或19． 故答案为：17或19． 22．如图，一束平行光线照射在等边△ABC上，如果∠1＝25°，那么∠2＝ 　85　 °． 【答案】85°． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵∠1＝25°， ∴∠EAC＝∠BAC+∠1＝85°， ∵光线AE∥CF， ∴∠2＝∠EAC＝85°． 故答案为：85°． 23．如图中每个小正三角形的面积都是1，则最大的正三角形的面积为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解答】解：如图，过A作AH⊥BC与H， 设BC＝2x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，BH＝x，AB＝2x， ∴AHx， ∴S△ABCBC•AHx2＝1， ∴x， ∴BC＝2，AH， ∴BE＝4BC＝8， ∵△DBE是等边三角形， ∴BE边上的高＝4AH＝4， ∴S△BDE8416． 故选：D． 24．用等长的小木棒拼三角形，至少3根可拼成1个等边三角形，至少5根可拼成2个等边三角形，至少7根可拼成3个等边三角形，若拼成13个等边三角形，至少需要小木棒的根数为（　　） A．39 B．27 C．24 D．25 【答案】B 【解答】解：设增加x个小木棒时拼成13个等边三角形． 113 x＝24 24+3＝27 故选：B． 25．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 【答案】C 【解答】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝50°， 在等边△ABC中，∠A＝60°， ∴∠2＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣60°﹣50°＝70°， 故选：C． 26．如图，在等边△ABC外作射线AD，使得AD和AC在直线AB的两侧，∠BAD＝α（0°＜α＜180°），直线AD为BP的中垂线，连接PB，PC．则∠BPC的度数是（　　） A．30° B．30°+α C． D．60°﹣α 【答案】A 【解答】解：连接PA， ∵AD垂直平分PB， ∴PA＝BA， ∴∠APB＝∠ABP， ∵∠BAD＝α，∠AHB＝90°， ∴∠ABP＝90°﹣α， ∴∠APB＝90°﹣α， ∵PA＝BA，PD⊥PB， ∴∠PAB＝2∠BAD＝2α， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∴AP＝AC， ∴∠APC＝∠ACP， ∵∠PAC＝∠PAB+∠BAC＝2α+60°， ∴∠APC（180°﹣∠PAC）＝60°﹣α， ∴∠BPC＝∠APB﹣∠APC＝30°． 故选：A． 27．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有　①　 （填番号） 【答案】① 【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC＝DC，BC＝CE，∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△DCB，A，C，B三点不共线时①正确 A，C，B三点共线时①也成立，由①得∠AEC＝∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM＝CN，②正确 假使AC＝DN，即CD＝CN，△CDN为等边三角形，∠CDB＝60°， 又∵∠ACD＝∠CDB+∠DBC＝60°，∴假设不成立，③错误； ∵∠DBC+∠CDB＝60°，∠DAE+∠EAC＝60°，而∠EAC＝∠CDB，∴∠DAE＝∠DBC，④正确， ∴A，C，B不一定共线时①正确， ∴正确的有①， 故答案为：①． 28．如图，△ABC和△DPQ均为等边三角形，其中D，E分别为AB和AC的中点，点P在BC上．若AB＝6，BP＝5，则QE＝ 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：过点D作DF∥AC于点F，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝6， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠C＝60°， ∵点D是AB的中点， ∴BDAB＝3， 又∵点E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝3，DE∥BC， ∴∠BDE＝180°﹣∠B＝120°，BD＝DE＝3 ∵DF∥AC， ∴∠DFB＝∠C＝60°， ∴∠DFB＝∠B＝60°， ∴△DBF是等边三角形， ∴BF＝BD＝DF＝3，∠BDF＝60°， ∴∠FDE＝∠BDE﹣∠BDF＝120°﹣60°＝60°，DF＝DE＝3， ∵△DPQ是等边三角形， ∴DP＝DQ，∠PDQ＝60°， ∴∠FDE＝∠PDQ＝60°， ∴∠FDE﹣∠PDE＝∠PDQ﹣∠PDE， 即∠FDP＝∠EDQ， 在△FDP和△EDQ中， ， ∴△FDP≌△EDQ（SAS）， ∴PF＝QE， ∵BP＝5，BF＝3， ∴PF＝BP﹣BF＝5﹣3＝2， ∴QE＝PF＝2． 故答案为：2． 29．如图，以等边△ABC的边AC为边作△ACE，使AE＝AC，连接BE，过点A作AD⊥BE，交BC于点D，交EC的延长线于点F，设∠FAC＝α． （1）∠ACE＝　60°+α　 （用含α的式子表示），∠F＝　60°　 ； （2）当CF＝2，CE＝3，求AF的长． 【答案】（1）60°+α，60°； （2）7． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵∠FAC＝α， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠FAC＝60°﹣α， ∵AE＝AC， ∴AB＝AE， ∵AD⊥BE， ∴∠EAD＝∠BAD＝60°﹣α， ∴∠CAE＝∠EAD﹣∠FAC＝60°﹣2α， ∴， ∴∠F＝∠ACE﹣∠FAC＝60°， 故答案为：60°+α，60°； （2）如图所示，在FA上截取FG＝FC，连接BF、CG， ∵FG＝FC，∠F＝60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴CG＝CF，∠GCF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∴∠ACB﹣∠BCG＝∠CFG﹣∠BCG，即∠ACG＝∠BCF， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（SAS）， ∴AG＝BF， ∵AE＝AB，AF⊥BE， ∴AF是BE的垂直平分线， ∴BF＝EF＝CE+CF＝5， ∴AF＝AG+FG＝BF+CF＝7． 30．如图，在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是 　不变　 （横线上填“变大”、“变小”、“不变”或先变大后变小）．请说明理由． 【答案】不变，理由见解答过程． 【解答】解：∠ECF大小不发生变化，始终等于30°，理由如下： 设AE＝a，则BD＝2AE＝2a， 在CA上截取CN＝AE＝a，连接FN，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°， ∴AD＝AB﹣BD＝AB﹣2a，NE＝AC﹣（CN+AE）＝AB﹣2a， ∴AD＝NE， 在△ADE中，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF，∠DEF＝60°， ∴∠AED+∠NEF＝180°﹣∠DEF＝120°， ∴∠ADE＝∠NEF， 在△ADE和△NEF中， ， ∴△ADE≌△NEF（SAS）， ∴∠A＝∠ENF＝60°，AE＝NF＝a， ∴CN＝NF＝a， ∴∠NFC＝∠ECF， ∵∠ENF是△NFC的外角， ∴∠ENF＝∠NFC+∠ECF， ∴2∠ECF＝60°， ∴∠ECF＝30°． 31．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥BC，AE∥BD，则∠EAC的度数为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵BD⊥BC， ∴∠CBD＝90°， ∴∠DAB＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠EAB＝180°﹣∠DAB＝180°﹣30°＝150°， ∴∠EAC＝360°﹣∠EAB﹣∠BAC＝360°﹣150°﹣60°＝150°． 故选：A． 32．如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 【答案】． 【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a， ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△CBH中， ， ∴△ABG≌△CBH（AAS）， ∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC＝∠CBD＝60°， ∴∠CBG＝∠DBH， ∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH＝BH＝BG， ∴S△CBECE•BHa•GH， ∵AB＝3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC＝3S△CBE， 即， ∴GH． 故答案为：． 33．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1AC•r2AB•h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF为定值． （1）深入探究 将“在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点”改成“P为等边三角形ABC内一点”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分别为E、F、M、G，有类似结论吗？请写出结论并证明； （2）理解与应用 当点P在△ABC外，（1）结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，PE、PF、PM和BG之间又有怎样的关系，并说明理由． 【答案】（1）PE+PF+PM＝BG，理由见解析； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由见解析． 【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF+PM＝BG； （2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下： 连接PA、PB、PC，则S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC， ∵等边三角形ABC， ∴AB＝AC＝BC， ∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC， ∴， ∴， ∴PE+PF﹣PM＝BG． 34．小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 　40°　 ． 【答案】40°． 【解答】解：过A点作AP∥m，如图， ∵m∥n， ∴n∥AP， ∴∠PAE＝∠AEG＝20°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣20°＝40°， ∵PA∥m， ∴∠ADF＝∠BAP＝40°． 故答案为40°． 35．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DEBC，则∠AFE＝（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AD是BC边上的中线， ∴∠BADBAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CDBC， ∴∠CDE＝90°， ∵DEBC， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴∠AEF＝∠DEC＝45°， ∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF ＝180°﹣30°﹣45° ＝105°， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $