1.2 定义与命题 同步讲义 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

1.2 定义与命题 内 容 导 航 题型1 命题与定理 题型2 推理与论证 题型3 反证法 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】要说明命题“若x2＝y2，则x＝y”是假命题，可以举的反例是（　　） A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝2 C．x＝1，y＝﹣1 D．x＝﹣1，y＝﹣1 【答案】C 【解答】解：当x＝1，y＝1时，12＝12，且1＝1，A不能作为反例； 当x＝1，y＝2，12≠22，不满足前提，B不能作为反例； 当x＝1，y＝﹣1，x2＝1，y2＝1，即 x2＝y2，但 x≠y，故C能作为反例； 当x＝﹣1，y＝﹣1，（﹣1）2＝（﹣1）2，且﹣1＝﹣1，D不能作为反例． 故选：C． 【变式1】下列选项中，可以用来说明命题|a|＝a是假命题的反例是（　　） A．a＝2 B．a＝﹣4 C．a＝0 D．a＝5 【答案】B 【解答】解：A、当a＝2时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意； B、当a＝﹣4时，|a|＝﹣a，能说明命题|a|＝a是假命题，符合题意； C、当a＝0时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意； D、当a＝5时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2】证明命题“若m＞n，则1”是假命题，所举反例正确的是（　　） A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 【答案】B 【解答】解：A、假设m＝6，n＝3，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； B、假设m＝1，n＝﹣1，则，能证明原命题是假命题，符合题意； C、假设m＝2，n＝1，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； D、假设m＝0.2，n＝0.1，则，不能证明原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式3】现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦； ②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：同圆中等弧对等弦，所以①正确； 在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧长也相等，所以②错误； 不共线的三点确定一个圆，所以③错误； 平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦，所以④正确． 故选：B． 题型2 推理与论证 解｜题｜知｜识 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【典例1】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【答案】C 【解答】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有A、B、C、D、E共5人，显然不合题意， 同理，当B进入前三强时，也不合题意，所以应从C开始进入前三强．即进入前三强的是C，D，E． 故选：C． 【变式1】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：假设是甲打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项A不合题意； 假设是乙打碎玻璃窗，则甲、乙2人说了谎，与已知不相符，故选项B不合题意； 假设是丙打碎玻璃窗，则乙、丙2人说了谎，与已知不相符，故选项C不合题意； 假设是丁打碎玻璃窗，则丙1人说了谎，与已知相符，故选项D符合题意； 故选：D． 题型3 反证法 解｜题｜知｜识 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【典例1】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45° 【答案】A 【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时， 应先假设两个锐角都大于45°． 故选：A． 【变式1】反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　） A．a不垂直于b B．a⊥b C．a与b不相交 D．a与b相交 【答案】D 【解答】解：∵原命题“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”， 用反证法时应假设结论不成立， 即假设“a与b相交”． 故选：D． 【变式2】上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． （1）下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是　有理数　 ，则可设（p≠0，且p、q是　互质　 的整数）． 则有，即　2　 ． 整理得：q3＝2p3，所以q是　偶数　 ． 所以设q＝2m，则（2m）3＝2p3，即p3＝　4　 m3． 所以p也是　偶数　 ． 这与假设中的p、q是　互质　 的整数矛盾，所以不是　有理数　 ，是无理数． （2）说明是无理数的理由． 【答案】（1）有理数；互质；2；偶数；4；偶数；互质；有理数； （2）假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）． ∴． ∴， ∴q2＝3p2． ∵q2是3的倍数， ∴q也是3的倍数． 设q＝3k（k是正整数）， ∴（3k）2＝3p2， ∴p2＝3k2， ∴p2是3的倍数． ∴p是3的倍数． ∴p和q均为3的倍数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【解答】（1）解：先假设是有理数，则可设（p≠0，且p、q是互质的整数）． 则有，即． 整理得：q3＝2p3，所以q是偶数． 所以设q＝2m，则（2m）3＝2p3，即p3＝4m3． 所以p也是偶数． 这与假设中的p、q是互质的整数矛盾，所以不是有理数，是无理数， 故答案为：有理数；互质；2；偶数；4；偶数；互质；有理数． （2）证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）． ∴． ∴， ∴q2＝3p2． ∵q2是3的倍数， ∴q也是3的倍数． 设q＝3k（k是正整数）， ∴（3k）2＝3p2， ∴p2＝3k2， ∴p2是3的倍数． ∴p是3的倍数． ∴p和q均为3的倍数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 过 关 验 收 1．下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形两底角相等，但不是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等，是真命题，符合题意； 故选：D． 2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 【答案】A 【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意； B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； 故选：A． 3．下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【解答】解：A、正确，符合证明的定义； B、正确，定理是命题，而且是真命题； C、错误，是定理． D、正确，是我们证明假命题常用的方法． 故选：C． 4．下列真命题中，逆命题也是真命题的是（　　） A．全等三角形的对应角都相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应边都相等 【答案】D 【解答】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意； D、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，为真命题，符合题意； 故选：D． 5．下列语句中，不是命题的是（　　） A．锐角小于钝角 B．作∠A的平分线 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 【答案】B 【解答】解：锐角小于钝角、对顶角相等；同角的补角相等，它们都是命题，而作∠A的平分线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． 6．下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【解答】解：根据全等三角形的判定、三角形的中线、高线和角平分线的定义逐项分析判断如下： ①∵两边及其中一边上的中线对应相等，可连续使用SSS和SAS证明全等， ∴①真命题，符合题意； ②如图，AC＝AC，BC＝B′C，高AH＝AH，但△AB′C和△ABC不全等， ∴②假命题，不符合题意； ③∵中线分对边相等，且两个小三角形同高， ∴面积相等， ∴③真命题，符合题意； ④∵角平分线分对边成比例，但底边不一定相等，面积不一定相等， ∴④假命题，不符合题意； 故选：D． 7．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是（　　） A．k＝6 B．k＝7 C．k＝8 D．k＝16 【答案】A 【解答】解：A、k＝6是偶数，但不是4的倍数，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的，故A符合题意； B、k＝7不是偶数，不能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的，故B不符合题意． C、D中k的值是偶数，是4的倍数，不能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的，故C、D不符合题意； 故选：A． 8．已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解答】解：钝角三角形三角形三边中垂线的交点在三角形的外部， 说明命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”是假命题， 故选：D． 9．下列句子中，是命题的是（　　） A．负数小于一切正数吗？ B．作一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．将8开立方 【答案】C 【解答】解：负数小于一切正数么？是疑问语句，不是命题，故选项A错误； 作一条直线与已知直线垂直不是判断语句，故不是命题，故选项B错误； 两点之间线段最短是命题，故选项C正确； 将8开立方不是判断语句，不是命题，故选项D错误； 故选：C． 10．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 　三个内角相等的三角形是等边三角形　 ． 【答案】三个内角相等的三角形是等边三角形 【解答】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”． 故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形． 11．要说明命题“若x＞1，则mx＞m”是假命题，反例m的值可以是　﹣2（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】﹣2（答案不唯一）． 【解答】解：当m＝﹣2时，若x＞1，则﹣2x＜﹣2，即mx＜m， 说明命题“若x＞1，则mx＞m”是假命题， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　两个角是等角的余角　 ，那么 　这两个角相等　 ”． 【答案】两个角是等角的余角；这两个角相等 【解答】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：两个角是等角的余角；这两个角相等． 13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　同位角相等，两直线平行　 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14．“同旁内角互补”，该命题是 　假　 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假． 【解答】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴同旁内角互补”是假命题， 故答案为：假． 15．要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是　﹣1（答案不唯一）　 （写出一个即可）． 【答案】﹣1（答案不唯一） 【解答】解：∵命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题， ∴a≤0， ∴反例a的值可以是﹣1（答案不唯一）， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 16．命题“对顶角相等”的条件是 　两个角是对顶角　 ，结论是 　这两个角相等　 ． 【答案】两个角是对顶角；这两个角相等 【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角”结论是“这两个角相等” 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 定义与命题 内 容 导 航 题型1 命题与定理 题型2 推理与论证 题型3 反证法 考 点 演 练 题型1 命题与定理 解｜题｜知｜识 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【典例1】要说明命题“若x2＝y2，则x＝y”是假命题，可以举的反例是（　　） A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝2 C．x＝1，y＝﹣1 D．x＝﹣1，y＝﹣1 【变式1】下列选项中，可以用来说明命题|a|＝a是假命题的反例是（　　） A．a＝2 B．a＝﹣4 C．a＝0 D．a＝5 【变式2】证明命题“若m＞n，则1”是假命题，所举反例正确的是（　　） A．m＝6，n＝3 B．m＝1，n＝﹣1 C．m＝2，n＝1 D．m＝0.2，n＝0.1 【变式3】现有下列四个命题：①同圆中等弧对等弦； ②圆心角相等，它们所对的弧长也相等；③三点确定一个圆；④平分弦（不是直径）的直径必垂直于这条弦．其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 推理与论证 解｜题｜知｜识 （1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程． ①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊． ②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般． （2）论证：用论据证明论题的真实性． 证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”． 简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式． 【典例1】A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．C，D，E D．D，E，A 【变式1】甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老师问他们是谁打碎了玻璃窗． 甲说：“是丙，也可能是丁打碎的．” 乙说：“一定是丁打碎的．” 丙说：“我没有打碎玻璃窗．” 丁说：“我没有干这件事．” 若四位同学中只有一位说了谎话，由此我们可以推断，打碎玻璃的同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型3 反证法 解｜题｜知｜识 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的． （2）反证法的一般步骤是： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【典例1】用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（　　） A．两个锐角都大于45° B．两个锐角都小于45° C．两个锐角都不大于45° D．两个锐角都等于45° 【变式1】反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　） A．a不垂直于b B．a⊥b C．a与b不相交 D．a与b相交 【变式2】上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数． （1）下面是他们的探究过程，请完成填空． 先假设是　 　 ，则可设（p≠0，且p、q是　 的整数）． 则有，即　 　 ． 整理得：q3＝2p3，所以q是　 　 ． 所以设q＝2m，则（2m）3＝2p3，即p3＝　 　 m3． 所以p也是　 　 ． 这与假设中的p、q是　 　 的整数矛盾，所以不是　 　 ，是无理数． （2）说明是无理数的理由． 过 关 验 收 1．下列命题中是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．两直线平行，内错角相等 2．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 3．下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 4．下列真命题中，逆命题也是真命题的是（　　） A．全等三角形的对应角都相等 B．等边三角形是锐角三角形 C．对顶角相等 D．全等三角形的对应边都相等 5．下列语句中，不是命题的是（　　） A．锐角小于钝角 B．作∠A的平分线 C．对顶角相等 D．同角的补角相等 6．下列四个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分；④三角形的一条角平分线把三角形分成面积相等的两部分．其中真命题的是（　　） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 7．下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的是（　　） A．k＝6 B．k＝7 C．k＝8 D．k＝16 8．已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 9．下列句子中，是命题的是（　　） A．负数小于一切正数吗？ B．作一条直线与已知直线垂直 C．两点之间线段最短 D．将8开立方 10．命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 　 　 ． 11．要说明命题“若x＞1，则mx＞m”是假命题，反例m的值可以是　 （写出一个即可）． 12．把命题“等角的余角相等”改写成：“如果 　 　 ，那么 　 　 ”． 13．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 　 　 ． 14．“同旁内角互补”，该命题是 　 　 命题（选填“真”或“假”）． 15．要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是　 　 （写出一个即可）． 16．命题“对顶角相等”的条件是 　 　 ，结论是 　 　 . 学科网（北京）股份有限公司 $